第01讲空间向量的概念与运算（秋季讲义）（人教A版2019选择性）（原卷版）

第01讲空间向量的概念与运算【人教A版2019】模块一模块一空间向量及其线性运算1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.4．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型1空间向量的线性运算及其含参问题】【例1.1】（2324高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E,F分别为BC,AE的中点，G为△ACD的重心，则FG=（

A．−B．−C．1D．1【例1.2】（2324高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体ABCD中，点E满足DE=λDC，F为BE的中点，且AF=1A．14 B．13 C．12【变式1.1】（2324高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则EF=（

A．12AD−C．AF−12【变式1.2】（2223高二上·广西防城港·期末）如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若OE=12OD+xA．−2 B．0 C．−1 D．3【题型2向量共线的判定及应用】【例2.1】（2324高二上·辽宁·期中）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=−3eA．0 B．1 C．2 D．3【例2.2】（2324高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（A．12 B．23 C．34【变式2.1】（2324高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【变式2.2】（2324高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求证：E，F，B三点共线.【题型3向量共面的判定及应用】【例3.1】（2324高二上·江西九江·期末）对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=1是A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【例3.2】（2324高二上·山东聊城·期中）在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=12OA+16OB+λOC，若A．12 B．13 C．512【变式3.1】（2324高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【变式3.2】（2324高二·全国·课后作业）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)求证：平面ABCD//平面EFCH(3)求证：OG=k模块二模块二空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【题型4求空间向量数量积及其最值】【例4.1】（2324高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60∘,OB=OC=2OA=2,E为OC的中点，则AEA．1 B．0 C．1 D．3【例4.2】（2324高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一内切球O，点A．−2,2 B．0,2 C．−2,4 D．0,4【变式4.1】（2324高二上·河南·阶段练习）正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为（A．13 B．43 C．16【变式4.2】（2324高三上·浙江杭州·阶段练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，空间中存在一动点PA．存在点P，使得I1=I2 C．对任意的点P，有I1>I2 【题型5空间向量的夹角、垂直问题】【例5.1】（2324高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AAA．23 B．−23 C．3【例5.2】（2324高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．2−34 C．2−34或2+34 【变式5.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD【变式5.2】（2324高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：D,M,B(2)当AA1AB【题型6利用空间向量的数量积求模】【例6.1】（2324高二上·湖北荆门·期末）已知平面α和平面β的夹角为60°，α∩β=l，已知A，B两点在棱上，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=BD=6，则CD的长度为（

）A．213 B．231 C．62 D．【例6.2】（2324高三下·北京·开学考试）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A．1,2 B．62,3 C．【变式6.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足(1)用向量OA，OB，(2)求|OP【变式6.2】（2324高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=

(1)求AB⋅(2)求A1模块模块三空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【题型7空间向量平行、垂直的坐标运算】【例7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知a=(1)若a∥b，分别求λ与(2)若a=5，且与c=【例7.2】（2324高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量a=(1)若c//a，且a⋅(2)若a⊥b，且m>0,n>0，求【变式7.1】（2324高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量a=(1)求a−2(2)当c=22时，若向量ka+b与c(3)若向量c与向量a,b共面向量，求【变式7.2】（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）已知点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，(1)求a，b夹角的余弦值．(2)若向量ka+b，k(3)若向量λa−b，a【题型8空间向量模长、夹角的坐标运算】【例8.1】（2324高二下·重庆北碚·阶段练习）已知a=x,0,3,b=1,2,−1,c=1,z,1，a⊥A．π6 B．π3 C．23【例8.2】（2324高二下·辽宁·阶段练习）在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F在直线CE上，则AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【变式8.1】（2324高二上·山东聊城·阶段练习）已知a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=3,−2,z，A．−219 B．219 C．2【变式8.2】（2324高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（

A．24 B．22 C．104一、单选题1．（2324高二下·江苏南通·期末）在三棱锥O−ABC中，已知BE=23BC，G是线段AE的中点，则A．12OA+C．13OA+2．（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 3．（2324高二上·河北沧州·期末）已知a=2,−1,−1，b=k,−1,2，若a+b与A．−52 B．−2 C．2 4．（2324高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC，则cosOA,BCA．12 B．22 C．−5．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，若正实数x,y满足OD=xOA+2yOB−A．52 B．92 C．26．（2324高二上·江西吉安·期末）在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AB=2，MA=5，点F在线段MC上，且CF=λCM，当BC⋅AFA．12 B．23 C．137．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1中点，MA．1 B．52 C．2 D．8．（2324高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AMA．162−4 B．162−2 C．二、多选题9．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若p=2x+3y，则p与B．若MP=2MA+3C．若OA+OB+D．若OP=1210．（2324高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量OA→=m,n,0,OB→=A．2+34 C．2−34 11．（2324高一下·山东淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（

）A．若a=b