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文档简介
第五讲空间角与距离、空间向量及应用题组1空间直角坐标系1.[2014北京,7,5分][理]在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2 D.S3=S2且S3≠S12.[2013新课标全国Ⅱ,9,5分]一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()ABCD题组2空间角与距离3.[2017浙江,9,5分]如图851,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,BQQC=CRRA=2.分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为α,β,γ,则(图851A.γ<α<β B.α<γ<βC.α<β<γ D.β<γ<α4.[2014四川,8,5分][理]如图852,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()图852A.[33,1] B.[63,1]C.[63,2235.[2017全国卷Ⅱ,19,12分][理]如图853,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点图853(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.6.[2017江苏,22,10分][理]如图854,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.图854(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值.7.[2015新课标全国Ⅱ,19,12分][理]如图855,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.图855(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.8.[2014新课标全国Ⅱ,18,12分]如图856,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.图856(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=3,三棱锥PABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离题组3向量法在立体几何中的应用9.[2017天津,17,13分][理]如图857,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.图857(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角CEMN的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长10.[2016北京,17,14分][理]如图858,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.图858(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由A组基础题1.[2018南昌市高三调考,10]已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC满足AB=22,∠ACB=90°,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为()A.2 B.22 C.3 D.232.[2017长沙市五月模拟,12]平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线AB1,且平面α⊥平面C1BD,平面α∩平面ADD1A1=AS,则∠A1AS的正切值为()A.32 B.55 C.333.[2018长春市第一次质量监测,19]如图859,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.图859(1)证明:PB∥平面ACE;(2)设PA=1,∠ABC=60°,三棱锥EACD的体积为38,求二面角DAEC的余弦值4.[2017沈阳市三模,19]如图8510,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,若AM⊥平面ABD,且AM=2.图8510(1)求证:DM⊥平面ABC;(2)求二面角CBMD的大小.B组提升题5.[2017陕西省六校第三次适应性训练,11]已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点,则直线AF与平面A1D1F所成角的正弦值为()A.15 B.25 C.35 6.[2018广东七校联考,18]如图8511,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.图8511(1)求证:AB∥EF;(2)若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.7.[2018辽宁五校联考,19]如图8512所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD等于60°.直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AF=2AB=2.图8512(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成角的余弦值为348.[2017太原市三模,19]如图8513,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.图8513(1)证明:DE∥平面A1B1C;(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.答案1.D根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,如图D8511,显然S1=S△ABC=12×2×2=2,S2=S3=12×2×2=2.图D85112.A作出空间直角坐标系,在坐标系中标出各点的位置,然后进行投影,分析其正视图形状,易知选A.3.B如图D8512,设O是点D在底面ABC内的射影,过O作OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥RQ,垂足分别为E,F,G,连接ED,FD,GD,易得ED⊥PR,∴∠OED就是二面角DPRQ的平面角,∴α=∠OED,tanα=ODOE,同理tanβ=ODOF,tanγ=图D8512图D8513底面的平面图如图D8513所示,以P为原点建立平面直角坐标系,不妨设AB=2,则A(1,0),B(1,0),C(0,3),O(0,33),∵AP=PB,BQQC=CRRA=2,∴Q(13,233),R(23,33),则直线RP的方程为y=32x,直线PQ的方程为y=23x,直线RQ的方程为y=33x+539,根据点到直线的距离公式,知OE=22121,OF=3939,OG=13,∴OE>OG>OF,∴tan4.B易证AC1⊥平面A1BD,当点P在线段CC1上从C运动到C1时,直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况:∠AOA1→π2→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时,α=πsin∠AOA1=63,sin∠C1OA1=223>63,sinπ2=1,所以sin5.(1)取PA的中点F,连接EF,BF,如图D8514所示.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=12AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图D8514所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,3),AB=(1,0,0).图D8514设M(x,y,z)(0<x<1),则BM=(x1,y,z),PM=(x,y1,z3).因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量,所以|cos<BM,n>|=sin45°,即|z|(x-1)2+y2+z2=又M在棱PC上,设PM=λPC,则x=λ,y=1,z=33λ②.由①②解得x=1+2所以M(122,1,62),从而AM=(122,1,设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则m·AM所以可取m=(0,6,2).于是cos<m,n>=m·n|因此二面角MABD的余弦值为1056.在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如图D8515,以{AE,AD,AA1}为正交基底,建立空间直角坐标系因为AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°,则A(0,0,0),B(3,1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A1(0,0,3),C1(3,1,3).图D8515(1)A1B=(3,1,3),AC1=(3,1,3).则cos<A1B,AC又异面直线所成角的范围为(0,π2所以异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17(2)平面A1DA的一个法向量为AE=(3,0,0).设m=(x,y,z)为平面BA1D的法向量,又A1B=(3,1,3),BD=(则m·A不妨取x=3,则y=3,z=2,所以m=(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos<AE,m>=AE·m|AE||设二面角BA1DA的大小为θ,则|cosθ|=34因为θ∈[0,π],所以sinθ=1-cos因此二面角BA1DA的正弦值为747.(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图D8516所示.图D8516(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图D8516所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则n·FE所以可取n=(0,4,3).又AF=(10,4,8),故|cos<n,AF>|=|n·AF所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为458.(Ⅰ)设BD与AC的交点为O,连接EO,如图D8517所示.图D8517因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(Ⅱ)V=16PA·AB·AD=36AB.由V=34,可得作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.又AH=PA·ABPB所以A到平面PBC的距离为313图D85189.如图D8518,以A为原点,分别以AB,AC,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(Ⅰ)DE=(0,2,0),DB=(2,0,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则n·DE不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,1),可得MN·n=0.因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.(Ⅱ)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x1,y1,z1)为平面EMN的法向量,则n因为EM=(0,2,1),MN=(1,2,1),所以-不妨设y1=1,可得n2=(4,1,2).因此有cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|所以二面角CEMN的正弦值为10521(Ⅲ)依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得NH=(1,2,h),BE=(2,2,2).由已知,得|cos<NH,BE>|=|NH·BE||整理得10h221h+8=0,解得h=85或h=1所以线段AH的长为85或110.(Ⅰ)因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又PA⊥PD,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.(Ⅱ)取AD的中点O,连接PO,CO,如图D8519.图D8519因为PA=PD,所以PO⊥AD.因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图D8519建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),PD=(0,1,1),PC=(2,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PD令z=2,则x=1,y=2.所以n=(1,2,2).又PB=(1,1,1),所以cos<n,PB>=n·PB所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33(Ⅲ)设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1],使得AM=λAP.因此点M(0,1λ,λ),BM=(1,λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以要使BM∥平面PCD,则BM·n=0,即(1,λ,λ)·(1,2,2)=0,解得λ=14所以在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,此时AMAP=1A组基础题1.B取AB的中点O1,连接OO1,如图D8520,在△ABC中,AB=22,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆,所以O1A=2,且OO1⊥AO1,又球O的直径PA=4,所以OA=2,所以OO1=OA2-O1A2=2,且OO1⊥底面ABC,所以点P到平面ABC图D85202.D如图D8521,连接AC,A1C,正方体ABCDA1B1C1D1中,BD⊥AC,BD⊥AA1,∵AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1C,∴A1C⊥BD,同理,得A1C⊥BC1,∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD,图D8521如图D8521,以AA1为侧棱补作一个正方体AEFGA1PQR,使得侧面AGRA1与平面ADD1A1共面,连接AQ,则AQ∥CA1,连接QB1,交A1R于S,则平面AQB1就是平面α,∵AQ∥CA1,∴AQ⊥平面C1BD,∵AQ⊂平面α,∴平面α⊥平面C1BD,∴tan∠A1AS=A1SAA3.(1)连接BD交AC于点O,连接OE.在△PBD中,PE=DE,BO=DO,所以PB∥OE.又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥平面ACE.(2)由题,易知VPABCD=2VPACD=4VEACD=32,设菱形ABCD的边长为a(a>则VPABCD=13S▱ABCD·PA=13×(2×34a2)×1=32取BC的中点为M,连接AM,则AM⊥AD.以点A为坐标原点,分别以AM,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图D8522所示的空间直角坐标系,图D8522则A(0,0,0),E(0,32,12),C(32,32,0),AE=(0,32,12),AC设n1=(x,y,z)为平面AEC的法向量,则n1·取x=1,则n1=(1,3,3)为平面AEC的一个法向量.由题,易知平面AED的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>=n1·n2|由图易知二面角DAEC为锐二面角,所以二面角DAEC的余弦值为13134.(1)设BD的中点为N,连接AN,CN,则AN⊥BD,CN⊥BD,∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,CN⊂平面CBD,CN⊥BD,∴CN⊥平面ABD,以A为坐标原点,AB,AD,AM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D8523所示的空间直角坐标系,图D8523则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,2),D(0,2,0),M(0,0,2),AB=(2,0,0),AC=(1,1,2),DM=(0,2,2),∴DM·AB=0,DM·AC=2+2=0,∴DM⊥AB,DM⊥AC,又AB∩AC=A,∴DM⊥平面ABC.(2)由(1)得,BM=(2,0,2),BC=(1,1,2),BD=(2,2,0),设平面CBM的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n即-2x1+2z1=0,-x1+y1+2z1=0,令x1=设平面DBM的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n即-2x2+2z2=0,-2x2+2y2=0,令x2=1,得z∴cos<n1,n2>=n1·n2|设二面角CBMD的大小为θ,由图可知θ为锐角,∴cosθ=12,θ=π3,即二面角CBMD的大小为B组提升题5.B解法一如图D8524所示,取AB的中点G,连接GF,A1G,AE,A1G∩AE=H,连接HF,设正方体的棱长为a,因为G,F分别为AB,DC的中点,所以GF∥A1D1,图D8524所以平面A1D1F与平面A1D1FG共面.在Rt△A1AG与Rt△ABE中,因为A1A=AB,AG=BE,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,所以∠GA1A=∠EAG,因为∠GA1A+∠A1GA=90°,所以∠EAG+∠A1GA=90°,即AE⊥A1G,又GF⊥AE,A1G∩GF=G,所以AE⊥平面A1D1F,所以∠HFA是直线AF与平面A1D1F所成的角.在Rt△A1AG中,AG=a2,A1A=a,所以AH=55a,又AF=52a,所以sin∠HFA=解法二如图D8524,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,2,1),AE=(0,2,1),AF=(2,1,0),D1A1=(2,0,0),D1F=(0,1,2),所以AE·D1A1=0+0+0=0,AE·D1F=0+22=0,所以AE⊥A1D1,D1F⊥AE,即AE为平面A1D1F的一个法向量.设直线AF与平面A1D1F所成的角为α,则sinα=|cos6.(1)∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AB∥平面PCD,∵A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF.(2)如图D8525,取AD的中点G,连接PG,GB,∵PA=PD,∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥GB.在菱形ABCD中,∵AB=AD,∠DAB=60°,G是AD的中点,∴AD⊥GB.图D8525以G为坐标原点,GA,GB,GP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Gxyz,∵PA=PD=AD=2,∴G(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0),D(1,0,0),P(0,0,3),∵AB∥EF,点E是棱PC的中点,∴点F是棱PD的中点,∴E(1,32,32),F(12,0,32),AF=(32,0,32),EF=设平面AFE的法向量为n=(x,y,z),则n·AF=0不妨令x=3,则n=(3,3,33)为平面AFE的一个法向量.易知BG⊥平面PAD,∴GB=(0,3,0)是平面PAF的一个法向量.∵cos<n,GB>=n·GB|n|·|∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为13137.(1)∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED⊂平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∵AB⊂平面ABCD,∴ED⊥AB,∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,∴BD=1+4-2×1×2×cos60°∴AB2+BD2=AD2,即AB⊥BD,又BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD,BD∩ED=D,∴AB⊥平面EBD,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.(2
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