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文档简介
2024届锡林郭勒市重点中学高三下学期4月调研数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.2.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.4.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()A. B. C. D.5.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()A. B. C.6 D.86.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为()A.0 B.1 C. D.7.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图若输入,则输出的的值为()A. B. C. D.9.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.10.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()A.4 B.6 C.3 D.811.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()A. B.C.3或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.集合,,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________①的值可以为2;②的值可以为;③的值可以为;14.某公园划船收费标准如表:某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用为______元,租船的总费用共有_____种可能.15.如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且(如图①).将四边形沿折起,连接、、(如图②).在折起的过程中,则下列表述:①平面;②四点、、、可能共面;③若,则平面平面;④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.16.若复数满足,其中是虚数单位,是的共轭复数,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于、两点,、分别为线段、的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.18.(12分)已知曲线:和:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程;(2)设与,轴交于,两点,且线段的中点为.若射线与,交于,两点,求,两点间的距离.19.(12分)已知(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.20.(12分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.21.(12分)如图,四边形中,,,,沿对角线将翻折成,使得.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函数的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【详解】由于,故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.2、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.3、D【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.4、D【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.5、A【解析】
依题意可得,再根据离心率求出,即可求出,从而得解;【详解】解:∵双曲线的离心率为,所以,∴,∴,双曲线的焦距为.故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.6、A【解析】
根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.【详解】输入,,因为,所以由程序框图知,输出的值为.故选:A【点睛】本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.7、A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.8、C【解析】
由程序语言依次计算,直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时,时,,此时输出.故选:C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果,属于基础题9、A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.10、A【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算,可得;利用定义可证明函数的单调性,由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为,且,则;任取,且,则,故,令,,则,即,故函数在上单调递增,故,令,,故,故函数在上的最大值为4.故选:A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简,利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法在抽象函数求值中的应用,属于中档题.11、D【解析】
根据复数运算,求得,再求其对应点即可判断.【详解】,故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,以及复数对应点的坐标,属综合基础题.12、D【解析】
根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当,解得
,所以3是输入的x的值;当时,解得,所以是输入的x的值,所以输入的x的值为
或3,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、②③【解析】
根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算:,得到,,得到答案.【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故所在的直线的倾斜角为,,故:,解得,此时,,此时.故答案为:②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键.14、36010【解析】
列出所有租船的情况,分别计算出租金,由此能求出结果.【详解】当租两人船时,租金为:元,当租四人船时,租金为:元,当租1条四人船6条两人船时,租金为:元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能.故答案为:360,10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法,考查实际应用问题,属于基础题.15、①③【解析】
连接、交于点,取的中点,证明四边形为平行四边形,可判断命题①的正误;利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误;连接,证明出,结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误;假设平面与平面垂直,利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①,连接、交于点,取的中点、,连接、,如下图所示:则且,四边形是矩形,且,为的中点,为的中点,且,且,四边形为平行四边形,,即,平面,平面,平面,命题①正确;对于命题②,,平面,平面,平面,若四点、、、共面,则这四点可确定平面,则,平面平面,由线面平行的性质定理可得,则,但四边形为梯形且、为两腰,与相交,矛盾.所以,命题②错误;对于命题③,连接、,设,则,在中,,,则为等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、为平面内的两条相交直线,所以,平面,平面,平面平面,命题③正确;对于命题④,假设平面与平面垂直,过点在平面内作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,显然与不垂直,命题④错误.故答案为:①③.【点睛】本题考查立体几何综合问题,涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断,考查推理能力,属于中等题.16、【解析】
设,代入已知条件进行化简,根据复数相等的条件,求得的值.【详解】设,由,得,所以,所以.故答案为:【点睛】本小题主要考查共轭复数,考查复数相等的条件,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)由椭圆的离心率求出、的值,由此可求得椭圆的方程;(2)设点、,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,由题意得出,可得出,【详解】(1)由题意得,,.又因为,,所以椭圆的方程为;(2)由,得.设、,所以,,依题意,,易知,四边形为平行四边形,所以.因为,,所以.即,将其整理为.因为,所以,.所以,即.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,考查计算能力,属于中等题.18、(1),;(2)1.【解析】
(1)利用正弦的和角公式,结合极坐标化为直角坐标的公式,即可求得曲线的直角坐标方程;先写出曲线的普通方程,再利用公式化简为极坐标即可;(2)先求出的直角坐标,据此求得中点的直角坐标,将其转化为极坐标,联立曲线的极坐标方程,即可求得两点的极坐标,则距离可解.【详解】(1):可整理为,利用公式可得其直角坐标方程为:,:的普通方程为,利用公式可得其极坐标方程为(2)由(1)可得的直角坐标方程为,故容易得,,∴,∴的极坐标方程为,把代入得,.把代入得,.∴,即,两点间的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化,涉及参数方程转化为普通方程,以及在极坐标系中求两点之间的距离,属综合基础题.19、(1)(2)函数有两个零点和【解析】试题分析:(1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化简求得另一个零点。解析:(1)当时,,因为函数在上单调递增,所以当时,恒成立.[来源:Z&X&X&K]函数的对称轴为.①,即时,,即,解之得,解集为空集;②,即时,即,解之得,所以③,即时,即,解之得,所以综上所述,当函数在区间上单调递增.(2)∵有两个极值点,∴是方程的两个根,且函数在区间和上单调递增,在上单调递减.∵∴函数也是在区间和上单调递增,在上单调递减∵,∴是函数的一个零点.由题意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的两个根,∴,,∴∵函数图像连续,且在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴当时,,当时,当时,∴函数有两个零点和.20、(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设Ax3,y3,Bx4【详解】(I)椭圆C:x24|FP|=x(II)设Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2⋅故原点O到直线l的距离为d=m【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)见证明;(2)【解析】
(1)取的中点,连.可证得,,于是可得平面,进而可得结论成立.(2)运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值
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