河北省保定市2022届高三上学期期末数学试题 附答案

保定市2021~2022学年第一学期高三期末调研考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.2.若向量，则（）A.B.C.D.3.设集合均为非空集合.（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（）A.B.C.D.5.已知为偶函数，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（）A.B.C.D.6.为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公益组织分别在两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试（满分100分），这20名学生得分的散点图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（）A.校学生分数的平均分大于校学生分数的平均分B.校学生分数的众数大于校学生分数的众数C.校学生分数的中位数等于校学生分数的中位数D.校学生分数的方差大于校学生分数的方差7.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于点对称D.8.为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则的值可能为（）A.B.C.D.10.如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形11.已知为曲线上一动点，则（）A.的最小值为1B.存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离C.到直线的距离的最小值小于D.的最小值为612.对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（）A.B.数列为等比数列C.数列单调递增D数列的前项和恒小于4三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.的最小值为________.14.函数.的图象在点处的切线的斜率为________.15.某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个人口，每个人口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个人口的概率为________，每个人口都有女志愿者的分配方案共有________种.（本题第一空3分，第二空2分）16.如图，是边长为4的等边三角形的中位线，将沿折起，使得点与重合，平面平面，则四棱锥外接球的表面积是________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步叕.17.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得.在点测得塔顶的仰角为.（1）求与两点间的距离（结果精确到）；（2）求塔高（结果精确到）.参考数据：取.18.在数列中，，且数列是公差为2的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面底面，且.（1）证明：.（2）若，求二面角的余弦值.20.某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？21.已知函数.（1）若，讨论在上的单调性；（2）若函数在上的最大值小于，求的取值范围.22.已知椭圆经过四个点中的三个.（1）求的方程.（2）若为上不同的两点，为坐标原点，且与垂直，试问上是否存在点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.保定市2021~2022学年第一学期高三期末调研考试数学参考答案1.B.2.B若，则，解得.若，则，有实数解，.故选B.3.C因为，，所以，又，所以，则.4.A圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.5.B因为为偶函数，所以为奇函数，又在上单调递减，所以在上单调递减，所以由，得，即，，所以，即.6.C由图可知，校学生分数分布点绝大部分高于校，只有少数几个低于校，且分数差的绝对值很小，A正确.校学生分数的众数为76，校学生分数的众数为65，B正确.校学生分数的中位数为67，校学生分数的中位数为63.5，C错误.校学生分数分布较为分散，校学生分数分布较为集中，故校学生分数的方差大于校学生分数的方差，D正确.7.D作出的部分图象，如图所示，由图可知，的最小正周期不是，且的图象不是中心对称图形，当时，，而，所以.因为在上单调递增，且，所以.8.D以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系（图略），因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，依题意可得，则，即双曲线的方程为.因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.9.ABD由，得，则，所以，即，故的值不可能为.10.BD由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.11.ABD由，得，则曲线为抛物线的右半部分.因为抛物线的焦点为，准线为：，所以B正确，，A正确，原点到直线的距离为，数形结合可知，原点到直线的距离是最短距离，C错误.设点到准线：的距离为，到准线：的距离为，则，D正确.12.ABD因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以.因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列.因为，，，所以数列不是单调递增数列.因为，所以.设，则，所以，所以，从而数列的前项和为.13.9因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.14.因为，所以.15.；540由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.16.如图，分别取，的中点，，连接，.因为是边长为4的等边三角形，所以，所以，则四边形外接圆的圆心为，半径.设四棱锥外接球的球心为，连接，过点作，垂足为.易证四边形是矩形，则，.设四棱锥外接球的半径为，则，即，解得，故四棱锥外接球的表面积是.17.解：（1）在中，，由正弦定理得，则.（2）由正弦定理得，则.故塔高.18.解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，则.因为，所以，解得.故.（2）因为，所以.19.（1）证明：在平行四边形中，.因为，所以，所以.因为平面底面，且平面底面，所以平面.又平面，所以.（2）解：取的中点，连接.因为，所以，又平面底面，所以底面.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.故.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20.解：（1）的可能取值为10，11，12，13，14，，，，，，则的分布列为10111213140.090.30.370.20.04（2）记为当时购买零件所需费用，，，，，元.记为当时购买零件所需费用，，，，元.因为，所以应选择.21.解：（1）.令，得；令，得.当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）.若，，则在上单调递增，，不合题意.若，则在上单调递增，，不合题意.若，则在上单调递减，在上单调递增，或.当时，；当时，，则.若，则在上单调递减，.综上，的取值范围是.22.解：（1）因为，两点的横坐标相同