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文档简介
湖南衡阳常宁市第五中学2025届高一上数学期末检测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.方程的解所在的区间是A B.C. D.2.已知,则的值是A.1 B.3C. D.3.已知,,函数的零点为c,则()A.c<a<b B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c4.命题关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.5.如图一铜钱的直径为毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为毫米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为A. B.C. D.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致为()A. B.C. D.7.已知函数恰有2个零点,则实数a取值范围是()A. B.C. D.8.函数图像大致为()A. B.C. D.9.已知,且,则A. B.C. D.10.函数的图像大致为()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.命题“”的否定是________________.12.已知是第四象限角且,则______________.13.已知直线平行,则实数的值为____________14.求值:__________15.若存在常数k和b,使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足:和恒成立(或和恒成立),则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数,,若函数和之间存在隔离直线,则实数b的取值范围是______16.已知函数给出下列四个结论:①存在实数,使函数为奇函数;②对任意实数,函数既无最大值也无最小值;③对任意实数和,函数总存在零点;④对于任意给定的正实数,总存在实数,使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在平行四边形中,分别是上的点,且满,记,,试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题;(1)用来表示向量;(2)若,且,求;18.在中,已知为线段的中点,顶点,的坐标分别为,.(Ⅰ)求线段的垂直平分线方程;(Ⅱ)若顶点的坐标为,求垂心的坐标.19.如图,已知正方形ABCD的边长为2,分别取BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕进行折叠,使点B,C,D重合于一点P.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积20.已知,命题:,;命题:,.(1)若是真命题,求的最大值;(2)若是真命题,是假命题,求的取值范围.21.已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)若在区间上存在唯一的最小值为-2,求实数m的取值范围
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】设,则由指数函数与一次函数的性质可知,函数与的上都是递增函数,所以在上单调递增,故函数最多有一个零点,而,,根据零点存在定理可知,有一个零点,且该零点处在区间内,故选答案C.考点:函数与方程.2、D【解析】由题意结合对数的运算法则确定的值即可.【详解】由题意可得:,则本题选择D选项.【点睛】本题主要考查指数对数互化,对数的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、B【解析】由函数零点存在定理可得,又,,从而即可得答案.【详解】解:因为在上单调递减,且,,所以的零点所在区间为,即.又因为,,所以a<c<b故选:B.4、D【解析】根据三个二次式的性质,求得命题的充要条件,结合选项和充分不必要的判定方法,即可求解.【详解】由题意,命题不等式的解集为,即不等式的解集为,可得,解得,即命题的充要条件为,结合选项,可得,所以是的一个充分不必要条件.故选:D.5、B【解析】由题意结合几何概型公式可得:该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为:.本题选择B选项.点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式,在图形中画出事件A发生的区域,通用公式:P(A)=.6、A【解析】根据函数的定义域,函数的奇偶性,函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.【详解】当时,令,得或,且时,;时,,故排除选项B.因为为偶函数,为奇函数,所以为奇函数,故排除选项C;因为时,函数无意义,故排除选项D;故选:A7、D【解析】由在区间上单调递减,分类讨论,,三种情况,根据零点个数求出实数a的取值范围.【详解】函数在区间上单调递减,且方程的两根为.若时,由解得或,满足题意.若时,,,当时,,即函数在区间上只有一个零点,因为函数恰有2个零点,所以且.当时,,,此时函数有两个零点,满足题意.综上,故选:D8、C【解析】先分析给定函数的奇偶性,排除两个选项,再在x>0时,探讨函数值正负即可判断得解.【详解】函数的定义域为,,即函数是定义域上的奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A,B;x>0时,,而,则有,显然选项D不满足,C符合要求.故选:C9、A【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值,再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式,求得的值【详解】解:∵tan(α),则tanα,∵tanα,sin2α+cos2α=1,α∈(,0),可得sinα∴2sinα=2()故选A点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用,同角三角函数的基本关系,二倍角公式,考查计算能力,属于基础题10、B【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:为奇函数,舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此选B.点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、.【解析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果【详解】由含有一个量词的命题的否定可得,命题“”的否定为“”故答案为【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点:一是要改换量词,把特称(全称)量词改为全称(特称)量词;二是把命题进行否定.本题考查特称命题的否定,属于简单题12、【解析】直接由平方关系求解即可.【详解】由是第四象限角,可得.故答案为:.13、【解析】对x,y的系数分类讨论,利用两条直线平行的充要条件即可判断出【详解】当m=﹣3时,两条直线分别化为:2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行;当m=﹣5时,两条直线分别化为:x﹣2y=10,x=4,此时两条直线不平行;当m≠﹣3,﹣5时,两条直线分别化为:y=x+,y=+,∵两条直线平行,∴,≠,解得m=﹣7综上可得:m=﹣7故答案为﹣7【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件,属于基础题14、【解析】直接利用两角和的正切公式计算可得;【详解】解:故答案为:15、【解析】由已知可得、恒成立,利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为函数和之间存在隔离直线,所以当时,可得对任意的恒成立,则,即,所以;当时,对恒成立,即恒成立,又当时,,当且仅当即时等号成立,所以,综上所述,实数的取值范围是.故答案为:.16、①②③④【解析】分别作出,和的函数的图象,由图象即可判断①②③④的正确性,即可得正确答案.【详解】如上图分别为,和时函数的图象,对于①:当时,,图象如图关于原点对称,所以存在使得函数为奇函数,故①正确;对于②:由三个图知当时,,当时,,所以函数既无最大值也无最小值;故②正确;对于③:如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点,此时函数没有零点,所以对任意实数和,函数总存在零点不成立;故③不正确对于④:如图,对于任意给定的正实数,取即可使函数在区间上单调递减,故④正确;故答案为:①②④【点睛】关键点点睛:本题解题关键点是分段函数图象,涉及二次函数的图象,要讨论,和即明确分段区间,作出函数图象,数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解;(2)由平面向量数量积的运算律可得,进而可得,再由运算即可得解.【详解】(1)∵在平行四边形中,,∴;(2)由(1)可知:,∴,∵且,∴,∴,又,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(1)根据中点坐标公式求中点坐标,根据斜率公式求斜率,最后根据点斜式求方程(2)根据垂心为高线的交点,先根据点斜式求两条高线方程,再解方程组求交点坐标,即得垂心的坐标.试题解析:(Ⅰ)∵的中点是,直线的斜率是-3,线段中垂线的斜率是,故线段的垂直平分线方程是,即;(Ⅱ)∵,∴边上的高所在线斜率∵∴边上高所在直线的方程:,即同理∴边上的高所在直线的方程:联立和,得:,∴的垂心为19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)通过,证明平面,然后证明;(2)利用,求出几何体的体积【小问1详解】证明:,即,平面,平面,又平面,所以;【小问2详解】由(1)知平面,20、(1)1;(2).【解析】(1)根据题意可得,为真,令,只需即可求解.(2)根据题意可得与一真一假,当是真命题时,可得或,分别求出当真假或假真时的取值范围,最后取并集即可求解.【详解】解:(1)若命题:,为真,∴则令,,又∵,∴,
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