专题6.2 等差数列及其前n项和（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.2等差数列及其前n项和【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等差数列的基本量运算】 3【题型2等差数列的判定与证明】 4【题型3等差数列的性质及应用】 5【题型4等差数列的通项公式】 5【题型5等差数列前n项和的性质】 6【题型6等差数列的前n项和的最值】 6【题型7等差数列的简单应用】 7【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】 8【题型9含绝对值的等差数列问题】 9【题型10等差数列中的恒成立问题】 10【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】 111、等差数列及其前n项和考点要求真题统计考情分析(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义(2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系(3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(4)体会等差数列与一元函数的关系2022年全国乙卷（文数）：第13题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2024年新高考I卷：第19题，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等.去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.【知识点1等差数列的概念】1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【知识点2等差数列的基本运算的解题策略】1．等差数列的基本运算的两大求解思路：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【知识点3等差数列的判定的方法与结论】1．证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【知识点4等差数列及其前n项和的性质及应用】1．项的性质：在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.2．和的性质：在等差数列中，Sn为其前n项和，则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【方法技巧与总结】1．已知数列{}的通项公式是=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.3．等差数列{}的单调性：当d>0时，{}是递增数列；当d<0时，{}是递减数列；当d=0时，{}是常数列.4．数列{}是等差数列(A,B为常数).【题型1等差数列的基本量运算】【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列an满足an+an+1=4n+1，则a1=（

）A．3 B．32 C．1 D．【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差数列{an}中，a1=1，公差d>0.若数列aA．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2024·内蒙古包头·三模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=4a1，a1>0，若A．11 B．12 C．20 D．22【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a5+a11=62A．3 B．4 C．5 D．6【题型2等差数列的判定与证明】【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列an的前n项和为Sn，且SnA．an是等差数列B．Sn是等差数列C．an单调递增【变式2-2】（2023·新疆·一模）非零数列an满足an+1−(1)设bn=a(2)设cn=1anan+1【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列an的前n项的积记为Tn，且满足(1)证明：数列Tn(2)设bn=1TnTn+1【题型3等差数列的性质及应用】【例3】（2024·山西运城·三模）已知数列an是等差数列，12a3−A．4 B．−2 C．−4 D．−【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）在数列an中，已知2an+1=an+A．256 B．196 C．144 D．96【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an满足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【变式3-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列{an}的公差不为0，a2024=0，给定正整数m，使得对任意的n∈N*（n<m且m>2A．4047 B．4046 C．2024 D．4048【题型4等差数列的通项公式】【例4】（2024·四川·模拟预测）已知Sn为正项数列an的前n项和，a1=3.【变式4-1】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=n2+n+c（其中c为常数，c∈R【变式4-2】（2024高三·广东·专题练习）已知数列an为公差不为零的等差数列，S7=77（1）求数列an（2）若数列bn满足1bn+1−1bn【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an,bn，其中数列an是等差数列，且满足b(1)求数列an和b(2)若cn=1anan+1【题型5等差数列前n项和的性质】【例5】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,TA．516 B．716 C．1116【变式5-2】（2024·四川乐山·一模）设等差数列an的前n项和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有SnA．37 B．521 C．1941 D．【题型6等差数列的前n项和的最值】【例6】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列an中，a1>0，S7=S9A．7 B．8 C．9 D．10【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，则下列结论错误的是（A．若an=2n−25，则SnB．若an=−3n+27，则C．若S13=D．若首项a1>0，S6=S【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a4=−2,S9=0A．1 B．4 C．5 D．4或5【变式6-3】（2024·辽宁·二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n,SA．C0=1 B．若A=0，则∃nC．若A>0，则∃n0∈N∗，使Sn最大 D．若【题型7等差数列的简单应用】【例7】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码【变式7-1】（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（

）A．189 B．190 C．191 D．192【变式7-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【变式7-3】（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（

）A．754 B．755 C．756 D．757【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,(1)求S9(2)求数列an【变式8-1】（2023·山东威海·一模）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n(1)求数列an(2)记cn=−1nana【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列an中，a1=1，a(1)求数列an(2)数列bn的前n项和为Sn，且满足bn2=【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项积为T(1)求证：数列Tn是等差数列，并求数列a(2)令bn=−1n−1an+1【题型9含绝对值的等差数列问题】【例9】（2024·四川成都·二模）已知数列an的前n项和Sn=−12(1)确定常数k，并求an(2)求数列an的前15项和T【变式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知数列an是首项为1的等差数列，公差d>0，设数列an的前n项和为Sn，且S1，(1)求an(2)求数列an−8的前n项和【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an,a1=−10，记Sn为an的前n(1)求Sn(2)设an的前n项和为Tn，求【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）已知数列an与bn为等差数列，a2=b3，a1(1)求出an与b(2)是否存在每一项都是整数的等差数列cn，使得对于任意n∈N+，cn都能满足【题型10等差数列中的恒成立问题】【例10】（2024·贵州六盘水·三模）已知an为等差数列，且a5＝(1)求an(2)若2n⋅λ≥a【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)若a1≠2，求证：(2)对任意n,m∈N*,m≠n，都有S【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前(1)求{a(2)设bn=1anan+1，数列{bn【变式10-3】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列an的前n项之和bn=a1+a2+⋯+(1)求证：1cn为等差数列，并分别求(2)设数列an⋅bn+1的前n项和为Sn，不等式S【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】【例11】（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列an满足a1=an，a2=(1)设数列bn是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2(2)设数列cn是项数为2k−1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足cn+1−cn①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck=2023②若c1=2024，且S2k−1【变式11-1】（2024·福建南平·二模）若数列cn共有mm∈N*,m≥3项，对任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1−i=S（S为常数，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知数列bn是公差为dd≠0的等差数列，b1=−11，若m=10，an(3)若数列an是各项均为正整数的单调递增数列，求证：a【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）已知数列an的前n项和为Sn．若对每一个n∈N∗，有且仅有一个m∈N∗，使得Sm≤an<Sm+1(1)若an的前四项依次为0，1，−1，1，试判断an是否为“(2)若Sn=2n，证明(3)已知正项数列an为“X数列”，且an的“余项数列”为等差数列，证明：【变式11-3】（2024·贵州·三模）差分密码分析（DifferentialCryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列ann∈N*，规定Δan为数列an的一阶差分数列，其中Δan=an+1−an；规定Δ2a(1)设数列A:1,3,7,9,13,15，判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；(2)设数列an的通项公式an=2(3)设各项均为正数的数列cn为“累差不变数列”，其前n项和为Sn，且对∀n∈N*，都有k=1nΔ2ck=Δ一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列an满足a2+a3=14，且A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·新疆·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S63．（2024·天津滨海新·三模）已知数列an为各项不为零的等差数列，Sn为数列an的前n项和，4SnA．4 B．8 C．12 D．164．（2024·河北衡水·三模）已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，TA．2 B．3 C．5 D．65．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（

）A．167 B．168 C．169 D．1706．（2024·山东泰安·三模）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=−21，S7A．−99 B．−100 C．−110 D．−1217．（2023·重庆·二模）已知等差数列an的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B−A=45，2A=B+615，则an=A．3n−2 B．3n−1 C．3n+1 D．3n+28．（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．−2 B．0 C．1 D．2二、多选题9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列an的首