江西省上饶市华东师范大学上饶实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测题

江西省华东师大上饶实验中学2024-2025学年高三上学期10月数学检测题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．3．设函数为偶函数.当满足时，有最小值2，则和的值分别是（

）A． B．C． D．4．已知是的共轭复数，则（

）A．0 B． C．2 D．5．已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．7．等差数列an，bn的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a,b,c的大小关系是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．的图象没有对称中心C．的增区间为 D．方程有5个实数解10．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（

）A．若，，则点到平面的距离为B．存在使得四棱锥有外接球C．若，则棱锥体积的最大值为D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，11．已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在中，内角的对边分别为，若，则.13．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下：使用年限维修费用若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是万元．14．若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15．（13分）已知二次函数满足，且(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式.16．（15分）已知函数，，的定义域均为定义：若存在n个互不相同的实数，使得，则称与关于“n维交换”.(1)判断函数与是否关于“n维交换”，并说明理由；(2)设，，若与关于“维交换”，求实数k的值.17．（15分）已知函数，.(1)求函数的最小正周期和对称中心；(2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围.18．（17分）直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．19．（17分）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”.(1)若，求的值构成的集合；(2)若，使得，证明：为整数；(3)若，求的值构成的集合.参考答案1．B【分析】由对数函数单调性解不等式，结合对数函数定义域得到，利用交集概念进行求解.【详解】由题意得，解得，故，所以.故选：B2．D【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.【详解】函数在上单调递增，又，，故，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D.3．D【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】依题意，，所以，当满足时，有最小值2，所以，所以，由于是偶函数，所以，而，所以.故选：D4．B【分析】根据复数的运算法则求得，再根据共轭复数的定义求解即可.【详解】，则.故选：B.5．B【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案.【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，所以，因为在椭圆上，所以①，两式相减，得，根据，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以.故选：B.6．D【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解.【详解】设，又，，解得，即.所以向量在基底下的斜坐标为.故选：D.7．C【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得.【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得，.故选：C8．D【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得.【详解】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，又因为时，，所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，构建，则，可知在内单调递增，则，可得；构建，则，可知在内单调递增，则，可得；由，可得，故，所以；设，则，所以在单调递增，故，所以，即所以，所以，故选：D【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下：①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字，②将看成变量，构造函数，③分析包含的某个区域的函数单调性，④根据函数单调性比较大小.9．ACD【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数和的图象的交点个数问题，即可判断D.【详解】因，则有，用替换，可得，即2为函数的周期.当时，，当时，.结合函数的周期性，可作出函数的图象如下图.由图知，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，即A正确；由图知，函数的图象关于和，都对称，故B错误；由图知，函数的单调增区间为，故C正确；由图中作出的图象，可见其与函数的图象有且仅有5个交点，故方程有5个实数解，即D正确.故选：ACD.10．ACD【分析】对于A，由线面平行将点到平面的距离转化成点到平面的距离即可求解，对于B,通过四边形没有外接圆即可判断，对于C，确定的长度，结合体积公式及基本不等式即可判断,对于D，补全长方体即可判断.【详解】，，易知平面ABC,平面，易知面故点到平面的距离为即为点到平面的距离，因为，所以，所以，所以为二面角的平面角，又为平面内两条相交直线，所以平面，所以平面，又在平面内，所以平面平面，所以到平面ABC的距离即为到，A选项：，，即，三角形等边三角形，可得：到的距离为，故A正确；B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误；C选项：由题意可知，，，,，由基本不等式可知：，当且仅当，即时取得最大值，所以,所以当，时，体积取到最大值，故正确；D选项：由题意可知，，，，也即两两垂直，可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r，则，，所以时，取得最小值，此时，所以D正确．故选：ACD11．BC【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由，得，则，B错误；对于C，由，得，故，C错误；对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.故选：BC12．/60°【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解.【详解】对于，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.故答案为：.13．【分析】求出，根据回归方程过求出，代入得解.【详解】由题意可得，，由回归方程过点可得，解得，故方程为，把代入可得，故答案为：．14．【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围.【详解】解：函数的定义域是，所以，即.因为，所以在上单调递增，由，可得若函数在区间内不单调，则，解之可得，又因为，所以.故答案为：.15．(1)(2)答案见解析.【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【详解】（1）因为，，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即（2）由，可得不等式，即，所以，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为16．(1)与关于是“n维交换”，理由见解析(2)【分析】（1）由题意求出，，令，解出的值即可判断；（2）找到等量关系，构造函数转化零点个数问题求解即可.【详解】（1）因为，，令，所以，解得，所以有唯一实数解，即与关于是“维交换”，所以与关于是“n维交换”.（2）令，依题意，函数在R上有3个零点，显然，即是函数的零点，当时，若，则，，即函数在时无零点，若，则在上单调递增，，函数在时只有1个零点，不符合题意，因此，①当时，，显然函数的图象恒过点，则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点，当时，，在时没有零点，②当时，，显然函数的图象恒过点，，当，即时，在时仅只一个零点，当，即时，在时有2个零点，当，即时，在时没有零点，③当时，，显然函数的图象恒过点，当时，在时无零点，当时，在时有1个零点，综上所述，当时，有3个零点，所以当与关于“3维交换”时，.【点睛】关键点点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找到等量关系，转化零点个数问题是本题的解题关键.17．(1)最小正周期为，对称中心的坐标为(2)【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心；（2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解.【详解】（1），

则的最小正周期为：，

，，所以的对称中心的坐标为：；（2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，

再向下平移1个单位得到，

再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到

即，，，

可得，

令，在上单调递减，所以，

在上有解，需，，的取值为.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量为，计算出，从而得到⊥，又平面，所以平面；（2）求出平面的法向量，利用线面角的求解公式求出答案；（3）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求出答案.【详解】（1）在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又为中点，E为中点，F为中点．故，则，平面的法向量为，故，所以⊥，又平面，所以平面；（2），设是平面的法向量，则有：，即，令，则，所以，设直线与平面的夹角为，则，直线与平面的正弦值为；（3），则，设平面的法向量为，则有，即，解得，令，则，故，设平面与平面的夹角为，所以．平面与平面夹角的余弦值为19．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据“收缩性质”逐步求得.（2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，然后判断出，都是3的倍数，从而得到为整数.（3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合.【详解】（1）当为奇数时，为偶数；，当为偶数时，，因为，则为偶数，则，若为奇数，则，不符合题意，所以为偶数，则.若为奇数，则；若为偶数，则；所以的值构成的集合为（2）依题意，为3的倍数（），当为奇数时，；当为偶数时，则为偶数，，故是3的倍数，以此类推，，都是3的倍数；另一方面，当时，由于当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，，都是3的倍数，综上所述，为整数.（3）因为，故数列具有周期性，由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3.当为偶数时，设