浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

【新结构】20232024学年浙江省台金七校联盟高二年级第二学期数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.【答案】B【解析】【分析】由排列、组合数公式求解即可．【详解】．故选：B．2.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A.6 B.24 C.64 D.81【答案】D【解析】【分析】每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可.【详解】由分步乘法计数原理可得：不同报法的种数是；故选：D.3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合双曲线的性质确定a,b的关系式，据此即可确定双曲线的渐近线方程.【详解】由离心率的定义可知：，则双曲线的渐近线方程为：.故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.8个人分成3人、3人、2人三组，共有（）种不同的分组方法.A.1120 B.840 C.560 D.280【答案】D【解析】【分析】根据平均分组求法即可求解.【详解】根据题意，分组方法数为种故选：D.5.函数的导函数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的求导法则和导数的基本公式计算即可．【详解】，故选：A.6.设…，则（）A B. C.800 D.640【答案】B【解析】【分析】要得到分两种情况讨论再结合二项式定理展开式计算即可求解；【详解】因为

，要得到分两种情况讨论：①5个因式取1个，取4个，即②5个因式取2个，取3个，即所以二项展开式中含项的系数为.故选：B.7.将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算可得．【详解】依题意可得，，所以.故选：C8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性可知函数在上单调递增，且，即可得到答案.【详解】因为，所以，令函数，，因为在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随机变量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差数列，则可以为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值．【详解】解：随机变量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差数列，，②联立①②，得，，所以，，可以

，，

，故选：ABC10.如图，直线与曲线相切于两点，则有（）A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点【答案】BC【解析】【分析】根据条件，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，，结合图象，利用导数的几何意义及极值的定义即可求出结果.【详解】因为，所以，由图知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，在左侧时，，所以，在右侧时，，由导数的几何意义知，，所以，故为的三个极大值点，在左侧时，，由导数的几何意义知，，即，在右侧时，，所以，故为的2个极小值点，故选：BC.11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（）A.从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B.每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差C.从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D.每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望【答案】ABD【解析】【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，故A正确；对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，则方差，故B正确;对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则，，则，则，故C错误；对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，则，，，则，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________.【答案】##【解析】【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，结合，即可求得结论．【详解】，相应的正态曲线关于对称，，故答案为：13.若直线与直线平行，则__________，它们之间的距离为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线的方程可化简，而直线，即直线，它们之间的距离为，故答案为：；.14.甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意先求得一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，再由第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，再计算即可.【详解】一场中先掷的人赢的概率为，，由，，，所以当时，，所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，若第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为（1）求实数a和n的值；（2）求展开式中系数最小的项．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题得到，再令，即可求出a；（2）写出二项展开式的通项公式，则，即可求解.【小问1详解】仅有第5项的二项式系数最大，则令，则，又，则【小问2详解】二项展开式的通项为：，假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：，解得：故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，故展开式中系数最小的项是第6项：16.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．（1）求证：；（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质证明线面垂直进而得到线线垂直;（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面所以【小问2详解】如图，以点为原点，分别以直线为轴，轴，依题意，可得，，，，，所以，，，，又，为的中点.，所以，设为平面的法向量，因为，，则，即，取，可得，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为17.设等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，记的前项和为，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式；（2）根据题意有，可得，故可得，利用二项式系数和可得结论.【小问1详解】由题意得：解得：，，【小问2详解】由题意得：，由于所以18.某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.（1）当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；（2）若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记（i）证明：数列是等比数列；（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.【答案】（1）分布列见解析，期望为（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，得出随机变量可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式求得期望；（2）（ⅰ）当，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率得到，得到，结合等比数列的定义，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）得到，利用叠加法得到，进而求得活动参与者得到纪念品的概率.【小问1详解】解：由题意得每轮游戏获得1分概率为，获得2分的概率为所以随机变量可能取值为3，4，5，6，可得，，所以的分布列：3456所以期望.【小问2详解】解：（ⅰ）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率则，累计得分为分的情况有两种：①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以所以活动参与者得到纪念品的概率为.19.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值；（3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求，讨论导数正负，可得函数单调性；（2）由（1）得：，且，讨论正负，可得函数最值，则有，构造函数利用导数即可求得的值；（3）由（1）分析得，利用对数运算与裂项相消法求和，可证不等式.【小问1详解】的定义域：，，①当时，，在上单调递减；②当时，令，则，此时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由（