中考数学复习专题讲座4-6：探究型问题、数学思想方法(含详细参考答案)

中考数学复习专题讲座四：探究型问题

一、中考专题诠释

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证

明的一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探

究型等四类.

二、解题策略与解法精讲

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题

意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识

一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之

间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特

等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特

殊到一般，从而得出规律.

2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是

能与已知条件一致.

3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出

现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结

果.

4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或

解决方法，并加以严密的论证.

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方

法的综合运用.

三、中考考点精讲

考点一：动态探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件.

例1（•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,ZXAEF为正三

角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和4CEF的面积是否发生变

化？如果不变，求出这个定值：如果变化，求出最大（或最小）值.

考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

分析：（I）先求证AB=AC,进而求证△ABC、AACD为等边三角形，得N4=60。，AC=AB

进而求证4ABE咨AACF,即可求得BE=CF；

（2）根据△ABEgZ\ACF可得SAABE=SAACF，故根据S四娜

AECF=SAAEC+SAACF=SAAEC+SAABE=SAABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，

边AE最短.4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面

积会最小，又根据S&CEF-S四边彩AECF-SAAEF>则ACEF的面积就会最大.

解答：（1）证明：连接AC,如下图所示，

:四边形ABCD为菱形，ZBAD=120°,

Zl+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

VZBAD=120°,

.*.ZABC=60°,

/.△ABC和AACD为等边三角形，

/.Z4=60°,AC=AB,

.•.在4ABE和4ACF中，

fZl=Z3

<AB=AC，

ZABC=Z4

.'.△ABE^AACF（ASA）.

；.BE=CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变，ACEF的面积发生变化.

理由：由（1）得4ABE之AACF,

则SAABE=SAACF>

故S四边彩AECF=SZ\AEC+SAACF=SAAEC+SAABE=SAABC，是定值，

作AH_LBC于H点，则BH=2,

S四边形AECF=SZXABC=1BOAH=AB2_

2

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,

又SACEF=S四边形AECF-SAAEF，则此时ACEF的面积就会最大.

SACEF=S四边形AECF-SAAEF=4A/3-梦冈（哂）2_（我）S

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证

△ABE也4ACF是解题的关键，有一定难度.

考点二：结论探究型：

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目.

例3（•盐城）如图①所示，已知A、B为直线1上两点，点C为直线1上方一动点，

连接AC、BC,分别以AC、BC为边向AABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D

作DD41于点Di，过点E作EEIL于点EI.

G

(1)如图②，当点E恰好在直线1上时(此时Ei与E重合)，试说明DD产AB；

(2)在图①中，当D、E两点都在直线1的上方时，试探求三条线段DDi、EEi、AB之间

的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点E在直线1的下方时，请直接写出三条线段DDi、EEi、AB之间的数量

关系.(不需要证明)

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：(1)由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA,ZDAC=ZABC=90°,又

由同角的余角相等，求得/ADD./CAB,然后利用AAS证得△ADDigZXCAB,根据全

等三角形的对应边相等，即可得DD产AB；

(2)首先过点C作CH±AB于H,由DDiJ_AB,可得NDD|A=/CHA=90。，由四边形CADF

是正方形，可得AD=CA,又由同角的余角相等，求得NADD产NCAH,然后利用AAS证

得△ADDigZXCAH,根据全等三角形的对应边相等，即可得DD尸AH,同理EEi=BH,则

可得AB=DDi+EEi.

(3)证明方法同(2),易得AB=DD|-EE|.

解答：(1)证明：•••四边形CADF、CBEG是正方形，

；.AD=CA,ZDAC=ZABC=90°,

ZDADi+ZCAB=90°,

VDDilAB,

.".ZDD,A=ZABC=90o,

...NDAD|+/ADD|=90°,

，ZADD,=ZCAB,

在AADDi和4CAB中，

'NDDiA=/ABC

<ZADD^ZCAB.

AD=CA

.,•△ADDi^ACAB(AAS),

；.DDi=AB；

(2)解：AB=DD|+EE).

证明：过点C作CHLAB于H,

VDDilAB,

.".ZDD|A=ZCHA=90°,

；./DAD|+/ADD|=90°,

•.•四边形CADF是正方形，

；.AD=CA,ZDAC=90°,

.".ZDADi+ZCAH=90°,

二ZADDi=ZCAH,

在aADDi和aCAH中，

'NDDiA=NCHA

'ZADD^ZCAH.

,AD=CA

.•.△ADDi^ACAH(AAS),

.*.DD,=AH；

同理：EE尸BH,

，AB=AH+BH=DDi+EE,；

⑶解：AB=DDi-EE,.

证明：过点C作CH_LAB于H,

VDDi±AB,

.,.ZDD|A=ZCHA=90°,

...NDADi+NADDi=90°,

•..四边形CADF是正方形，

，AD=CA,ZDAC=90°,

ZDAD|+ZCAH=90°,

.".ZADDi=ZCAH,

在AADDi和ACAH中，

'NDD1A二NCHA

,ZADD^ZCAH.

,AD=CA

.,.△ADD^ACAH(AAS),

，DDI=AH；

同理：EE,=BH,

；.AB=AH-BH=DDi-EE,.

点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意数形结

合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

例4（•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA,过点0

作OBJLOA,交抛物线于点B,以OA、0B为边构造矩形AOBC.

（1）如图1,当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；

（2）如图2,当点A的横坐标为-工时，

2

①求点B的坐标；

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x?经过平

移交换后，能否经过A,B,C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理

由.

考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）过点A作AD±x轴于点D,根据正方形的对角线平分一组对角可得

ZAOC=45°,所以NAOD=45。，从而得到aAOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（-a,

a）,然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；

（2）①过点A作AELx轴于点E,过点B作BFLx轴于点F,先利用抛物线解析式求出

AE的长度，然后证明△AEO和AOFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与

BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；

②过点C作CGLBF于点G,可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等

可得CG=OE,BG=AE,然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线

的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行

验证变换后的解析式是否经过点C,如果经过点C,把抛物线解析式转化为顶点式解析式，

根据顶点坐标写出变换过程即可.

解答：解：（1）如图，过点A作ADLx轴于点D,

•.•矩形AOBC是正方形，

ZAOC=45°,

ZAOD=90°-45°=45°,

...△AOD是等腰直角三角形，

设点A的坐标为（-a,a）（a对），

则（-a）2=a,

解得a1=-1,a2=0（舍去），

，点A的坐标-a=-1,

故答案为：-1；

（2）①过点A作AE±x轴于点E,过点B作BF±x轴于点F,

当x=一工时，y=(-A)2=J,

224

即0E=1，AE=1,

24

,/ZAOE+ZBOF=180°-90°=90°,

ZAOE+ZEAO=90°,

，ZEAO=ZBOF,

又：ZAEO=ZBFO=90°,

.".△AEO^AOFB,

1

•OF_AE=4=1

"BFEO1~2

2

设OF=t,则BF=2t,

t2=2t,

解得：ti=0(舍去)，t2=2,

.•.点B(2,4)；

②过点C作CG±BF于点G,

VZAOE+ZEAO=90°,ZFBO+ZCBG=90°,NAOE=NFBO,

ZEAO=ZCBG,

"ZAEO=ZG=90°

在AAEO和△BGC中，,NEA0=NCBG，

AO=CG

.".△AEO^ABGC(AAS),

.".CG=OE=1,BG=AE=1.

24

Xc=2-A=卫，yc=4+A=AZ,

2244

.•.点CAZ),

24

'-1-1，,=1

设过A(-1」)、B(2,4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c,由题意得,《1C~l,

24-4+2b+c=4

解得。=3,

1c=2

经过A、B两点的抛物线解析式为y=-X2+3X+2,

当x£时，y=-(32+3x卫+2=U,所以点C也在此抛物线上，

2224

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x?+3x+2=-(x-卫)2+lZ.

24

平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移至个单位，再向上平移U个单位得到抛物线y=-(x

24

-J)2+篁

点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全

等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用

点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一.

考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来

探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细

致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理

的证明或加以运用.

例5(•青海)如图(*),四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，ZAEF=90°,

且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所

提出的问题.

(1)探究1：小强看到图(*)后，很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三

角形全等，但4ABE和4ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑

到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEMgEFC

就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1,取AB的中点M,连接EM.

,/ZAEF=90°

ZFEC+ZAEB=90°

又：ZEAM+ZAEB=90°

ZEAM=ZFEC

•.•点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点

，AM=EC

又可知aBME是等腰直角三角形

.".ZAME=135°

又CF是正方形外角的平分线

，/ECF=135。

.,.△AEM^AEFC(ASA)

，AE=EF

(2)探究2：小强继续探索，如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC

上的任意一点“，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论.

(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是

边BC延长线上的一点“，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成

证明过程给小强看，若不成立请你说明理由.

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：阅读型.

分析：(2)在AB上截取AM=EC,然后证明/EAM=FEC,ZAME=ZECF=135°,再利

用“角边角''证明4AEM和4EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

(3)延长BA到M,使AM=CE,然后证明ZBME=45。，从而得到/BME=NECF,再利用

两直线平行，内错角相等证明NDAE=NBEA,然后得到NMAE=NCEF,再利用“角边角”

证明4MAE和ACEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.

解答：(2)探究2,证明：在AB上截取AM=EC,连接ME,

由(1)知/EAM=/FEC,

VAM=EC,AB=BC,

；.BM=BE,

.,,ZBME=45°,

；./AME=/ECF=135°,

,/ZAEF=90°,

.,.ZFEC+ZAEB=90°,

又：ZEAM+ZAEB=90°,

；./EAM=/FEC,

'/AME=/FCE

在aAEM和AEFC中，，AJkEC，

ZBAE=ZFEC

.,.△AEM^AEFC(ASA),

，AE=EF；

(3)探究3：成立，

证明：延长BA到M,使AM=CE,连接ME,

，BM=BE,

；./BME=45°,

ZBME=ZECF,

又：AD〃BE,

.•,ZDAE=ZBEA,

XV/MAD=/AEF=90。，

ZDAE+ZMAD=ZBEA+ZAEF,

即/MAE=/CEF,

'/BHE=/ECF

在aMAE和4CEF中，(AH=CE

ZMAE=ZCEF

.,.△MAE^ACEF(ASA),

.\AE=EF.

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键

是取AM=EC,然后构造出AAEM与4EFC全等是解题的关键.

例6(•永州)如图所示，已知二次函数y=ax2+bx-1(a^O)的图象过点A(2,0)和B(4,

3),1为过点(0,-2)且与x轴平行的直线，P(m,n)是该二次函数图象上的任意一点,

过P作PHJJ,H为垂足.

(1)求二次函数y=ax?+bx-1(a#0)的解析式；

(2)请直接写出使y<0的对应的x的取值范围；

(3)对应当m=0,m=2和m=4时，分别计算|PO『和|PH『的值.由此观察其规律，并猜想

一个结论，证明对于任意实数m,此结论成立；

(4)试问是否存在实数m可使aPOH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请

说明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：(1)根据二次函数y=ax2+bx-1(a和)的图象过点A(2,0)和B(4,3),待定

系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；

(2)y=ax2+bx-1=0,解出x的值，进而求出使y<0的对应的x的取值范围；

(3)分别求出当m=0,m=2和m=4时，分别计算|POF和|PH『的值.然后观察其规律，再

进行证明；

(4)由(3)知OP=OH,只要OH=OP成立，ZXPOH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m

和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值.

解答：解：(1)I•二次函数y=ax?+bx-1(a/0)的图象过点A(2,0)和B(4,3),

.(4a+2b-1=0

…16a+4b-l=3'

解得a=A,b=0,

4

二次函数的解析式为y=」x2-1,

4

(2)令y=-lx2-1=0,

4

解得x=-2或x=2,

由图象可知当-2Vx<2时y<0,

(3)当m=0时，|POF=1,|PH|2=1；

当m=2时，P点的坐标为(2,0),|PO|2=4,|PH|2=4,

当m=4时，P点的坐标为(4,3),|POF=25,|PH『=25,

由此发现|PO|2=|PH『，

设P点坐标为(m,n),即nJm?-1

4

'op|=V7^>

|PH|2=n2+4n+4=n2+m2,

故对于任意实数m,|POF=|PH|2；

(4)由(3)知OP=PH,只要OH=OP成立，△POH为正三角形，

设P点坐标为(m,n),|OP|=^m2+n2,

1。印近7，

|OP|=|OH|,即i?=4,解得n=±2,

当n=-2时、n=Am2-1不符合条件，

4

故n=2,m=±2^时可使APOH为正三角形.

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征

和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般.

考点四：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目.

例7（•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、0A分别

与x轴、y轴重合，AB〃OC,ZAOC=90°,ZBCO=45°,BC=6圾，点C的坐标为（-9,

0）.

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=2,OD=2BD,求直线

DE的解析式；

（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P,使以0、E、P为顶点的三

角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：一次函数综合题。_

分析：（1）过点B作BFJ_x轴于F,在Rt△BCF中，己知/BCO=45。，BC=6版,解直

角三角形求CF,BF,确定B点坐标；

（2）过点D作DGLy轴于点G,由平行线的性质得出△ODGS^OBA,利用相似比求DG,

0G,确定D点坐标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式；

（3）存在.由已知的0E=2,分别以0、E为圆心，2为半径画弧，与直线DE相交，或作

线段0E的垂直平分线与直线DE相交，交点即为所求.

解答：解：（1）过点B作BFLx轴于F,…（1分）

在RtABCF中，

VZBCO=45°,BC=6圾，

；.CF=BF=6,...（1分）

VC的坐标为（-9,0）,

；.AB=0F=3,

.•.点B的坐标为(-3,6)；…(1分)

(2)过点D作DGLy轴于点G,...(1分)

：AB〃DG,

.".△ODG^AOBA,

•.•DG=PP=OG_2(AB=3,OA=6,

ABOBOA3

，DG=2,OG=4,...(1分)

AD(-2,4),E(0,2),

设直线DE解析式为y=kx+b(k/0)

J-2k+b=4

*-lb=2

1....(1分)

lb=2

・・.直线DE解析式为y=-x+2；...(1分)

(3)存在Pi(2,0)、P2(1,1)、P3(血，2-我)、P4(-A/2>2+圾)...(3分)

(写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分)

点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角

形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类

求P点坐标.

例8(•北海)如图，在平面直角坐标系中有RtaABC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0)、

B(0,1)、C(d,2).

(1)求d的值；

(2)将AABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B，、C正好落在某

反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；

(3)在(2)的条件下，直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数

图象上的点P,使得四边形PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；

如果不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。

专题：计算题。

分析：(1)过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N,由A、B及C的坐标得出OA,0B,

CN的长，由NCAB=90。，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两

锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且

AC=BC,利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可

得出CN=OA,AN=OB,由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；

(2)由第一问求出的C与B的横坐标之差为3,根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出

C(m,2),则B，(m+3,1),再设出反比例函数解析式，将C，与B，的坐标代入得到关于k

与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值,

得到反比例函数解析式，设直线BC，的解析式为y=ax+b,将C，与B，的坐标代入，得到关于

a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线BC，的解析式;

(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC是平行四边形，理

由为：设Q为GC的中点，令第二问求出的直线BC的解析式中x=0求出y的值，确定出G

的坐标，再由C，的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线1与x轴交

于M，点，与y=@的图象交于P，点，若四边形PGMC是平行四边形，则有PQ=QM，，易知

X

点M，的横坐标大于卫，点F的横坐标小于卫，作PHLx轴于点H,QKLy轴于点K,P，H

22

与QK交于点E,作QFLx轴于点F,由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相

等及P'Q=QM1利用AAS可得出aPEQ与△QFM，全等，根据全等三角形的对应边相等，

设EQ=FMM,由Q的横坐标-t表示出，的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P，的纵

坐标，进而确定出M，的坐标，根据P，H-EH=PfH-QF表示出P，E的长，又P，Q=QM，，分别

放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定

出P，与M，的坐标，此时点P为所求的点P,点M，为所求的点M.

解答：解：(1)作CN_Lx轴于点N,

VA(-2,0)、B(0,1)、C(d,2),

.".OA=2,OB=1,CN=2,

ZCAB=90°,即ZCAN+ZBAO=90°,

XVZCAN+ZACN=90°,

/.ZBAO=ZACN,

在RtACNA和RtAAOB中，

'NACN=/BAO

<ZANC=ZBOA=90°，

CA=AB

RtACNA^RtAAOB(AAS),

NC=OA=2,AN=BO=1,

NO=NA+AO=3,又点C在第二象限,

d=-3；

(2)设反比例函数为y=±(k翔)，点C和B，在该比例函数图象上,

x

设C(m,2),则B，(m+3,1),

把点C和B，的坐标分别代入y=K得k=2m；k=m+3,

X

；・2m=m+3,

解得：m=3,

贝Uk=6,反比例函数解析式为y=&,点C(3,2),B-(6,1),

x

设直线CB的解析式为y=ax+b(a/0),

把C，、B，两点坐标代入得：

(3a+b=2,

16a+b=l'

f_1

a一—一

・••解得：，3；

b=3

直线CB的解析式为y=-lx+3；

3

(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC，是平行四边形，理

由为：

设Q是GC的中点，令y=-L+3中x=0,得到y=3,

3

；.G(0,3),又C'(3,2),

：.Q(至，王),

22

过点Q作直线1与x轴交于M，点，与y=@的图象交于P，点，

X

若四边形PGMC是平行四边形，则有PQ=QM\

易知点M，的横坐标大于卫，点P，的横坐标小于心，

22

作PHJ_x轴于点H,QKJ_y轴于点K,PH与QK交于点E,作QF_Lx轴于点F,

：QF〃P，E,

.*ZM,QF=ZQP,E,

在aPEQ和△QFM，中，

'SEQ=ZQFM?

V.NQP'E=/M'QF'

P'Q=QM'

.,.AP,EQ^AQFM,(AAS),

.\EQ=FM,,P,Q=QM,,

设EQ=FM'=t,

••.点P，的横坐标x=--3点P，的纵坐标y=&=J=_1Z_,点M，的坐标是(卫+t,0),

2x2-t3-2t2

2

.\P,E=P,H-EH=P,H-QF=_-旦

3-2t2

又•.•P'Q=QM',

根据勾股定理得：P,E2+EQ2=QF2+FM,2,

(12-j)2+t2=(i)2+t2,

3-2t22

整理得：_J2_=5,

3-2t

解得：t=C(经检验，它是分式方程的解)，

10

.-J-t=3-A=6;12=_12_=5,3+t=3+A=9,

221053-2t9-7X^-22105

10

/.P,(.§,5),M，(20),

55

则点P'为所求的点P,点M，为所求的点M.

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理,

坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题,

要求学生掌握知识要全面.

四、中考真题演练

1.(•广东)如图，直线y=2x-6与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点A(4,2),与

x

x轴交于点B.

(1)求k的值及点B的坐标；

(2)在x轴上是否存在点C,使得AC=AB?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说

明理由.

考点：反比例函数综合题。

专题：数形结合。

分析：（1）先把（4,2）代入反比例函数解析式，易求k,再把y=0代入一次函数解析

式可求B点坐标；

（2）假设存在，然后设C点坐标是（a,0）,然后利用两点之间的公式可得

7（4-a）2+（2-0）2=7（4-3）2+（2-0）2>借此无理方程，易得a=3或a=5,

其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求.

解答：解：（1）把（4,2）代入反比例函数y=K得

X

k=8,

把y=O代入y=2x-6中，可得

x=3,

故k=8；B点坐标是（3,0）；

（2）假设存在，设C点坐标是（a,0）,则

VAB=AC,

二7（4-a）2+（2-0）^7（4-3）2+（2-0）2,

即（4-a）2+4=5,

解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）

故点C的坐标是（5,0）.

点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两

点之间的距离公式.

2.（•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数行X（x>0）的图象交于

x

点M,过M作MH_Lx轴于点H,且tan/AHO=2.

（1）求k的值；

点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得

（2）N（a,1）y=-（x>0）xP,

PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求0H的

长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标.从而可求K的值；

（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点Ni，连接MN1与x

轴的交点就是满足条件的P点位置.

解答：解：

（1）由y=2x+2可知A（0,2）,即OA=2.…（1分）

•.•点M在直线y=2x+2上,

.•.点M的纵坐标为4.即M（1,4）.…（3分）

•.•点M在y=X上，

x

.\k=1x4=4....（4分）

（2）存在.

,点N（a,1）在反比例函数尸出（x>0）上，

x

Aa=4.即点N的坐标为（4,1）....（5分）

过点N作N关于x轴的对称点N”连接MN],交x轴于P（如图所示）.

此时PM+PN最小.…（6分）

与Ni关于x轴的对称，N点坐标为（4,1）,

，Ni的坐标为（4,-1）.…（7分）

设直线MN|的解析式为y=kx+b.

由，4=k+b解得卜:-gb=1Z.…（9分）

1-l=4k+b.33

/.直线MNi的解析式为尸-*卷

令y=0,得x=—.

，P点坐标为(篁,0)....(10分)

5

点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等.

3.(•莆田)如图，一次函数y=kix+b的图象过点A(0,3),且与反比例函数行■"(x>0)

x

的图象相交于B、C两点.

⑴若B(1,2),求k『k2的值;

(2)若AB=BC,则k>k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。

专题：综合题。

分析：(1)分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式,

然后代入k|・k2进行计算即可得解；

(2)设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知

点C的横坐标是点B的纵坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于ki、k2的关系

式，整理即可得解.

解答：解：(1)VA(0,3),B(1,2)在一次函数y=kix+b的图象图象上，

.fb=3

，

'[k1+b=2

=-i

解得i；

b=2

VB(1,2)在反比例函数yj组图象上，

X

二丝2,

1

解得k2=2,

所以，kiek2=(-1)x2=-2；

(2)ki*k2=-2,是定值.

理由如下：

•・,一次函数的图象过点A(0,3),

工设一次函数解析式为y=kix+3,反比例函数解析式为y=—,

x

x

2

整理得kix+3x-k2=0,

3k

.*.X1+X2=-X1*X2=---2

k[kl

VAB=BC,

・••点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，不防设X2=2XI，

・k2

..XI+X2=3X)=---3-，X]*X2=2XI7-

ki-1

整理得，krk2=-2,是定值.

点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数

的关系，(2)中根据AB=BC,得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与

系数的关系是解题的关键.

4.(•长春)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别为A

(2,0)、C(-1,2),反比例函数y=X(k/0)的图象经过点B.

X

(1)求k的值.

(2)将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点C处，判断点U是否在反比例函数y=X

X

(k加)的图象上，请通过计算说明理由.

考点：反比例函数综合题。

分析：(1)根据平行四边形的性质可得AO=BC,再根据A、C点坐标可以算出B点坐

标，再把B点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值；

(2)根据翻折方法可知C与C点关于x轴对称，故C点坐标是(-1,-2),把。点坐标

(-1，-2)代入解析式发现能使解析式左右相等，故点C，是否在反比例函数y=2的图象

X

上.

解答：解：(1)•・♦四边形OABC是平行四边形，

ABC=AO,

VA(2,0),

OA=2,

ABC=2,

VC(-1,2),

ACD=1,

ABD=BC-CD=2-1=1,

AB(1,2),

反比例函数y=X(k#0)的图象经过点B,

X

k=1x2=2；

(2)・・・")ABC沿x轴翻折，点C落在点C处，

点坐标是(-1,-2),

Vk=2,

反比例函数解析式为y=2,

X

把C，点坐标(-1,-2)代入函数解析式能使解析式左右相等，

故点U在反比例函数y=2的图象上.

点评：此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形

的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式.

7.(♦宜宾)如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线1：y=x-5±.

(1)求抛物线顶点A的坐标；

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断aABD

的形状；

(3)在直线1上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题；分类讨论。

分析：(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后

代入直线1的解析式中即可求出点A的坐标.

(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边

的长可得，然后根据边长确定三角形的形状.

(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对

角线两种情况讨论，即①AD2PB、②AB2PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列

方程求出P点的坐标.

解答：解：(1),顶点A的横坐标为x=—^=1,且顶点A在y=x-5上,

•,.当x=l时，y=l-5=-4,

AA(1,-4).

(2)4ABD是直角三角形.

将A(l,-4)代入y=x?-2x+c,可得，1-2+c=-4,c=-3>

y=x2-2x-3,B(0,-3)

当y=0时，x?-2x-3=0,xi=-1,x2=3

AC(-1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+l2=2,AD2=(3-1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2,

.\ZABD=90o,即AABD是直角三角形.

(3)存在.

由题意知：直线y=x-5交y轴于点A(0,-5),交x轴于点F(5,0)

；.OE=OF=5,XVOB=OD=3

•••△OEF与aOBD都是等腰直角三角形

；.BD〃1,即PA〃BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C

设P(X,,xi-5),贝ijG(1,xl-5)

则PC=|1-x||,AG=|5-xi-4|=|l-xi|

PA=BD=3^/2

由勾股定理得：

(1-xi)2+(1-xi)2=18,xi2-2xi-8=0,xi=-2或4

：.P(-2,-7),P(4,-1)

存在点P(-2,-7)或P(4,-1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.

点评：题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综

合性较强；(3)题应注意分类讨论，以免漏解.

8.(•温州)如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过

点P(l,m)作直线PMJ_x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称

点为C(B、C不重合).连接CB,CP.

(1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

(2)当m>1时，连接CA,问m为何值时CA_LCP?

(3)过点P作PELPC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上？若存在，求出

所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

分析：(1)把m=3,代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交

点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；

(2)过点C作CH_Lx轴于点H(如图1)由已知得NACP=/BCH=90。，利用已知条件证

明△ACHsaPCB,根据相似的性质得到：期=里再用含有m的代数式表示出BC,CH,

CHBC

BP,代入比例式即可求出m的值；

(3)存在，本题要分当m>l时，BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1和当O〈m<l时，BC=2

(1-m),PM=m,BP=1-m,两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E

坐标.

解答：解：(1)当m=3时，y=-X*2+6X

令y=0得-X2+6X=0

.*.XI=O,X2=6,

AA(6,0)

当x=l时，y=5

AB(1,5)

・・•抛物线y=-X2+6X的对称轴为直线x=3

又・・・B,C关于对称轴对称

ABC=4.

(2)过点C作CH，x轴于点H(如图1)

由已矢口得NACP=NBCH=90。

AZACH=ZPCB

XVZAHC=ZPBC=90°

AAACH^APCB,

・AH产

.•而任

•.•抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>l,

又,「B,C关于对称轴对称，

ABC=2(m-1),

VB(1,2m-1),P(1,m),

ABP=m-1,

又：A(2m,0),C(2m-1,2m-1),

AH(2m-1,0),

AAH=1,CH=2m-1,

.]_in-]

2m-12(m-1)

•,*1iTnl——3.

2

(3)VB,C不重合，Am/l,

(I)当m>l时，BC=2(m-l),PM=m,BP=m-1,

(i)若点E在x轴上(如图1),

ZCPE=90°,

ZMPE+ZBPC=ZMPE+ZMEP=90°,PC=EP,

...△BPC丝ZXMEP,

，BC=PM,

.'.2（m-1）=m,

，m=2,此时点E的坐标是（2,0）；

（ii）若点E在y轴上（如图2）,

过点P作PNLy轴于点N,

易证ABPC丝△NPE,

.•.BP=NP=OM=1,

m-1=1,

m=2,

此时点E的坐标是（0,4）；

（II）当0<m<l时，BC=2（1-m）,PM=