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文档简介

2025届福建省泉州市永春第一中学高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,2.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.4.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为()A.5 B.3 C. D.26.已知复数,则()A. B. C. D.27.已知数列中,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.8.已知f(x),g(x)都是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,则()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)9.为得到y=sin(2x-πA.向左平移π3个单位B.向左平移πC.向右平移π3个单位D.向右平移π10.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.11.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.12.若,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”,其中“股”,为“弦”上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.14.如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设,,则的面积为________.15.定义在上的偶函数满足,且,当时,.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则__________,__________.16.若,则____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动点到定点的距离比到轴的距离多.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设,是轨迹在上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当,变化且时,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.18.(12分)已知椭圆,过的直线与椭圆相交于两点,且与轴相交于点.(1)若,求直线的方程;(2)设关于轴的对称点为,证明:直线过轴上的定点.19.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推).抽奖的规则如下:在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大(如1,2,5),则获得一等奖,奖金40元;若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖,奖金20元;其余情况获得三等奖,奖金10元.(1)某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;(2)赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.21.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和.22.(10分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.2、D【解析】

根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.3、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.4、B【解析】

根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5、D【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解:由抛物线方程可知,,即,.设则,即,所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.6、C【解析】

根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.7、B【解析】

先根据题意,对原式进行化简可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立转化为恒成立,再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题,即由累加法可得:即对于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用,属于综合性较强的题目,解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数,属于难题.8、A【解析】试题分析:由题意得,F(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),综上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故选A.考点:1.函数的性质;2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质,避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化,另外,不要忘记定义域,如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上.9、D【解析】试题分析:因为,所以为得到y=sin(2x-π3)的图象,只需要将考点:三角函数的图像变换.10、D【解析】

利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.11、D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、C【解析】

根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先由等面积法求得,利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得,依题意可得,,所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,属于基础题.14、【解析】

根据个全等的三角形,得到,设,求得,利用余弦定理求得,再利用三角形的面积公式,求得三角形的面积.【详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,所以.在三角形中,.设,则.由余弦定理得,解得.所以三角形边长为,面积为.故答案为:【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15、24【解析】

根据函数为偶函数且,所以的周期为,的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,在平面直角坐标系中画出函数图象,根据函数的对称性可得所有实数根的和为,从而可得参数的值,最后求出函数的解析式,代入求值即可.【详解】解:因为为偶函数且,所以的周期为.因为时,,所以可作出在区间上的图象,而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,结合函数和函数在区间上的简图,可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知,此六个交点的横坐标之和为,所以,故.因为,所以.故.故答案为:;【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用,函数方程思想,数形结合思想,属于难题.16、【解析】

由,得出,根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简,再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数化简求值,利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及运用齐次式求值,属于对公式的考查以及对计算能力的考查.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2)证明见解析,定点【解析】

(1)设,由题意可知,对的正负分情况讨论,从而求得动点的轨迹的方程;(2)设其方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理得到,所以,所以直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【详解】(1)设,动点到定点的距离比到轴的距离多,,时,解得,时,解得.动点的轨迹的方程为或(2)证明:如图,设,,由题意得(否则)且,所以直线的斜率存在,设其方程为,将与联立消去,得,由韦达定理知,,①显然,,,,将①式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹,考查了直线与抛物线的综合,是中档题.18、(1)或;(2)见解析【解析】

(1)由已知条件利用点斜式设出直线的方程,则可表示出点的坐标,再由的关系表示出点的坐标,而点在椭圆上,将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率;(2)设出两点的坐标,则点的坐标可以表示出,然后直线的方程与椭圆方程联立成方程,消元后得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系,再结合直线的方程,化简可得结果.【详解】(1)由条件可知直线的斜率存在,则可设直线的方程为,则,由,有,所以,由在椭圆上,则,解得,此时在椭圆内部,所以满足直线与椭圆相交,故所求直线方程为或.(也可联立直线与椭圆方程,由验证)(2)设,则,直线的方程为.由得,由,解得,,当时,,故直线恒过定点.【点睛】此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题,计算过程较复杂,属于难题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.20、(1)分布见解析,期望为;(2).【解析】

(1)先明确X的可能取值,分别求解其概率,然后写出分布列,利用期望公式可求期望;(2)获得的奖金恰好为60元,可能是三次二等奖,也可能是一次一等奖,两次三等奖,然后分别求解概率即可.【详解】(1)由题意知,随机变量X的可能取值为10,20,40且,,所以,即随机变量X的概率分布为X102040P所以随机变量X的数学期望.(2)由题意知,赵四有三次抽

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