双曲线及其标准方程

第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1(1)双曲线及其标准方程双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究思路探究双曲线的有关问题.课前导学【问题1】椭圆的定义和标准方程分别是什么？1.椭圆的定义：

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴：（2）焦点在y轴：【问题2】如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化呢？F1F2M••xyOB2B1A1A2F1F2M••xyOB2B1A1A2课前导学.互动活动一：利用信息技术探究双曲线的形状①在直线l上取两个定点A,B

(|AB|=2a)，P是直线l上的动点.②平面内取定点F1,F2(|F1F2|=2c).

③以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.【情景1】点P在线段AB上运动：当两圆有交点时，交点M满足什么几何条件？轨迹是什么？F1F2..交点M的轨迹为椭圆|MF1|=|PA|，|MF2|=|PB||MF1|+|MF2|=|AB|=2a互动活动一：利用信息技术探究双曲线的形状【情景2】点P在线段AB外运动：当两圆有交点时，交点M满足什么几何条件？①P在线段AB左侧|MF2|-|MF1|=|AB|=2a|MF1|-|MF2|=|AB|=2a②P在线段AB右侧||MF1|-|MF2||=|AB|=2a交点M的轨迹为双曲线双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2——焦点，两焦点间的距离——焦距.一般用2a表示一般用2c表示F2F1M差的绝对值非零小于｜F1F2｜【追问】定义中有哪些关键词？【思考1】去掉“绝对值”，动点M的轨迹是什么？【思考2】若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？【思考3】若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？【思考4】若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？【小结1】定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？【小结2】定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.③若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，F1F2M此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线②若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，此时轨迹不存在①若2a=0,即|MF1|=|MF2|，F1F2M此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线【例1】发散思维，请你给同学们出出题，平面内两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足______________________，判断点P的轨迹？学以致用①|PF1|+|PF2|=12椭圆互动活动二：类比抽象，推导双曲线的标准方程①建系如图，取过焦点F1、

F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

②设点设P(x，y)为双曲线上任意一点．xOyF2F1P【思考】类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？③限制条件

④代入互动活动二：类比抽象，推导双曲线的标准方程⑤化简

焦点在x轴上的双曲线的标准方程互动活动二：类比抽象，推导双曲线的标准方程【思考】焦点在y轴上的双曲线方程是什么?

【追问】如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？

【口答】说出以下双曲线的焦点坐标学以致用

(-5,0)，(5,0)(0,-5)，(0,5)

学以致用

学以致用

学以致用

反思与小结定义焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像方程焦点坐标焦点位置判断a,b,c的关系a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大||MF1|－|MF2||=2a(0<2a<2c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)化为标准方程，焦点跟着正项走双曲线及其标准方程巩固提高巩固提高