高考大题研究课九

高考大题研究课九圆锥曲线中的最值、范围问题会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．关键能力·题型剖析题型一最值问题例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，(1)求双曲线的方程；(2)若直线y＝kx＋1k(0<k<1)与曲线C有两个不同的交点A，B，O是坐标原点，求△OAB的面积最小值题后师说圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．巩固训练1[2024·江西上饶模拟]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝c交于点P，若AF1＝λF1B，且点Q满足QA＝λQB，求|PQ题型二范围问题例2[2024·河北沧州模拟]已知P为圆M：(x＋2)2＋y2＝16上任一点，N(2，0)，MQ＝λMP，λ∈(0，1)，且满足(QP+QN)·PN(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；(2)直线l：y＝kx＋1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为－1k的直线与x轴交于点E，记μ＝ABDE，若k∈[12，2]，求题后师说解圆锥曲线中范围问题的策略巩固训练2[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)在抛物线上，|AF|＝5.(1)求抛物线方程；(2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且∠MAN是钝角，求直线斜率范围．高考大题研究课九圆锥曲线中的最值、范围问题关键能力·题型剖析例1解析：设点P(a，0)，点Q(0，b)，则直线PQ的方程为xa+y与渐近线y＝bax联立，得xa即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为(a2，又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为(12，所以a2=12，b2=12，即a＝b解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1k代入x2－y2＝1得(1－k2)x2－2x－1k2－1＝则Δ＝4＋4(1－k2)(1k2＋1)＝41-k4+k2k2>0，x1＋x2|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2＝21+k211-点O到直线y＝kx＋1k的距离d＝1kk2+1S＝12|AB|d＝12×21+k2k2+1-令t＝k2－k4，所以S＝1+tt2＝1t2+1t，令s＝因为0<k<1，所以0<k2<1，由t＝－(k2－12)2＋14，得0<t≤14，由s＝1t，得s≥4，由S＝s2+s＝s+1即当s＝4，t＝14，k2＝12，k＝22时此时满足Δ>0，所以△OAB面积的最小值为25.巩固训练1解析：由题意，2b2a=3，ca=12，a2-b解析：由(1)得F1(－1，0)，若直线l1的斜率为0，则l2为x＝－1与直线x＝1无交点，不满足条件．设直线l1：x＝my－1，若m＝0，则λ＝1则不满足QA＝λQB，所以m≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，由3x2+4y2=12，x=my-1，得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，y1＋y2＝因为AF1即-1-x1，-y1=λx2+1，y2,x1-x0，所以λ＝－y1y2＝y1-y0y2-y0，解得y0＝2y1y2y1+直线l2：x＝－1my－1，联立x=-1my-1，x=1，解得P(∴|PQ|＝52+-3m+2m2≥5，当且仅当m＝∴|PQ|的最小值为5.例2解析：如图，由(QP+QN)·PN＝0，可得|QN|＝|QP因为|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，所以|NQ|＋|QM|＝4，所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，所以动点Q的轨迹Γ的方程为x24解析：直线l的方程为y＝kx＋1(12≤k≤2)，联立x24+得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，Δ＝(4k)2－4×(－2)×(2k2＋1)＝32k2＋8>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4k2k2+1，x1x又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝22k2+1，可得线段AB的中点坐标为(所以线段AB垂直平分线的方程为y－12k2+1＝－1k(令y＝0，可得E(－k2k2+1对于直线y＝kx＋1，令y＝0，可得D(－1k，0)所以|DE|＝|－k2k2+1－(－1k又|AB|＝1+＝1+k2-所以μ＝ABDE＝2k8k2令t＝k2＋1∈54，5，则y＝8(k2＋1)＋6k2+1－14＝8y′＝8－6t2，当t∈54，5时，y′>0，所以y＝8t＋6t所以y∈45，1365，则μ巩固训练2解析：由题意可得：2pm=16解得m=4p=2或故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y.解析：抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，p2)，设l：y＝kx＋p2，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程y=kx+p2，x2=2py，消去y得x2－2则Δ＝4p2k2＋4p2＝4p2(k2＋1)>0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，可得|MN|＝1+k24p2k2+4p2＝2p(1＋k2)≥此时p＝2，则x2＝4y，l：y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(4，4)，F(0，1)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，若直线l：y＝kx＋1过点A(4，4)，则4＝4k＋1，解得k＝34若∠MAN是钝角，则AM·AN<0，且A，M，N三点不共线，∵AM＝(x1－4，y1－4)，AN＝(x2－4，y2－4)，则AM·AN＝(x1－4)(x2－4)＋(y1－4)(y2－4)＝(