人教版九下数学新课标教学课件27.2.3两角相等判定（课件）

27.2.3两角相等判定九年级下人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.重点难点

学习目标探究一

两角分别相等的两个三角形相似CABA'B'C'

与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：新知学习

上节课我们学习了有哪些判定三角形相似的方法？

三边成比例的两个三角形相似．

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．新课引入问题一

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？这两个三角形是相似的.CABA'B'C'又∵

A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE≌

△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.问题二

试证明△ABC∽△A′B′C′.CAA'BB'C'DE证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E，则有

△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′.∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.归纳由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为

D.求

AD的长.DABCE∴由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.两组直角边成比例的两个直角三角形相似.1．如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已标注，则对图(1)，(2)中的两个三角形，下列说法正确的是(

)针对训练A．都相似

B．都不相似C．只有(1)相似

D．只有(2)相似A证明：∵在

△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵

在

△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.2.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF.

ACBFED3．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边DC、BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（

）．A．只有甲与乙 B．只有乙与丙C．只有甲与丙

D．甲与乙与丙D解：∵∠

AFB=72°∴∠BAF=18°，∠EAF=90°-∠BAF-∠

DAE=36°∴∠DAE=∠EAF=∠CEF∵∠ADE=∠AEF=∠ECF∴△DAE∽△EAF∽△CEF，故选D证明：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线∴CD=AD，∠ACD=∠A∵DE//AC∴∠

ACD=∠CDE，∠A=∠CDE∵∠ACB=90°，CE⊥CD∴∠ACB=∠DCE∴△ABC∽△

DEC4.如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．5．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（

）.A． B．

C．

D．6A解：在△ADC和△

ACB中∵∠ACD=∠

B，∠A=∠A∴△ADC∽△ACB，AC:AB=AD:AC∴∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5∴AC²=5×2=10∴AC=思考对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？二

判定两个直角三角形相似例2

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′

，可设法证若设则只需证∴∴

CAA'BB'C'∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.证明：设=k

，则

AB=kA′B′，AC=kA′C′.由勾股定理，得由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.1.如图，Rt△ABC中，CD是斜边

AB上的高.求证：(1)△ACD∽

△ABC；证明：(1)∵CD是斜边

AB上的高，∴∠ADC=90°.又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB.ABCD∟针对训练证明：(2)∵CD是斜边

AB上的高，∴∠CDB=90°.求证：(2)△CBD∽

△ABC.又∵∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CDB=∠ACB.ABCD∟2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，则BD=

，AC=

，BC=

.18DBCA∟证明：∵

△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD(对顶角相等).∴△FEA

∽△

FDB，∴3.如图，△ABC

的高AD，BE交于点F．求证：

DCABEF判定两三角形相似的思路：(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，或斜边、一直角边对应成比例．归纳1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是边BC上的一点QP⊥AP交DC于点Q，设BP=x，△ADQ的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°.∵QP⊥AP∴∠QPC+∠APB=90°，

∠BAP=∠QPC，∴△ABP∽△PCQ∴

，即

，∴

(0<x<4)随堂练习(2)点P在何位置时，△ADQ的面积最小？最小面积是多少？解：(2)∵∴当x=2时，y最小，且最小值为6即当点P是BC的中点时△ADQ的面积最小，最小面积为62.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．证明：

∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC∴∠

AMB=∠

EAF∵EF⊥AM∴∠AFE=90°，∠B=∠AFE∴△ABM∽△EFA(1)求证：△ABM∽△EFA(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．解：

∵∠B=90°，AB=12，BM=5∴AM=

，AD=12∵F是AM的中点∴∵△ABM∽△EFA∴

，即

，AE=16.9∴DE=AE-AD=4.93.(武汉中考节选)已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点，如图.求证：AB2=4AD·BC.证明：如图,连接OC,OD∵AM和BN是⊙O的两条切线∴AM⊥AB,BN⊥AB,

AM//BN,∠ADE+∠BCE=180°∵DC切⊙O于点E∴∠DOC=90°，∠AOD+∠COB=90°∵∠AOD+∠A