专题283锐角三角函数（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题28.3锐角三角函数（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2018·天津和平·统考一模）计算：的结果等于（

）A． B．1 C． D．2．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）在直角三角形中，，，，则的长为（

）A．5 B．10 C．12 D．244．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A． B．C． D．5．（2022上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（

）

A． B． C． D．6．（2016·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）A．3 B．4 C．6 D．87．（2020上·吉林长春·九年级统考期末）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A． B． C． D．8．（2018上·吉林长春·九年级阶段练习）山坡底部有一棵竖直的大树，小明从处沿山坡前进米到达处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶．已知坡角，小明的眼睛到地面的距离为米，则树高为（

）A．20米 B．21.7米 C．（10+1.7）米 D．11.7米9．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点O，交延长线于点M，若，，则的值为（

）A． B． C． D．10．（2023上·山西长治·九年级校联考阶段练习）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2019下·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）计算：.12．（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是三角形．13．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在平行四边形中，，垂足为E，如果，，，那么．

14．（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．则树高BD=．15．（2023上·上海闵行·九年级校联考期中）如图，在中，，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连结，那么的值是．16．（2019下·九年级单元测试）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC是米.17．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=．18．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023上·山东泰安·九年级统考期中）计算．（1）； （2）．20．（8分）（2023上·上海闵行·九年级校联考期中）已知：如图，在中，，，，是边上的中线．（1）求的面积；（2）求的余切值．21．（10分）（2023上·河北秦皇岛·九年级统考期中）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度．（结果保留根号）22．（10分）（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．23．（10分）（2022·浙江·九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．（1）求∠B'EE'的度数；（2）求∠DAC的正切值．24．（12分）（2022·山东济宁·统考中考真题）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=；AC=；（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．参考答案：1．B解：试题解析：=.故选B．2．C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．解：由题意得：；故选C．【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．3．D【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．解：∵，，∴，又，∴，∴，∴，故选D．4．A【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得．解：A、，则此项符合题意；B、，则此项不符合题意；C、，则此项不符合题意；D、，则此项不符合题意；故选：A5．A【分析】连接，得到，再利用勾股定理求出，的长，即可求出最后结果．解：如图，连接，

则，，，故选：A．【点拨】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．6．C解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，∵tan∠BAO=2，∴，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO－CD=4－1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3×2=6．故选C．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．7．C【分析】先在Rt△ABC和Rt△ADC中，求出AB＝、AD＝，再求长度之比即可．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．【点拨】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC，利用正弦函数的定义求解是解答的关键．8．D【分析】作辅助线过点C作CE⊥AB于点E，进而利用RT△进行求解.解：作辅助线过点C作CE⊥AB于点E，由题意可得，∠ACE＝30°，∴AE＝ACsin∠ACE＝20×＝10米，又∵小明身高为1.7米，AB＝AE＋EB＝AE＋DC＝11.7米.故选D.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用坡度、坡角问题，熟练掌握坡度和坡角的定义是本题解题的关键.9．D【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求出长，然后推导出，则有，可以求出和长，然后在中秋出余弦值即可．解：∵是矩形，∴，，，，∴，∴又∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，，∴，∴，故选D．【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．C【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后再根据正弦的定义即可解答；运用勾股定理求得斜边是解题的关键．解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，∴每个直角三角形的斜边长为，∵直角三角形的较小的锐角为，∴，故选：C．11．【分析】先化简二次根式，计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减可得．解：＝，故答案为：．【点拨】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则等知识点．12．等边【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等边三角形．故答案为：等边．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．13．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四边形的性质证得，然后利用等角对等边证得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，则，∵四边形是平行四边形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明是解答的关键．14．（2+4）米/（4+）米【分析】过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等边三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的长；然后解Rt△DMN求得DN的长即可解答.解：如图，过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等边三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN•tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案为：（+4）米.【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．15．/【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出．解：设，则，垂直平分，∴，，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．16．10【分析】直接利用坡比的定义得出BE，FC的长，进而求出答案．解：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，由题意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，∴BE=FC=2m，∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）．故答案为10．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BE，FC的长是解题关键．17．【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．解：过B点作BE//AD交AC于点E，BE⊥AD，，∴∴由，∴设则故答案为：18．//【分析】过A作轴于M，、则

，先根据矩形性质求得，，再根据余弦定义得到，证明求得，利用求解k值即可．解：过A作轴于M，、则

，

∵四边形是矩形，面积是6，∴，，∵，∴，∵轴，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质求得的面积是解答的关键．19．（1）；（2）【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算；（1）先计算零次幂、二次根式和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；（2）先计算绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；解：（1）；（2）．20．（1）42；（2）【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理．（1）作，垂足为点H．先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解；（2）作，垂足为点M．先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值．（1）解：过点C作，点H为垂足，在中，，是等腰直角三角形，，在中，，，，设，则，，，，解得，，；（2）解：过点D作，点M为垂足，，，，D为中点，，由（1）知：，，，在中，，．21．【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可．解：如图示：过C点作交AB于D点，∵EF∥AB，∴，，在Rt△ADC中，∴m，在Rt△BDC中，∴m，∴m．【点拨】本题考查了三角函数的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．22．（1）24；（2）M点的坐标为【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P纵坐标为4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，设，则，当M点在P点右侧，∴M点的坐标为，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），当时，，∴M点的坐标为，当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．综上，M点的坐标为．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．23．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，进而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）设正方形ABEB'的边长为a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四边形ABEB'为矩形，又∵AB＝AB'，∴四边形ABEB'为正方形，∴∠B'AE＝∠AEB