河南省六市高三第一次联考（一模）数学（理）试题

河南省六市2018届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,,所以,选C.2.已知为虚数单位，若，则（）A.0B.1C.D.2【答案】B3.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C.考点：古典概型及其概率的计算.4.汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,选D.5.为考察两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物的预防效果优于药物的预防效果B.药物的预防效果优于药物的预防效果C.药物、对该疾病均有显著的预防效果D.药物、对该疾病均没有预防效果【答案】B【解析】由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：

药物A的预防效果优于药物B的预防效果．

故选B．6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】几何体如图，，所以最大面ＳＡＢ的面积为，选Ｂ．7.已知数列满足：，则其前100项和为（）A.250B.200C.150D.100【答案】D【解析】因为,所以选D.8.已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为锐角三角形,所以,选D.9.设是数列的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A.2015B.2016C.2017D.2018【答案】D【解析】试题分析：此题的程序框图的功能就是先求这个数的最大值，然后进行计算,，因为，所以，故选D．考点：程序框图.【方法点睛】本题考查的是程序框图.对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】取SC中点O，则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.椭圆与函数的图象交于点，若函数的图象在处的切线过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设因此，所以，,,选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.若关于的方程有3个不相等的实数解，且，其中，，则的值为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】令，则方程化为有两个不等的实根，所以，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，，则______.【答案】5【解析】14.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是_______（用数字作答）.【答案】10【解析】试题分析：由题意可得：，所以，令，所以展开式中含项的系数是10.考点：二项式定理.15.已知是双曲线：右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，则的最小值是_______.【答案】【解析】16.已知动点满足，则的最小值是_______.【答案】【解析】因此可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知数列中，，其前项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列是等差数列；（2）求出的通项公式，利用放缩法进行证明不等式.试题解析：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.6分（2）由（1）可知，，当时，从而.考点：1.裂项求和；2.放缩法；3.推理能力.【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和，放缩法，等差数列的通项公式，考查了变形能力，推理能力与计算能力，属于中档题，首先根据可求出数列的通项公式，（2）问中根据（1）中条件进行裂项求和，可发现中间部分项被消掉，因此可适当利用放缩的方法对前项和进行放大或缩小，即可证明结论，因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键.18.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）【答案】（1）3，5（2）（3）2.22【解析】试题分析：（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．

（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．

（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则Xr可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．试题解析：(1)数据整理如下表：从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为岁以下长者人数为人(2)在人中岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，岁及以上长者共有万，岁及以上长者占户籍人口的百分比为％=％，(3)用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，则随机变量的分布列为：全市老人的总预算为元，政府执行此计划的年度预算约为亿元.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，并且二面角的大小为，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（1）因为，，又是菱形，，故平面平面平面4分（2）连结，因为平面，所以，所以平面又是的中点，故此时为的中点，以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．．6分设则，向量为平面的一个法向量．8分设平面的一个法向量，则且，即，取，则，则12分解得故14分考点：1、平面与平面垂直的判定；2、平面与平面所成角余弦值的应用．20.已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点.（1）求的值；（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的长度为，当直线绕点旋转时，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设出直线的方程为，设，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点坐标，推出中垂线方程，结合的中垂线交轴于点，求出即可；（2）设方程为，代入，求出的距离以及中点为，令，求出的表达式，推出关系式，利用到轴的距离，求出，分离常数即可求得的最大值.试题解析：（1）当的倾斜角为时，的方程为设得得中点为中垂线为代入得（2）设的方程为，代入得中点为令到轴的距离当时取最小值的最大值为故的最大值为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，且，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析.....................试题解析：（1），所以（1）当时，，所以在上单调递增（2）当时，令，当即时，恒成立，即恒成立所以在上单调递增当，即时，，两根所以，，,故当时，在上单调递增当时，在和上单调递增在上单调递减.（2）由（1）知时，上单调递增，此时无极值当时，由得，设两根，则，其中在上递增，在上递减，在上递增令，所以在上单调递减，且故.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的执直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于两点，若点的直角坐标为，求的值.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（１）根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，（２）先化直线参数方程标准形式，代入圆的直角坐标方程，根据参数几何意义得，再根据韦达定理求值.试题解析：解：（1）直线的普通方程为，，所以所以曲线的直角坐标方程为.（2）点在直线上，且在圆内，由已知直线的参数方程是（为参数）代入，得，设两个实根为，则，即异号所以.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1