中考数学试卷解直角三角形（含解析）

解直角三角形

一、选择题

1.（淄博・4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米.在用科学

计算器求坡角a的度数时，具体按键顺序是（）

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；T6：计算器一三角函数.

【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15,然后利用计算器求锐角a.

【解答】解：sinA=a£=」^-=0.15,

AC100

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

区r0-iF-In~i|3~|日

故选：A.

【点评】本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知

三角函数值求角需要用第二功能键.

2.（2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P,A的距离，可以在小河边取PA

的垂线PB上的一点C,测得PC=100米，ZPCA=35°,则小河宽PA等于（）

A.100sin350米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan550米

【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度.

【解答】解:VPA±PB,PC=100米,ZPCA=35°,

，小河宽PA=PCtanZPCA=100tan350

米.故选：C.

【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出

平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边

角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.

3.（2018四川省绵阳市）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继

续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近

距离是

（结果保留小数点后两位）（参考数据：1・732,亚X1.414）（）A.

4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【答案】B

【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD_LAC,取BE=CE,

ZACB=15

/.ZABC=135°,

又：BE=CE,

AZACB=ZEBC=15°,

/.ZABE=120",

又•.,NCAB=30°

，BA=BE,AD=DE,

设BD=x,

在RtAABD中,

AAD=DE=瓦，AB=BE=CE=2x,

,AC=AD+DE+EC=2V3x+2x=30,

-P-1矩T)

，x=曲+1=2~^5.49,

故答案为：B.

【分析】根据题意画出图如图所示:作BDXAC,取BE=CE,根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE,

AD=DE,设BD=x,Rt^ABD中，根据勾股定理得AD=DE=AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2Gx+2x=30

解之即可得出答案.

二.填空题

1.(2018•重庆(A)・4分)如图，把三角形纸片折叠，使点3、点C都与点A重合，折痕分别为OE,

FG,得到NAGE=3O。，若AE=EG=2有厘米，则△ABC的边8C的长为厘米。

【考点】解直角三角形、勾股定理

【解析】过E作E//JLAG于从

•;AE=EG=2sNAGE=30°.

GA=2AH=2AE-cos300=2x2J3x工=6.

2

由翻折得BE=AE=2离GC=GA=6.

BC=BE+EG+GC=6+43.

【点评】本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等

2.(2018•湖北黄石・3分)如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,如

果无人机距地面高度CD10小米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是果0(1+限_

米.(结果保留根号)

【分析】如图，利用平行线的性质得NA=60°,NB=45°,在RtAACD中利用正切定义可计算出AD=100,

在RtABCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100Jg,然后计算AD+BD即可.

【解答】解：如图，

•.•无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,

AZA=60°,ZB=45°,

在RtAACl)^.,

AD

..加=1°1^=ioo,

tan600

在RtABCDV3>

AB=AD+BD=100+100100(l+后.

答：A、B两点间的距离为100(1+V3)

米.故答案为f).

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与己

知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.

3.(2018•ft东泰安•3分)如图，在AABCa,点D是AC边上的动点(不与点

4

C重合)，过D作DELBC,垂足为E,点F是BD的中点，连接EF,设CD=x,ADEF的面积为S,则S与x之

【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出ABED的面积即可解决问题.

【解答】解:⑴在RtZXCDE中，tanC3,CD=x

4

/.DE=—x,CE=AX,

55

.,.BE=10--lx,

5

2

.•.SABETX(10-AX)«^.X=--^-X+3X.

25525

VDF=BF,

2

/.S=A.SABED=__3_xxA，

2252

2

故答案为_^-x+1-x.

【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

4（2018•ft东潍坊•3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁

P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正

东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75

海里48+16«

/小时的速度继续航行—~_小时即可到达.（结果保留根号）

【分析】如图，过点P作PQLAB交AB延长线于点Q,过点M作MNLAB交AB延长线于点N,通过解直角△

AQP、直角求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间.

【解答】解：如图，过点P作PQ1AB交AB延长线于点Q,过点M作MN1AB交AB延长线于点N,

在直角AAOP中，NPAQ=45°,则AQ=PQ=60X1.5+BQ=90+BQ（海里），

所以BQ=PQ-90.

在直角△BPQ中，ZBPQ=30°,则BQ=PQ・tan30°（海里），所以PQ-90=返PQ,

33

所以PQ=45（3+V3）（海里）

所以MN=PQ=45（3+V^）（海里）

在直角△BMN中，ZMBN=30°,所

以V3）（海里）

所以90（3+遥）=48+16遍（小时）

7515

故答案是：48+16/5.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角

三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

5.（2018年江苏省泰州市・3分）如图，ZXABC得，AC=12,将4ABC绕点C顺时针旋转90°得到

△A'B'C,P为线段A'B'上的动点，以点P为圆心，PA'长为半径作。P,当。P与4ABC

的边相切时，OP的半径为返四.

-2513

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当。P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当OP与AB

相切于点T时，

【解答】解：如图1中，当。P与直线AC相切于点Q时，连接PQ.

图1

设PQ=PA'=r,

VPQ/7CA,,

.PQ_PBZ

,,CNA，B，

•.•r_―13rr,

1213

.,.r=156.

25

如图2中，当0P与AB相切于点T时，易证A'、B'、T共线,

图2

VAA,BT^AABC,

.A'T_A'B

*'-ACAB-

.NT17

1213

*丁噜

T喑

综上所述，OP骞或挈.

2513

【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比

例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

6（2018•湖北省武汉•3分）如图.在aABC中，ZACB=60°,AC=1,D是边AB的中点，E是边BC

上一点.若DE平分AABC的周长，则DE的长盘.

【分析】延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CN±AM于N,根据题意得到ME=EB,根据三角形中位线

定理得到IAM,根据等腰三角形的性质求出NACN,根据正弦的概念求出AN,计算即可.

2

【解答】解：延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CNJ_AM于N,

•；DE平分4ABC的周长，

.,.ME=EB,又AD=DB,

，DE=Jj\M,DE/7AM,

2

VZACB=60°,

/.ZACM=120°,

VCM=CA,

AZACN=60°,AN=MN,

.".AN=AC»sinZACN=2/l

2

.,.AM=V3>

,-.DE=2Z1,

2

故答案为：返.

2

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、

正确作出辅助性是解题的关键.

题号依次顺延

三.解答题

1..（2018•四川凉州・8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围

200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米

到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上.

（1）MN73^1.732）

（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%,则原

计划完成这项工程需要多少天？

【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离.要构造直角三角形，再解直

角三角形；

（2）根据题意列方程求解.

【解答】解：（1）理由如下：

如图，过C作CUAB于

H.设CH=x,

由已知有NEAC=45°,ZFBC=60°,

则NCAH=45°,ZCBA=30°.

在RtAACH中，AH=CH=x,

在RtAHBC中，CH

HB

tanZHBC=

CH

••汪不前"近X二LFx，

T

VAH+HB=AB,

/.X+A/3X=600,

解得x=600-220（米）＞200（米）.

1+V3

.♦.MN不会穿过森林保护区.

（2）设原计划完成这项工程需要y」_=（1+25%）X

y-5

解得：y=25.1

经检验知：y=25是原方程的根.Y

答：原计划完成这项工程需要25天.

【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用.

2.(2018・ft西・8分)祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根

曲线塔柱

组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新

颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的

同学把

“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测

量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测

量.

测量

结果

如下

表.

项目内容

课题测量斜拉索顶端到桥面的距离

说明：两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与

C

桥面交于A,B两点，且点A,B,C在同一竖直平面内.

测量示意图

NA的度数ZB的度数AB的长度

测量数据

38°28°234米

(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据求斜拉索顶端点C到AB的距离参考数据sin38。X0.6,cos38。*

tan38°«0.8，sin28°«0.5，cos28°b0.9，tan28°=0.5）；

(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即

可).

【考点】三角函数的应用

【解析】

(1)解：过点C作CD，AB于点D.

设CD=x米，在RtAADC中，

ZADC=90°,NA=380.

tan38，=肾

在RtABDC中,

CD

tan280=—

BD

5

AD+BD=AB=234.

.x+2x=234.

4

解得x=72.

答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米.

（2）解：答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师,

活动感受等.

3.（枣庄・4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米，则大厅两层之

间的高度为&A8米.（枣庄•结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515,

cos31°=0.857,tan31°=0.601]

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.

【解答】解：在RtZXABC中，

VZACB=90°,

/.BC=AB«sinZBAC=12X0.515=6.18（米），

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18

米.故答案为：6.18.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐

角三角函数和数形结合的思想解答.

4（2018•四川成都・8分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次

海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛。位于它的北偏东70°方向，且于航母相

距

80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛。位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛。的

正南方向的力处，求还需航行的距离8力的长.（参考数据：sin70°=0.94,cos700片0・34,

tan700片2・75，sin37°s：0.6,cos37°~0.80,tan37°s0.75）

【答案】解：由题知：ZJCD=70°,乙BCD=31°,HC=8O在R7-L4CQ中，AC=A'C=2,

尸。，G（海里）.

BDBD

在NPC0=9O。中，tanZ5CD=CD.>'•0,75=272,...BD=20»4（海里）.

答：还需要航行的距离87）的长为20.4海里.

【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】根据题意可得出NHCQ=70°,£BCD=31°,HC=80,再利用解直角三角形

在RtZkACD和Rt^BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。

5（荷泽・6分）2018年4月12日，荷泽国际牡丹花会拉开帷幕，薄泽电视台用直升机航拍技术全程直

播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°,B处的俯角为45°,如果此时直升机

镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留

根号）

£

ABD

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可.

【解答】解：；EC〃AD,

ZA=30°,ZCBD=45°,CD=200,

•.•CD_LAB于点D.

.♦.在RtZ\ACD型，

AD

，AD=詈^200/，

在RtaBCD中，ZCDB=90",ZCBD=45°

/.DB=CD=200,

.\AB=AD-DB=200V3-200,

答：A、B两点间的距离为，号-200米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角^ABC斜边上的高，将三角

形分成两个三角形，然后求解.分别在两三角形中求出AD与BD的长.

6(2018•江西・8分)图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴

固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB=120cm，两扇活

页门的宽OC=08=60cm，点固定，当点在4B上左右运动时，OC与08的长度不变(所有结果保留小数点

后

一位).

(1)若〃BC=50°,求

AC的长；

(2)当点从点向右运动cm时，求点在此过程中运动的路径长.

参考数据：sin50°^0.77,cos50°-0.64,tan50°^1.19,TT取3.14

图1图2

【解析】(1)如图，作OHLAB于H

,.-0C=0B=60.\CH=BH

在RtAOBH中

cosZ0BC=—

OB

JBH=OB•cos50°^60X0.64=38.4

.・・AC=AB—2BH=120—2X38.4=43.2

・・・AC的长约为43.2cm.

(2)VAC=60・・・BC=60V0C=0B=60

.\0C=0B=BC=60

••.△OBC是等边三角形

・,.oc弧长二丝2nl=-x2x60x3.14

3606

=62.8

...点0在此过程中运动的路径长约为62.8cm.

7.（2018•湖南省常德•7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即

AB=CD）,将左边的门ABBA绕门轴AAi向里面旋转37°,将右边的门CDDC绕门轴D"向外面旋转45°,其

示意图如图2,求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin37°-0.6,cos37°-0.8,

我七1.4）

【分析】作BELAD于点E,作CFLAD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,则EM=BC,在RtaABE、RtA

CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtAMEF中利用勾股定理即可求出

EM的长，此题得解.

【解答】解：作BE_LAD于点E,作CFJ_AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,如图所示.

VAB=CD,AB+CD=AD=2,

，AB=CD=1.

在RtZ\ABE中,AB=1,ZA=37°,

...BE=AB・sinNA10.6,

AE=AB«cosZA^O.8.在RtZ\CDF中，CD=1,

ND=45°,

/.CF=CD«sinZD«O.7,DF=CD»cosZD«0.7.

VBE±AD,CF1AD,

ABE//CM,

XVBE=CM,

.•.四边形BEMC为平行四边形，

；.BC=EM,CM=BE.

在RtZ\MEF中，EF=AD-AE-DF=O.5,FM=CF+CM=1.3,

EMREF2+FM2s55L41

•••B与C之间的距离约为1.4米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利

用勾股定理求出BC的长度是解题的关键.

8(2018•湖南省衡阳・8分)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走

2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的

雁峰公园B处，如图所示.

(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

【解答】解：(1)作CPLAB于P,

由题意可得出：ZA=30°,AP=2000米，

则J^AC=1000米；

2

(2)..•在RtZ\PBC中，PC=1000,ZPBC=ZBPC=45°,

.\BC=V2PC=IOOOV2X.

•.•这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆,

.•.他到达宾馆需要的时间为10°°a=虫我<15,

100

,他在15分钟内能到达宾馆.

9.(2018•ft东临沂•7分)如图，有一个三角形的钢架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2（V5+1）m.请

计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

【分析】过B作BDJ_AC于Uxm,CD=BD=xm,得出方程，求出方程的解即可.

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门,

理由是：过B作BD_LAC于D,

VAB>BD,BOBD,AOAB,

・・・求出DB长和2.1m比较即可，

设BD=xm,

VZA=30°,ZC=45°，

DC=BD=xm,AD==J^xm,

VAC=2（灰+1）m,

，x+&x=2（V^-1）,

x—21

即BD=2m<2.Im,

.♦•工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.

【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键.

10（2018•ft东青岛•6分）某区域平面示意图如图，点0在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公

路.甲勘测员在A处测得点0位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点0位于南偏西73.7°,测得

AC=840m,

BC=500m.请求出点0到BC的距离.

tan73.7。4丝

257

【分析】作0M_LBC于M,ON_LAC于N,设0M=x,根据矩形的性质用x表示出0M、MC,根据正切的定义用

x表示出BM,根据题意列式计算即可.

【解答】解：作0M1BC于M,0N1AC于

N,则四边形0NCM为矩形，

.,.0N=MC,0M=NC,

设0M=x,则NC=x,AN=840-x,

在RtAANO中，ZOAN=45°,

.•.0N=AN=840-x,则MC=0N=840-x,

HRtABOM——要——=-Lx,由题意得，840-X+-LX=500,

tanZOBM2424

解得，x=480,

答：点0到BC的距离为480m.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.

11.ZCAB=30°,NCBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多

少公里？（参考数据：币=1.7,1.4）

【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里.一

【解析】【分析】过点。作切，力氏垂足为〃在和RtZ\6（力中，分别解直角三角形即可.

【解答】如图，过点。作CDLAB,垂足为

D,在RtZ\496'和RtZ\6如中，

/。代30°,/烟=45°,48640.

Z.320由，

320也

：.640+320亚=1088,

,320^+320=864,

二1088-864=224（公里）.

答：隧道打通后与打通前相比，从/地到6地的路程将约缩短224公里.

【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.

12（2018•安徽・4分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在

地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上，如图所示,该小组在标杆的F处通过平面镜

E恰好观测到旗杆顶A（此时NAEB=NFED）.在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3。，平面镜E的俯角为45。，

FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据:tan为多。^0.82,tan84.3°g10.02）

【答案】旗杆AB高约18米.

【解析】【分析】如图先证明△FDEs/\ABE,从而得——=一，在RtZ\FEA中，由一，通过运算求得AB的

DFEFEF

值即可.

【详解】如图，VFM//BI）,AZFED=ZMFE=45°,

VZDEF=ZBEA,JNAEB=45°,

AZFEA=90°,

VZFDE=ZABE=90°，

ABAE

.'.△FDE^AABE,

DFEF

AE

在RtZ\FEA—，

EF

AB

—=tan84.3°=10.02,

1.8

.\AB=1.8X10.02^18,

答：旗杆AB高约18米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到二=3843。是解题的

DF

关键.

13.(2018•株洲市)下图为某区域部分交通线路图，其中直线L也2心3,直线与直线L、LU都垂直,，垂足

分别为点A、点B和点C,(高速路右侧边缘)，上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且由千米，

上的点N位于点Mcosa=三，MN=2护千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站

点.

城际铁路线L

道路线g

道路线

道路线4

(1)求12和b之间的距离

(2)若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？

(结果用分数表示)

【答案】(1)2；(2)1小时.

【解析】分析：(1)直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；

(2)利用tan30。得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即

ABAB3

可得出答案.

详解：(1)过点M作MD±NC于点D,

解得：DM=2(km),

答：L和L,之间的距离为2km；

(2)•.•点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=4千米,

.,.tan30o=吧=坦=色，

ABAB3

解得：AB=3(km),

可得：AC=3+2=5(km),

VMN=27T3km,DM=2km,

；必=向序，=4由

(km),则NC=DN+BM=5由

(km),

；•AN=JAC2+C\2=J(5扬2+52=1o(km),

♦.•城际火车平均时速为150千米/小时，

_101

♦,•市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N---=一小时.

15015

点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键.14(2018•株洲市)

如图，在RtZ\ABM和Rtz^ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.(1)求证：

RtAABM^RtAAND(2)线段MN与线

段AD相交于T,若加，求

tan4AB面值

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）利用HL证明即可；

,AMDT,…AM1一

（2）证明△DNTs/\AMT,可得一=—,由AT4〃推出一=-,在RtaABM中，tanNABM二

DNATDN3

AMAM1一

—=—=-.详解：（1）VA1>AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90°

BMDN3

ARtAABM^RtAAND（HL）.

（2）由RtZXABMgRtZXAND易得：ZDAN=ZBAM,DN=BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

，NDAMn/AND

・・・ND〃AM

AADNT^AAMT

.AMDT

DNAT

.AM_1

*'DN"3

VRtAABM

AMAM1

tanNABM=----=------=-.

BMDN3

点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题

15（2018年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD,标杆的高是2m,在

DB上选取观测点E、F,从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C、A

的仰角分别为22°、70°.求建筑物AB的高度（精确到0.1m）.（参考数据：tan22°^0.40,

tan58°^1.60,tan70°^2.75.）

【分析】在4CED中，得出DE,在4CFD中，得出DF,进而得出EF,列出方程即可得出建筑物AB的高度;

【解答】解：在RtZkCED中，NCED=58°,

oCD

・tan5R8Q,

DE

•np_CD2

tan580tan58°'

在RtZ\CFD中,ZCFD=22°，

Vtan22°,

DF

ADF=——2

tan22tan22"

.,.EF=DF-DE=

2____________2

tan22°tan58°'

同理:EF=BE-BF=

AB_AB

tan45°tan700'

.AB_AB=2____________2

tan45°tan700tan22°tan580

解得：解%5.9（米），

答：建筑物AB的高度约为5.9米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题.

16(2018年江苏省南京市)结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，RtAABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,

求aABC的面积.

解：设AABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为

x.根据切线长定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)玄(3+4)

2.整理，得x?+7x=12.

所以LC・BC

2

=—(x+3)(x+4)

2

1,

=—(X2+7X+12)

2

=—X(12+12)

2

=12.

小颖发现12恰好就是3X4,即AABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合

吗？请你帮她完成下面的探索.

己知：AABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,

BD=n.可以一般化吗？

(1)若/C=90°,求证：4ABC的面积等于

mn.倒过来思考呢？

(2)若AC・BC=2mn,求证

NC=90°.改变一下条件……

(3)若NC=60°,用m、n表示aABC的面积.

CxF4B

【分析】(1)由切线长知AE二AD=m、BF=BD=n>CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即

x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算可得；

(2)由由AOBC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证即可;

(3)作AG±BC,由三角函数得上3(x+m),CG=AC,cos60°=—(x+m)、BG=BC-CG=(x+n)

22

-(x+m),在RtZ\ABG中，根据勾股定理可得x'+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.

【解答】解：设4ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为

x,根据切线长定理,得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如图1,

图1

在RtaABC中，根据勾股定理，得：(x+m)'+(x+n)'=(m+n)2

整理，得：x2+(m+n)x=mn,

所以》C・BC

=­(x+m)(x+n)

2

=­[x2+(m+n)x+mn]

2

二一(mn+mn)

2

=mn,

(2)由AJBC=2mn,得：(x+m)(x+n)=2mn,

整理，得：x2+(m+n)x=mn,

AC2+BC2=(x+m)'+(x+n)'

=2[X2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn+m'+n'

=(m+n)2

=AB2,

根据勾股定理逆定理可得NC=90°；

(3)如图2,过点A作AGLBC于点G,

在RtZ\ACG返(x+m),CG=AC・cos60°=—(x+m),

22

/.BG=BC-CG=(x+n)-—(x+m),

2

在Rtz^ABG亚(x+m)]2+[(x+n)--(x+m)]2=(m+n)2,整理，得：x2+(m+n)

22

x=3mn,

SAABC=--BC*AG

2

=­X(x+n)(x+m)

22

怎[x2+(m+n)x+mn]

4

(3mn+mn)

4

=V^nn.

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理

及其逆定理等知识点.

17(2018•株洲市)如图,在RtZXABM和RtzIXADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.

(1)求证：RtAABM^RtAAND

⑵线段MN与线段AD相交于T,若1.AD,求tan/ABM的值

4

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：(1)利用HL证明即可;

,AMDT,9AM1一

(2)证明△DNTs/^AMT,可得一=一,由AT=/〃，推出——=-,在RtZXABM中，tanNABM二

DNATDN3

AMAM1一

—=——=-.详解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90°

BMDN3

ARtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtZiABM义RtZkAND易得：NDAN二NBAM,DN二BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

，ZDAM=ZAND

AND/7AM

.'.△DNT^AAMT

•_A__M___DT

*eDN-AT

TAT=/〃

・AM_I

**DN-3

VRtAABM

AMAM1

/.tanZABM=——=——=-.

BMDN3

点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题

18(2018年江苏省泰州市・10分)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①，当前后房屋都朝向正南时，

日照间距系数=L：(H-H,)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，乩为北侧楼房底层窗台至地面高

度.

图①图②

如图②，ft坡EF朝北，EF长为15m,坡度为i=l：0.75,ft坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房

AB,底部A到E点的距离为4m.

(1)求ft坡EF的水平宽度FH；

(2)欲在AB楼正北侧ft脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为

0.9m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远？

【分析】⑴在RtZkEFH中，根据坡度的定义得出名雪，设EH=4x,则FH=3x,由勾股定理求出EF=

3FH

VEH^+FH^X,那么5X=15,求出X=3,即可得到ft坡EF的水平宽度FH为9m；

(2)根据该楼的日照间距系数不低于罢孕21.25,解不等式即可.

33.6

【解答】解:(1)在RtZSEFH中，；NH=90°,

4RU

/.tanZEFH=i=l：0.75=-^=—,设EH=4x,贝UFH=3x,

3FH

AEF=VEH^+FH^5X,

VEF=15,

.\5x=15,x=3,

AFH=3x=9.

即ft坡EF的水平宽度FH为9m；

(2)・.・L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13,

H=AB+EH=22.5+12=34.5,H尸0.9,

CF+13_CF+13

日照间距系数=L：(H-H.)

-34.5-0.9—33.6

该楼的日照间距系数不低于1.25,

.CF+13

21.25,

…33.6

；.CF，29.

答：要使该楼的日照间距系数不低于L25,底部C距F处29m远.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题

的关键.

19(2018年江苏省宿迁)如图，为了测量ft坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P

的仰角为45°,然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰

角分别是60°和30°,设PQ垂直于AB,且垂足为C.

p

（1）求NBPQ的度数;

（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m,6~1.73）

【答案】（1）解：依题可得：ZA=45°,ZPBC=60°,ZQBC=30°,AB=100m,

在RtZXPBC中，

■:ZPBC=60°,ZPCB=90°,

/.ZBPQ=30°,

(2)解：设CQ=x,

在RtAQBC中,

ZQBC=30°,ZQCB=90",

/.BQ=2x,BC=V3X,

XVZPBC=60°，/QBC=30°,

/.ZPBQ=30",

由⑴知NBPQ=30°,

，PQ=BQ=2x,

/.PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+艮,

又•；/A=45°,

.\AC=PC,

即3x=10+\PX,

解得：x=-3一,

1O（升⑸

PQ=2x=3七15.8（m）.

答：树PQ的高度约为15.8m.

【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形

【解析】【分析】（1）根据题意题可得：ZA=45°,ZPBC=60°,ZQBC=30°,AB=100m,在RtaPBC中，根据

三角形内角和定理即可得NBPQ度数.

（2）设CQ=x,在RtZiQBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=

根据角的计算得NPBQ=/BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x,用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x,

AC=AB+BC=10+6x,又NA=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再将x值代入PQ代数式求之即可.

20（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线L1112II「直线与直线卜Lb都垂直，，垂足分

别为点A、点B和点C,（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且近千米，上的点

N位于点Mcosa=—,MN=2护千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.

13

城际铁路线L

道路线4

道路线4