概率论与数理统计第八章 假设检验教案

第八章假设检验

参数估计是在总体分布类型已知的条件下，对总体分布中某些未知参数，

利用样本提供的信息做出其数值大小的估计，或在给定的置信概率下，确定出

包含各未知参数的随机区间。

假设检验则是对总体的未知参数或总体服从的分布等，首先提出某种假设,

例如假设未知参数为某一常数或总体服从某已知分布等，然后由样本提供的信

息，在给定的显著性水平下，对所做假设的“真实性”做出否定还是不否定，

即拒绝还是接受的判定。而做出判定的根据是"小概率原理"，即一个概率很小

的事件，在一次抽样试验中，几乎是不可能发生的。否则就认为小概率事件的

假设不真实。

假设检验问题分为两大类，一类是参数假设检验，另一类是非参数假设检

验。对总体中未知参数的假设检验称为参数假设检验或简称参数检3佥；对总体

的分布、总体间的独立性以及是否同分布等方面的检验，称为非参数假设检验

或简称非参数检验。

§8.1假设检验的一般概念

为讨论假设检验的方法和步骤，先看以下两个例子，并由此引入有关概念。

例1外地一良种小麦,667m2产量(单位:kg)服从正态分布N(400,252),

引入本地试种，收获时任取〃=5块地，测得其667m2产量分别为400、425、

390、450、410,假定引种后667m2产量X也服从正态分布，试问：

(1)若方差不变，即X~N(",252),本地平均产量〃与原产地的平均产

量4=400kg有无显著变化？

(2)若X~M心y,本地平均产量是否比原产地平均产量高(或低)？

(3)本地引种后，667m2产量的波动情况与原产地667m2产量的波动情

况有无显著不同？

例2检查200箱食品用X表示一箱食品中变质食品的数量单位包)，

〃表示有X包变质食品的箱数，检验结果如下：

X01234

77132432032

试问变质食品包数X是否服从泊松分布？

以上两个例子都是假设检验问题，而且例1是参数假设检验问题；例2是

非参数假设检验问题。

检验是对假设而言的。一般来讲有如下两种假设：一种是原假设（或零假

设），通常是"相等性假设"，例如假定总体均值等于外,总体方差等于其，

总体分布为标准正态分布等，记为小；另一种是在原假设被拒绝后可供选择的

假设，称为备择假设，记为H\。备择假设修是和原假设从不相容的。

例1中，三个问题的假设分别表示为：

(1)4：〃=外(=400):“例(=400);(8.1)

(2)4：〃=例(=400):〃＞外(=400);(8.2)

Ho:〃=例(=400);M:〃＜的(=400);(8.2')

(3)%:〃=苏(=252);从：〃。吊(=252)。(8.3)

例2的假设则可表示为

H。:X服从泊松分布；M:X不服从泊松分布.

对于一个假设检验问题，做出完整和恰当的假设是解决问题的第一步，下

一步就是根据样本提供的信息，对该假设做出接受或拒绝结论的检验。下面我

们以例1中问题(1)为例。阐明假设检验的基本思想和概念。

欲检验的假设(8.11设(冷石,…,》”)是来自总体X的样本。由第七章的有

关讨论，样本均值亍是总体均值4的无偏估计量①，取值集中于〃附近(当“较

大时更是如此)，是〃的真实体现。因此，要检验〃=40()这一假设是否为真(成

立)，我们便利用〃的无偏估计量亍与400相比较，如果花-400|较小，则接受

%；而当年-4叫较大时则拒绝"。接受幺。这就需要我们给出一个临界值攵,

使当区-400|〈人时接受H。，而当区-400怛女时拒绝儿接受X。通常，采用下

述方法来确定这个女O

若儿为真，则

H~N(40(),252/n),

〃=^^2~/V(0,l)o

25/册

这样，元的取值集中于400便体现在”的取值集中于0。判断区-数)|是否较

|x-400|

小，等价于判断间=是否较小。给定很小的正数cG(0,1)(比如a=0.01),

25/4

由于

“不再严格区分统计量与其观测值，读者容易根据其含义做出判断，这正体现了样本的二重性。

P\\u\<u}=P=l-a,

a/225/6"2

P{问2“2}

因此，{|"|2〃小}是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生。如果在一次抽

样中果然观测到网之％2，则不仅导致了"|〃|较大"，而且也有悖于常理，于

是便拒绝"。接受必；而当时，我们没有找到拒绝"。的充分理由，只

好接受它。

称a是检验水平或显著性水平，它是我们制定检验标准的重要依据。常数

%,2把标准正态分布密度曲线下的区域分成了两大部分，其中一部分

{(%,为/..,乙)料2%2}(8.4)

称为“。的拒绝域或否定域，当样本点落入拒绝域时，我们便拒绝原假设;

另T汾

卜",...,七胴＜%2}(8.5)

则称为“。的接受域，当样本点落入接受域时，我们便接受原假设儿。鉴于，，a,/2

的这种特殊作用，称*2为儿的临界值。

对于假设（8.2）（或假设（8.2'））,人们所关心的不仅是/J与仅=400有

无差异，而是，是否比的大（或小\对于这类检验，统计量仍使用

U—工一〃。

W-/-I

25/yjn

若名为真，则X的观察值较集中在内附近，否则就明显向右（或向左）偏离，

因此备择假设仅有一种可能性，故对于给定的显著性水平a，假设（8.2）中4

的拒绝域为

（8.6）

《为"。的临界值。假设（8.2'）中"。的拒绝域则为

{（芯,3,-・,%“）|〃＜一%}（8.7）

一般地，拒绝域在接受域两侧的检验称为双侧检验,（8.1）即是这类检验

的假设。拒绝域和接受域各为一侧的检验称为单侧检验。（8.2）和（8.2'）都

是单侧检验的假设。在单侧检验中，拒绝域在接受域右边的检验称为右边单侧

检验，（8.2）是右边单侧检验的假设；而拒绝域在接受域左边的，称为左边单

侧检验,（8.21）是左边单侧检验的假设。

以上的推断是利用一次随机抽样的结果，根据小概率原理做出的。由于抽

样的随机性和小概率事件并非一定不发生的事件，因此，在推断中可能会犯如

下两类错误。第一类错误称为“弃真"错误：本来/为真，但由于统计量的

观察值落入了拒绝域，儿被拒绝了，显著性水平a是犯这类错误的概率，即

2凡被拒绝I4为真｝=a。

第二类错误称为“纳伪"错误：本来从不真，但由于统计量的观察值落入了

接受域，儿被接受了，犯这类错误的概率记为网0<£<1),即

飞从被接受14不真｝=及

在实际检验中，当然希望这两类错误都很小。但是，在样本容量〃固定时，要

同时减小a和£是办不到的。要减小其中的一个，则另一个就会增大(但不要

理解为a+夕=1I当a减小时，拒绝域变小，假若Hi为真时，则可能本来差

异是显著的，但由于拒绝域的变小，使统计量的观察值没有落入拒绝域而是落

入了接受域,把本来差异显著的股当作差异不显著的儿接受了，导致了£的

增大。要想使a和£同时减小，只有增大样本容量n，使样本均值的方差4/〃

变小而达此目的。关于。、£与〃的关系，此处不作进一步探讨。

在实际工作中，一般是通过选择a来控制£的。至于a选多大为宜，要根

据问题的重要性而定。例如航天器元件和医疗药品，在检验中宁可让弃真错误

大一些，也不要把次品混进合格品中，此时应选a大些；对于质量要求不高,

次品出现影响不大的产品(例如粉笔短了1mm),则可选择a小些。通常a取

0.10、0.05、0.01.0.001等值。

综上所述，我们可总结出假设检验的步骤为：

(1)根据问题的要求提出假设，写明原假设Ho和备择假设M的具体内

容。

(2)根据名的内容，建立(或选取)检验统计量并确定其分布。

(3)对给定(或选定)的显著性水平a,由统计量的分布查表或计算确定

出临界值，进而得到名的拒绝域和接受域。

(4)由样本观察值计算出统计量的值。

(5)做出推断：当统计量的值落入H0的接受域时就接受H0,否则拒绝

HQ接受o

(6)完整准确地写出检验的结论。

在假设检验中，当在0.01<a<0.05下拒绝HQ时，通常称差异显著，记

作,在a<0.01下拒绝H0,通常称差异极显著,记作在双侧检验

中，备择假设可以略去不写。

§8.2参数假设检验

本节讨论单个总体均值〃和方差/的假设检验，两个总体均值差的假设检

验、方差相等的假设检验，以及总体频率的假设检验。

8.2.1单个正态总体均值〃的假设检验

设总体X~,(王,生…，王)是来自总体X的样本，对，要检验的

假设是

(1)双侧检验Ho：p=M；H\："W(8.8)

(2)右边单侧检验/：〃=仅；Hi:叩例;(8.9)

(3)左边单侧检验/:〃=例；(8.10)

其中")为已知常数。

以上检验又可分为如下两种情况。

1.，已知时的"检验

由第六章(6.8)式知”N(〃，a2In)，当外为真时，有

〃=£Z^~N(O,1).(8.11)

a/yjn

对于给定的显著性水平a(0<a<1),可查表得到外」，使

P\\u\>ua/2}=a

于是得到双侧假设(8.8)中外的拒绝域为{(七,内,…，马)||哈—}，与(8.4湘

同。由样本观察值计算出统计量”的值后，便可做出检验结论：当问时

拒绝H。,认为总体均值，与已知常数〃)之间差异显著；而当|“区分"寸，则

接受名,认为〃与，。之间差异不显著(但并非〃="。\

在检验单侧假设(8.9)和(8.10)时，仍使用统计量(8.11)。假设(8.9)中“°

的拒绝域为{(玉，斗，…,x,)|“>%},与(8.6)相同；假设(8.10)中“。的拒绝域

为…,x")|〃<-4}/与(8.7)相同。

例1对§8.1中例1的问题⑴，在a=0.01下做出检验。

解其假设如8.1成为6已知时的〃检验。由样本观察值计算出了=415,

又已知4=252,〃=5,则统计量的观察值“=415-域0=]3416,a=0.05,

25/V5

查表得临界值％/2="(W25=L96。

由于问=1.3416<劭必=1.96,所以接受假设”。，认为该小麦品种引种到

本地后，平均产量与原产地无显著差异，具有推广价值。

例2据往年统计，某杏园中株产量(单位：kg)服从/V(54,3.52),1993

年整枝施肥后，在收获时任取10株单收，结果如下：

59.055.158.157.354.753.655.060.259.458.8

假定方差不变，问本年度的株产量是否有提高？(。=0.05)

解此为已知方差。2=3.52的右边单侧检验，其假设为

Ho:〃=54;Hi:”>54。

计算得下=57.12。又/7=10,公3.5,所以u=5712(4=28]89；由

3.5/V10

a4.05彳导=405=L645。

由于〃=2.8189>%=1.645,所以拒绝H。接受Hi,即认为本年度的株产量

较往年有较大提高。

例3已知某炼铁厂的铁水含碳量%在正常情况下服从/V(4.55,0.112),

今测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。若标准差不变,

铁水的含碳量是否有明显的降低？(cr=0.05)

解此为方差〃=0.112时的左边单侧检验，其假设为

H&〃=4.55;M：“<4.55。

由题设知〃=5,。2=0.112,又由样本观察值计算出亍=4.364,则

天一人4.364-4.55_

u=---=--------；=—=-3a.78O1,

a/yjn0.11/y5

a-0.05,查表得〃。=1.645。

由于u<—ua,所以拒绝从接受Hit即认为铁水的含碳量有显者下降。

2.J未知时的，检验

在许多实际问题中，方差是未知的，此时由第6章（6.15）式，当双侧假

设（8.8）中/为真时

「=之华（8.12）

s/yjn

对于给定的a（0<a<1）,可查表得%2（"T），使得P｛|”>a2（〃—1）｝=。。

由此得到双侧假设（8.8）中“。的拒绝域为｛（不与…,七州之％2（〃-1）｝，

其中如2（〃T）为临界值。对于给定的样本观察值，可由（8.12）式计算出统计量t

的值，并据此做出推断:当M乂/2（〃T）时拒绝”。；而当M<%2（〃T）时接受”。。

在检验单侧假设（8.9）和（8.10）时，仍使用统计量（8.12）。假设（8.9）中“°

的拒绝域为｛（和玉,…（〃-D｝；假设（8.10）中"。的拒绝域为

单个正态总体均值〃的〃检验和常佥验，可总结如表8.1

表8.1单个正态总体均值〃的"检验和，检验

方差已知（〃检验）方差未知（1检验）

统计量统计量

检验

HoHi

类型u=.一牛~N(0,1)t=—~~磬~t(n—1)

bNns/

在显著性水平a下外的拒绝域

双侧检验M>%2(〃T)

右边单侧检验〃>例U>uat>ta(n-l)

左边单侧检验〃二M）〃<外u<-ua

例4一般情况下667m2粮食产量服从正态分布。某县在秋收时随机抽查

了20个村的667m2产量（单位:kg）得平均产量F=1052kg标准差s=50kg,

试问该县已达到吨粮县的结论是否成立?（a=0.05）

解本题是〃未知的左边单侧检验。

Ho：^=1000;1000@o

由于乐未知，用常佥验。由题设77=20,s=50,a=0.05,贝(］三二1052,

亍―41052-1000一〈I

——=-----=4.651,

s/\/n50/V20

查表彳导占(九-1)=505a9)=1.729lo

由于力T“(“-1),所以接受H。,认为该县已经达到了吨粮县的标准。

3总体分布未知，但为大样本时的"检验

若总体X的分布未知，均值〃和方差。2存在，(4,生…，%)是来自总体X

的一个大样本(〃250),由独立同分布的中心极限定理，对任意实数x,都有

当J已知且H0为真时，u=七隼渐近服从N(0,1)分布,故可用〃检验

(y7n

完成(8.8\(8.9).(8.10)的检验。

不可将本题的假设表示为“："=1000,>1000,因为"=1000和“>1000表示相同的意义。

当J未知时，用。2的无偏估计$2代替。2,在"为真的情况下，亦有

“=文年渐近服从N(0,1)分布，可仿照出已知的情况进行〃检验。

例5某果园，苹果树剪枝前平均每株产苹果52kg,剪枝后任取50株单

独采收，经核算平均株产量为54kg,标准差s=8kg,试问剪枝是否提高了株

产量？

解此为总体分布未知且方差亦未知的大样本下，对〃的假设检验问题。

Ho：〃=52;M：〃>52。

由题设〃=50,x=54,5=8,贝打，=^^=^JI=1.767L查表得

s/yjn8/V50

W0.05=1•64f/%025=1.96。

由于"oa<〃<%35，当a=0.05时应拒绝“0接受,而当a=0.025时就

应当接受H。。故认为剪枝对提高苹果产量有显著作用，但并不十分显著。

8.2.2单个正态总体方差4的/检验

设总体人/V(〃，J),其中出为待检验的未知参数，(芭，在…，/)是来自

总体X的样本，要检验的假设为：

(1)双侧检验~b；(8.14)

22

(2)右边单侧检验H0:<T=苏;Hf:a>a-；(8.15)

(3)左边单侧检验/：/=其；乜：b2<b>(8.16)

其中/是已知常数。由于使用的检验统计量均服从/分布，故检验称为/检

验。检验分为，已知和未知两种情况。

1.〃已知时〃的/检验

当儿为真时

1n

z2=—Xu,-^)2~Z2(«)(8.17)

5)i=l

且

P{/2<%乙2(〃)}=。/2,(8.18)

产{力2>%，(〃)}=a/2。(8.19)

由(8.18)和(8.19)可得双侧假设(8.14)中外的拒绝域为

{(3,为2，-、马)|力2<沈.2(〃)}1|{(知工2，,"")|%2>福(〃)}。(8.20)

由样本观察值计算出统计量/的值后，便可进行如下推断：当

/<2乙2(〃)或/>/，(")时拒绝HQ,认为乐与b：差异显著；否则就接受

H0,认为〃与式之间无显著差异。

对于单侧检验(8.15)和(8.16),仍使用统计量(8.17),不难得到它们的

拒绝域分别为

2

{(x,,x2,---,x„)|z>/(〃)}(8.21)

和

{(2々,…,4)|%2<犹&(研。(8.22)

2.〃未知时/的/检验

在〃未知且当，为真时，统计量

z2=^-T-s2=-4-^2(X,.-x)2~z2(/i-l)(8.23)

々4/=!

检验方法与〃已知的情况没有本质的差异。(8.14)中4的拒绝域为

{a，X2「、X")|%2<7M/2(〃T)}u{a，"“")|%2>/22(〃T)}。(8.24)

(8.15)中小的拒绝域为

2

{(xl,x2,---,x„)|z>Z；(«-1)}(8.25)

(8.16)中/的拒绝域为

{(七,々/一,王)|力2<力乙("-1)}。(8.26)

总结上述讨论，可得单个正态总体方差@的/检验表8.2。

例6已知某种棉花的纤度服从，0.0482),现从2003年收获的此种

棉花中任取8个样品,测得纤度为：1.40,1.38,1.32,1.42,1.36,1.44,

1.32,1.36。问2003年棉花纤度的方差与已知纤度的方差是否相同?(a=0.10)

解这是〃未知情况下，对总体方差的双侧检验，检验假设为

Ho：o2=b：(=0.0482\

由题设条件n=8,苏=0.0482,又由样本观察值计算得斤=1.375,

818

22

X(七-元)2=0.0134,贝！］z=-^£u,.-x)=5.8160,的0.10，查表得

i=l/=1

力：乌(〃-1)=%工(7)=1.145,z^(n-l)=7^.(7)=11.071o

~2

由于1)</<，所以接受H。,即认为2003年棉花纤度的

122-

方差与0.0482无显著不同。

表8.2单个正态总体方差出的胃检验

〃已知〃未知

统计量/=统计量¥=

检验

HoHi

1〃二！■5?~九2（〃-i）

类型F£（X,一〃）2~力2（〃）

aoZ=1

在显著性水平a下4的拒绝域

22,、22

%<%Y/2（〃）力一<名二/2（〃-1）

双侧检验〃=说

或力2>//2（〃）或/>//2（〃-1）

22,

Z2>/（〃T）

H>筋⑺

右边单侧检验出二大

*

292

，〈疣a（〃）Z<ZL（»-D

左边单侧检验无而

或

8.2.3两个总体均值差的假设检验

设总体片/V（仇，。2）,Y~NM6）,且X与丫相互独立，（与,々,…,天）

和(y，M，…,九)分别是来自总体版口H的样本K和s；分别是样本(％,々,…,/)

的均值和方差；了和其分别是样本(加的均值和方差，要检验的假设

为：

(1)双侧检验/：伏二优；/V1：仇H箧；(8.27)

(2)右边单侧检验Ho：/Ji=p2；Hi:">位;(8.28)

(3)左边单侧检验HO：/JI=/J2；</J2O(8.29)

此检验分为如下两种情况。

1./2,6已知时的"检验

由抽样分布知且］,，

由X与汽目互独立知F与

k)I〃2J

F独立，故

<22、

x-y~N4-〃,，—+—

I4〃2,1

当外为真时，有

〜N(0,1)(8.30)

仿照单个正态总体均值〃的〃检验，即可得到表8.3中的相关结果。

2.b；=/=4但未知时的，检验

在此条件下，当从为真时，有

K一.、’

〜+%-2)(8.31)

y々+%-214%,

仿照单个正态总体均值〃的常佥验，即可得到表8.3中的相关结果。

表8.3两个总体均值差的U检验和t检验

而，可已知（〃检验）b：=b；=CT?但未知«检验）

统计量统计量*

检验

《H\

“二-,，MV——N(O,1)

区+三1=—2)

类型上

Y勺n

2Vnin2

在显著性水平a下〃的拒绝域

1〃1>电1t\>t(ni+m-2)

双侧检验〃1二〃2a

~22

右边单侧检验二〃2〃1>〃2〃>%t>ta(m+/72-2)

U<

左边单侧检验二伏-"at<-ta(m+m-2)

*$2=(勺-1)5；+(%-1)5；

勺+%—2

例7为比较两种农药残留时间（单位：d）的长短，现分别取12块地施

甲种农药，10块地施乙种农药，经一段时间后，分别测得结果为：

甲：x=12.35,=3.52;

乙：j=10.75,$=2.88.

假设两药的残留时间均服从正态分布且方差相等，试问两种农药的残留时间有

无显著差异？（a=0.05）

解此为苏=员=/但未知时，对两个正态总体均值差的？的检验。

Ho:〃1=〃2；H1:必/箧。

由题设％=12,氏=10,x=12.35,y=10.75,s；=3.52,s：=2.88,则

12.35-10.75

t=■I,=2.0786,

11x3.52+9x2.88(1J_、

+

y-12+10-2-lk1210.

a=0.05,则L(〃|+%-2)=103(20)=2.0860。

22

由于14<L(〃|+%-2),所以在显著性水平a=0.05下接受H0,认为两

2

种农药的残留时间无显著差异。但由于a=0.052时，%(4+〃2-2)=%052(20)

~22

=2.0663,所以在显著性水平a=0.052下应拒绝Ho,认为两种农药的残留时

间有显著差异。这就表明，在统计量的值比较接近临界值时，做出何种结论都

是困难的，都可能312较大的错误。

以上是对两个正态总体均值差的假设检验。但是，更多的情况是总体分布

未知，要求对两个总体的均值差进行检验。要解决这类问题，通常的方法是取

两个大样本，由中心极限定理，当外:伏=偿为真时

u=.「一》~N(0,l)③(8.32)

区+式

《飞巧

当b；，犬未知时，用S：和食分别代替b；和犬,有

u=^~y~/V(0,l)(8.33)

o

VAlj&

这就是说，两个总体的分布未知，但只要是大样本，无论方差知否，均可

用"检验进行均值差的显著性检验。

记号“~N(0,l)表示当8时u的渐近分布为N(0,l)。

例8甲乙两种作物分别在两地种植，设管理条件相同，收获时得以下结

果：

甲：g=400hm2,平均产量彳=5030kg,5,=510kg;

2

乙：/72=550hm,平均产量歹=5100kg,s2=500kgo

问甲的产量是否比乙的低?(a=0.05)

解这是两个总体分布及其方差均未知，对总体均值差的检验，由于是大

样本，故为〃检验。

Ho:仇=依;/Ji</J2o

由题设条件及(8.33)可计算出

x-y_5030-5100

U=-2.10599,

51025OO2

-------d----------

400550

cr=0.05,则%=1.645。由于%,所以拒绝从接受Hi,即认为作物甲的

产量比作物乙的低。

8.2.4两个正态总体方差齐性的尸检验

设总体，内M〃2，b；）,且X与P相互独立，（％,无2,…，/）和

（x，%，…,九）分别是来自总体版口用样本k和s：分别是样本（西,孙…,勺）的

均值和方差万和S；分别是样本（X，必，…,九）的均值和方差，欲检验的假设是：

Tr?2

（1）双侧检验Hn：b；=cr+"]b2干b；(8.34)

（2）右边单侧检验%：b；=cr：；HjCr；(8.35)

（3）左边单侧检验H（）:cr；=cr：；H,cro(8.36)

此检验又分为ZA,42已知和未知两种情况。

1.,偿已知时方差齐性的尸检验

由样本方差的性质知

得百1«热1—-旭），竭大1〃2.「〃―/（»

当儿为真时，由尸分布的定义知统计量

1勺

2,一之（七一4）2

石/勺_马闫(8.37)

//%心（y「〃2）2

«22

由

aa

■｛尸（耳〜2（«1，«2）｝=万，—｛尸〉乙/2（«1，«2）｝=5，

得至U（8.34）中外的拒绝域为

卜孙工2，一・,%）,（如当，・“，券2）|%耳-"2（4，〃2）｝

或｛（%，巧，…，/），（如必，…，九）忻》弓/2（/，〃2）｝。

由样本观察值计算得到统计量的观察值尸后，便可做出以下推断：当

FW耳52（%"2）或产之月/2（“，巧）时，就拒绝H。,认为（T：和CT；有显著差异,

否则接受小,认为b：和b；差异不显著，此时称X和P的方差是齐性的。方

差相等性检验也称为方差齐性检验。

对于单侧检验，其统计量仍为（8.37）式,4的拒绝域见表8.4。

2.2,偿未知时方差齐性的尸检验

由样本方差的性质知

5%

由x和％独立知片和必独立。则当必为真时，由尸分布的定义，统计量

F==4~?（〃「1,%T）（8.38）

72/（%—1）$2

类似于仇和箧已知的情况,（8.34）中Ho的拒绝域为

卜不々,一，,/）,（凹,必，,、%）怛<片-a/2（勺一1，〃211）｝

或｛（%工2，一,,/）,（如%，一、九）|/2月/2（4-1，〃2-1）｝。

总结以上结果，得方差齐性的尸检验表8.4。

表8.4两个正态总体方差齐性的尸检验表

,〃2已知〃1,〃2未知

统计量统计量

检验

1为

一方（X）2

HoHi

尸;代----------尸（勺,"2）

类型

F=^~F{n,-\,n-\)

n2/=12

S2

在显著性水平a下的的拒绝域

o22F<F八足，吟F<F„(Z71-1,z72-1)

双侧CTjHb：1--

检验或F>q(m,㈤或F>F区(m-1,rn-

22

1)

右边单

42=/2CT；>㈤

F>Fa(ni,F>Fa(ni-1,n2-1)

侧检验

左边单

2?

%=g苏</F<F~(m,㈤F<F,_a(ni-1,r72-1)

侧检验

例9从甲乙两种氮肥中，各取若干样品进行测试，其含氮量数据分别为

甲：/7I=18,元=0.2300,s；=0.1337；

乙：柩=14,y=0.1736,^=0.1736.

若两种氮肥的含氮量都服从正态分布，问两种氮肥的含氮量是否相同？

(a=0.05)

解此题是两正态总体方差未知，亦不知是否齐性的情况下对两总体均值

差的检验。要用纤佥验，须先作方差齐性检验。

2

Ho:er,=(y\.

由题设勺=18,s[=0.1337,%=14,s；=0.1736,于是

s：0.1337

=0.7702,

品一0.1736

由cr=0.05得

FJ^-1,n2-V)=F005(17,13)=3.00,

22

Fa(n1-l,n2-l)=F005a7,13)=0.36°

1-1-------

22

由于77a(4-1，四一1)＜一＜工(4一1，々一1)，所以接受外，认为方差是齐

I-----

22

性的。

因已得到方差齐性的结果，1检验的条件已满足。进而检验

Ho：优二"。

统计量的值为

t=।­

gl)S：+(〃2-叫1+1

4+〃2-2n

J]27

0.23-00.1736

0.40,

I17XO._1J^7X13^0/17361

\1-141「"J14

a=0.05,贝+%-2)=%(30)=2.0423

22

由于I/1〈L(/+〃2-2),所以接受H0,即认为两种氮肥的含氮量基本相

~2

同(无显著差异\

8.2.5总体频率的假设检验

在产品检验，森林树木病害率的调查以及药效对比等试验中，常用到总体

频率的检验，本节就大样本的情况下，讨论总体频率差异性的检验。

1.单个总体频率的检验

设夕为总体X的频率，(冷冷….口是来自总体入的样本，下是样本均值，

例(0<0<1)为已知常数，要检验的假设为

HQ:P=PG。(8.39)

由中心极限定理，当/为真时

(8.40)

于是以下的检验过程完全同于〃检验，不再赘述。

例10某种子站有一批种子，按规定发芽率不低于95%才可出售，今从

中任取500粒作发芽试验，有480粒出芽，问这批种子可否出售?(a=0.0S)

解设这批种子(总体)的发芽率为p,则要检验的假设为

Ho:/?=0.95;Hi:/?<0.95„

由题设条件”=500,x=----=0.96,cr=0.05,ua=1.645,

=1.026

Po)0.95(1-0.95)

V500

由于〃〉-%,故接受HQ,认为该批种子的发芽率不低于95%,可以出售。

2.两个总体频率差异性的检验

在分析对比试验结果时，常用到两个总体频率差异性的检验，设.和口

分别是独立总体X和P的频率，亍和了分别X和P的样本均值，G和①分别

是X和Z的样本容量。检验假设为

，2(=Q；

“0：P尸4:印月；(8

H。：%=〃2(=同；耳：庐序(8

，2(=0；

“o：P尸4:不P1-(8

由中心极限定理，有

^(g支]

Np®y^N(p

人/v〃],，yiy“2，

n

In\)I2J

由X和P的独立性，有

x-j-//vfp「p,,■(1")+，2(1-幺)](8.44)

I4«2)

当HQ为真时，即8="2=〃时，P的无偏估计为

(8.45)

n+n

勺+〃2勺+〃2(&M)\2

其中九人分别是二总体具有某种性质的个体数(亦即实测频数\由(8.44)式,

当儿为真时

ud

了7x—y

u=-;=~/V(Q,l)(8.46)

IP(I-P)+P(1-P)fl1]

y/n2V14n2)

以下的检验也完全与"检验相同。现将总体频率的假设检验总结为表8.6。

例11为检验一种预防流感新药的疗药，作对比试验，其中一组200人

服此药后，161人免于流感，另一组400人服其它药，有250人免于流感,

试在汨0.01下，检验此药对预防流感的效果是否显著？

解此为二总体频率差异性检验，设服新药总体免疫的频率为.，服其它

药总体免疫的频率为pi,欲检验

Ho:P1=P2；HePl>4

由题设条件机=200,./；=161,叼=400,人=250,a=0.01,%=%,(n=2.33。

=1^1=0.805,_250=0.625,p=A±4161+250

则%y-----=0.685,

200400-200+400

0.805-0.625

u==4.4745。

11

.P0~P)—•+|0.685(1-0.685)--------1--------

V5n2)200400

由于，，＞%,所以拒绝”。接受Hi,即新药疗效极显著。