高中物理选修3-4校本作业及答案

第一章机械振动

第1讲简谐运动

［目标定位］1.知道什么叫机械振动2理解回复力、平衡位置的概念.3.了解弹簧振子，掌握简谐运动的动力

学特征.

［自主预习］

一、什么是机械振动

1.机械振动：物体在附近做—运动，叫做机械振动，简称振动.

2.回复力：总是指向的力.

3.平衡位置：指物体所受回复力为—的位置.

二、弹簧振子的振动

1.弹簧振子是一种—模型，由一个质量可以的弹簧与一个质量为机的物体构成.

2.简谐运动：物体所受回复力的大小与位移大小成—，并且总是指向的运动，或加速度的大小

与位移大小成—，加速度的方向与位移方向相反的运动.

［重难点解析］

一、对简谐运动的平衡位置、位移、回复力、加速度的理解

1.对平衡位置的理解

(1)从物体受力特点看：物体在平衡位置所受合力不一定为零，而是沿振动方向的合力为零.

(2)从速度角度看：平衡位置是振动中速度最大的位置.

2.对简谐运动的位移的理解

简谐运动的位移是矢量，是从平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段.

注意：简谐运动的位移和一般运动的位移有很大区别，一般运动的位移都是由初位置指向末位置.而简谐

运动的位移都是由平衡位置指向振动质点所在位置.

3.对回复力的理解

(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它是效果力，而不是一种新的性质力.它可以由物体所受

的合外力提供，也可以由某一个力或某一个力的分力提供.

(2)简谐运动的回复力：F=-kx

①/是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中力为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振

动位移大小无关.

②“一”号表示回复力的方向与质点偏离平衡位置的位移的方向相反.

③x是指质点对平衡位置的位移，不一定等于弹簧的伸长量或压缩量.

④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置.

4.对简谐运动的加速度的理解

据牛顿第二定律，a=%=—表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速

度方向与位移方向相反.

5.判断振动是否为简谐运动的方法

若回复力/与位移x间的关系满足尸=一丘，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动.

【例1】如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距

离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（）

A.钢球运动所能达到的最低处为平衡位置"第"

B.钢球原来静止时的位置为平衡位置I

C.钢球振动到距原静止位置下方3cm处时位移为3cm|

D.钢球振动到距原静止位置上方2cm处时位移为2cm

解析振子的平衡位置是指振子原来静止时的位置，故A错，B对.振子的位移为从平衡位置指向某时刻

振子所在位置的有向线段，有方向，有正负，可判断C对，D错.

答案BC

针对训练1如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的4、8之间做往复运动，下列说法正确的是（）

A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用「y建

C.振子由。向/运动过程中，加速度方向向左"AdB

D.振子由。向8运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

解析回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力

所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力的方向总是指向平衡位置，加

速度的方向与回复力方向相同，所以振子由。向/运动过程中，加速度方向向右，由。向8运动过程中，

回复力方向向左，故C错误，D正确.

答案AD

二、简谐运动中各量的变化情况

如图所示的弹簧振子

弹力最大减小0增大最大

加速度最大减小0增大最大

速度0增大最大减小0

【例2】弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中（）

A.振子所受的回复力逐渐增大

B.振子离开平衡位置的位移逐渐增大

C.振子的速度逐渐增大

D.振子的加速度逐渐增大

解析在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减

小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确.

答案C

针对训练2一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内（）

A.振子的速度逐渐增大

B.振子的位移逐渐增大

C.振子正在向平衡位置运动

D.振子的速度方向与加速度方向一致

解析振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度增大，速度方向与加速度

方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位

移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误.

答案B

［课时作业］

题组一对振动的理解

1.使物体产生振动的必要条件是（）

A.物体所受到的各个力的合力必须指向平衡位置

B.物体受到的阻力等于零

C.物体离开平衡位置后受到的回复力的作用，物体所受的阻力足够小

D.物体离开平衡位置后受到回复力厂的作用，且了=一日。为对平衡位置的位移）

题组二对简谐运动中基本概念的理解

2.下列说法正确的是（）

A.弹簧振子的运动是简谐运动

B.简谐运动是机械运动中最简单、最基本的运动

C.简谐运动中位移的方向总是指向平衡位置

D.简谐运动中位移的方向总与速度的方向相反

3.如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子团离开。点，再从4点运动到C点时，振子离开

平衡位置的位移是（）

A.大小为OC,方向向左

B.大小为OC,方向向右

C.大小为/C,方向向左

OCA

D.大小为NC,方向向右

4.如图所示，弹簧振子8上放一个物块出在4与8一起做简谐运动的过程中，下列关于月受力的说法

中正确的是（）

A.物块工受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B.物块4受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C.物块/受重力、支持力及8对它的恒定的摩擦力

D.物块工受重力、支持力及8对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

5.对于弹簧振子，其回复力和位移的关系，下列图中正确的是（）

6.弹簧振子的质量是2kg,当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N,当它运动到平衡位

置右侧4cm时，它的加速度是（）

A.2m/s2,向右B.2m/s2,向左

C.4m/s2,向右D.4m/s2,向左

题组三简谐运动中各量的变化情况

7.图中所示为一弹簧振子，。为平衡位置，以向右为正方向，则振子在2、C之间振动时（）

A.8fo位移为负、速度为正

B.O-C位移为正、速度为负耳。

C.C-O位移为负、速度为正

D.。-8位移为正、速度为负

8.一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（）

A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C.振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

9.关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是（）

A.位移减小时，加速度减小，速度也减小

B.位移方向总是跟加速度方向相反，跟速度方向相同

C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向跟位移方向

相同

D,物体向负方向运动时，加速度方向跟速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向跟速度方向相反

10.以弹簧振子为例，振子做简谐运动的过程中，有两点4、A'关于平衡位置对称，则振子()

A.在N点和4'点的位移相同

B.在1点和H点的位移大小相同

C.在两点处的速度可能相同

D.在两点处的加速度可能相同

11.一质量为机的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示.

(1)小球在振动过程中的回复力实际上是.

(2)在振子向平衡位置运动的过程中()

A.振子所受的回复力逐渐增大

B.振子的位移逐渐增大|

C.振子的速度逐渐减小

D.振子的加速度逐渐减小

答案(1)弹簧的弹力与重力的合力(2)D

12.如图所示，小球被套在光滑的水平杆上，与弹簧相连组成弹簧振子.小球在平衡位置。附近的小B

间往复运动，以。为位移起点，向右为位移x的正方向，则

(1)速度由正变成负的位置在.

(2)位移为负向最大值的位置在.

(3)加速度由正变负的位置在.।:::

B~~O~~A~~x

(4)加速度达到正向最大值的位置在

题组四综合应用

13.如图所示，将一劲度系数为％,原长为Lo的轻弹簧的一端固定在倾角为。的光滑斜面的顶端，另一端

连接一质量为〃［的小球.将小球沿斜面拉下一段距离后松手.证明：小球的运动是简谐运动.

M

第2讲振动的描述

［目标定位］1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义2知道简谐运动的图象是一条正弦(或余

弦)曲线3会根据简谐运动的图象找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.4.理解简谐运动公式，能

从中获取振幅、周期(频率)等相关信息.

［自主预习］

一、振动特征的描述

1.振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的-用A表示.

(2)物理意义：表示振动的幅度大小或_______一

2.周期和频率

(1)全振动(如图所示)做简谐运动的物体由B点经过。点到达C点，再由C点经过0点返回B点，我们说

物体完成了一次，重新回到原来的状态.

(2)周期

①定义：完成一次经历的时间.用T表示.

②物理意义：表示振动的-：--A——-A―

COB

(3)频率

①定义：振动物体在1s内完成的次数.用/表示.

②物理意义：表示振动的____一

③单位：Hz

(4)周期和频率的关系：.六处T=j

(5)固有周期(频率)

物体在—状态下的振动周期(或频率)，叫做固有周期

(或固有频率).固有周期(或固有频率)是物体本身的属性，与物体是否振动―—

想一想振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？为什么？

答

二、简谐运动的图象描述

简谐运动的图象是一条曲线，这一图线直观地表示了做简谐运动物体的位移随时间按

规律变化.

想一想简谐运动的图象描述的是小球的运动轨迹吗？

答

三、简谐运动的公式表达

1.物体位移X与时间t之间的关系

x=/sin等t或x=Nsincot

其中x代表振动物体的位移，t代表时间，。代表简谐运动的圆频率.

2.圆频率3与周期之间的关系7="

(O

［重难点解析］

一、对振动特征描述的理解

1.对全振动的理解

正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征.

(1)振动特征：一个完整的振动过程.

(2)物理量特征：位移(x)、速度(。)等各个物理量第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发

点.

(3)时间特征：历时一个周期.

⑷路程特征：振幅的4倍.

(5)相位特征：增加2兀

2.振幅与路程的关系

振动物体在一个周期内的路程为四个振幅.

振动物体在半个周期内的路程为两个振幅.

振动物体在一个周期内的路程可能等于、小于或大于一个振幅.

3.周期(Q和频率(/)

(1)周期是振动物体完成一次全振动所需的时间.频率是单位时间内完成全振动的次数.所以周期(7)与频率

(/)的关系：T=j.

(2)物体振动的固有周期和固有频率，由振动系统本身的性质决定，与物体是否振动无关.

【例1】如图所示，一弹簧振子在8、C两点间做简谐运动，B、C间距为12cm,O是平衡位置，振子从C

点第一次运动到8点的时间为0.5s,则下列说法中正确的是()

A.该弹簧振子的周期为1s

B.该弹簧振子的频率为2Hz新吗隼-----1

C.该弹簧振子的振幅为12cmCOB

D.振子从O点出发第一次回到。点的过程就是一次全振动

解析振子从C到8只完成了半个全振动，即彳=0.5s,则周期7=1s,A正确；频率/=*=1Hz,B错

C~B

误；振幅力==6cm,C错误；从。点出发第一次回到。点的过程为半个全振动，D错误.

2

答案A

二、对简谐运动的图象的理解

1.形状：正(余)弦曲线

2.物理意义

表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律.

3.获取信息

(1)简谐运动的振幅A和周期T,再根据尸浮出频率.

(2)任意时刻质点的位移的大小和方向.如图所示，质点在小乃时刻的位移分别

为X|和一X2.

(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图中。点，下一时刻|X

离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动.居右弋.

(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质一向米=/

点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大;

若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图中b,从正位移向着平衡位置运动，则

速度为负且增大，加速度、位移正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，加速度、

位移正在增大.

注意：振动图象描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹.比如弹簧振子沿一直

线做往复运动，其轨迹为往复运动的线段，而它的振动图象却是正弦(或余弦)曲线.

【例2】一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是()

A.质点振动的频率是4Hz|”cm

-----

B.在10s内质点经过的路程是20cmJ\I\1\,;

02\4\6/810h,,ls

C.第4s末质点的速度是零…

D.在f=ls和f=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同

解析根据振动图象可知，该简谐运动周期7=4s,所以频率尸3=025Hz,A错；10s内质点通过路程

5=^X4/!=10^=10X2cm=20cm,B正确；第4s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在f=ls和

f=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错.

答案B

借题发挥简谐运动的图象的应用

(1)从图象中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移；

(2)比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小；

(3)预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的方向和大小

的变化趋势.

针对训练如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是()

由Pf0,位移在增大

由「一。，速度在增大x/cm

&

由A/fN,位移先减小后增大

r

D.由M-*N,加速度先增大后减小4

解析由P-Q,位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，

选项B错误；由MfN,质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，

FICY

选项正确，由〃=—=——知，加速度先减小后增大，选项错误.

CmmD

答案AC

三、简谐运动公式

做简谐运动的物体位移x随时间t变化公式：

x=/sin(tu/+0)

1.由简谐运动公式我们可以直接读出振幅/、圆频率3和初相位。.据60=竽或0=27^可求周期T或频率

f,可以求某一时刻质点的位移X.

2.关于两个相同频率的简谐运动的相位差\<P=<P2-<P\的理解

⑴取值范围：一兀WApWic.

Q)X(p=Q,表明两振动步调完全相同，称为同相.

△9=兀，表明两振动步调完全相反，称为反相.

(3)Ap>0,表示振动2比振动1超前.

△甲<0,表示振动2比振动1滞后.

【例3】一弹簧振子/的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin2.5n，m,位移y的单位为m,时间t的单

位为s.M()

A.弹簧振子的振幅为0.2m

B.弹簧振子的周期为1.25s

C.在f=0.2s时，振子的运动速度为零

D.若另一弹簧振子8的位移y随时间f变化的关系式为y=0.2sin(2.5w+；)m,则振动4滞后若

27r27r

解析由振动方程y=0.1sin2.5mm,可读出振幅4=0.1m,圆频率口=2.5兀rad/s,故周期7=­s

=0.8s,故A、B错误；在Z=0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，C正确；两振动的相位差AQ

JIJiT^.

=92—91=2.5加+4一2.5兀/=不即8超前或说/滞后％,选项D正确.

答案CD

借题发挥应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅Z、周期「频率/的对应关系，其中7

d，/奇，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系・

［课时作业］

题组一振动特征的描述

1.振动周期指的是振动物体（）

A.从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间

B.从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间

C.从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间

D.经历了四个振幅的时间

2.周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振

子的振幅分别为（）

A.15次，2cm

B.30次，1cm

C.15次，1cm

D.60次，2cm

3.如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O,把振子拉到/点，O=lcm,然后释放

振子，经过0.2s振子第1次到达。点，如果把振子拉到/'点，OA'=2cm,则释放振子后，振子第1

次到达O点所需的时间为（）

A.0.2s

B.0.4s

、〃〃〃〃〃〃〃方力方力,〃.,力〃〃为,,

OAAr

C.0.1s

D.0.3s

4.弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距离是20cm,A到B运动时间是2s,如图2所示，

则（）

A.从O-^B-O振子做了一次全振动

B.振动周期为2s,振幅是10cm轲副典®&Q-Y

C.从8开始经过6s,振子通过的路程是60cmBOA

D.从。开始经过3s,振子处在平衡位置

5.在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一种常用的记录方法，在弹

簧振子的小球上安装一支记录用笔P,在下面放一条白纸带.当小球振动时，匀速拉动纸带（纸带速度与振

子振动方向垂直），尸就会在纸带上画出一条曲线.如图乙所示为某次记录的一条曲线，若匀速拉动纸带的

速度为0.5m/s,则由图中数据可得该弹簧振子的振动周期为s；若将小球的振幅减小为4cm,其

它条件不变，则其振动周期将（选填“变大”、“不变”或“变小”）.

题组二简谐运动的图象

6.关于简谐运动的图象，下列说法中正确的是（）

A.表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线

B.由图象可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向

C.表示质点的位移随时间变化的规律

D.由图象可判断任一时刻质点的速度方向

7.如图表示某质点简谐运动的图象，以下说法正确的是（）

A.八、七时刻的速度相同x

B.从八到f2这段时间内，速度与位移同向,

c.从到△这段时间内，速度变大，位移变小。一7

D.小白时刻的速度相同

8.如图所示为某质点在。〜4s内的振动图象，贝IJ（）

A.质点在3s末的位移为2m

B.质点在4s末的位移为8m

C.质点在4s内的路程为8m

D.质点在4s内的路程为零

9.如图所示是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是（

A.振动周期是2X10—2$

B.第2个102s内物体的位移是一]0cm

C.物体的振动频率为25Hz

D.物体的振幅是10cm

10.一个弹簧振子在4、8间做简谐运动，O为平衡位置，如图所示，以

某一时刻作计时起点。为0）,经;周期，振子具有正方向最大的加速度，

，〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/力力〃〃〃〃〃〃〃〃〃/.

那么在下图所示的儿个振动图象中，正确反映振子振动情况（以向右为正方AOB

向）的是（）

11.一弹簧振子沿X轴振动，离开平衡位置的最大距离为4cm,振子的平衡位置位于x轴上的。点，如图

所示，〃、6、c、4为4个不同的振动状态，黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向；图9中给

出的①、②、③、④四条振动图象，可用于表示振子的振动图象的是()

A.若规定状态a时f=0,则图象为①

B.若规定状态6时/=0,则图象为②

C.若规定状态c时/=0,则图象为③

D.若规定状态4时f=0,则图象为④

题组三简谐运动的表达式

12.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=/sin，，则质点()

A.第1s末与第3s末的位移相同x

B.第1s末与第3s末的速度相同

C.第3s末与第5s末的位移方向相同oi23；ls

D.第3s末与第5s末的速度方向相同

13.如图所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点。为」卜

平衡位置，MN=8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时^MONM

间为0.2s,则小球的振动周期为s,振动方程为x=<

14.弹簧振子以。点为平衡位置，在8、C两点间做简谐运动，在t=0时刻，振子从。、2间的尸点以速

度。向8点运动；在f=0.2s时，振子速度第一次变为一。；在/=0.5s时，振子速度第二次变为一o.

(1)求弹簧振子振动周期T;

(2)若8、C之间的距离为25cm,求振子在4.0s内通过的路程；

(3)若8、C之间的距离为25cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图

象.

CPB

O

第3讲单摆

［目标定位］1.知道什么是单摆2理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有

关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算4会用单摆测定重力加速度.

［自主预习］

一、单摆的运动

1.单摆：把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以,这种装置叫做单

摆.单摆是一种—模型.

2.单摆的回复力：在摆角很小的情况下，单摆所受回复力的大小与摆球位移的大小成—，方向与摆球

位移的方向___-因此，在摆角很小的条件下，单摆的振动可近似看成一运动.

想一想单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？

答

二、单摆的周期

1.单摆周期公式：T=

即单摆的振动周期7与摆长I的算术平方根成―，与重力加速度g的算术平方根成

单摆周期公式是荷兰物理学家首先提出的.

2.单摆的振动周期由单摆振动系统本身的性质(和当地的)决定，与摆球的及单摆的

无关.

三、利用单摆测定重力加速度

原理：由单摆的振动周期公式可得g=精确地测出单摆的—和振动一，就可以计算出当地的重

力

［重难点解析］

一、单摆及单摆的回复力

1.单摆

(1)单摆是实际摆的理想化模型

(2)实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多

②悬线的质量与摆球质量相比小得多

③摆球的直径与摆线长度相比小得多

2.单摆的回复力

(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F=mgsin。提供的.

(2)如图所示，在最大偏角很小的条件下，sin6^,其中x为摆球对平衡位置。点的位移.

单摆的回复力F=-mgsing谭x,令k=詈,则尸=一去.由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振动

为简谐运动.

注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.

(2)单摆的回复力为小球受到的重力沿切线方向的分力，而不是小球受到的合外力.

【例11对于单摆的振动，以下说法中正确的是()

A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零

解析单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，

2

细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为华一,可见最大偏角处向心力为零，平衡位

置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零.故应选C.

答案C

借题发挥单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆

球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复

力.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向

心力).

二、单摆的周期

1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.

2.单摆的周期公式：

3.对周期公式的理解

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(8W5。).

(2)公式中/是摆长，即悬点到摆球球心的距离/=/我+r琮

(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.

(4)周期7只与/和g有关，与摆球质量〃，及振幅无关.所以单摆的周期也叫固有周期.

【例2】若单摆的摆长不变，摆球的质量由20g增加为40g,摆球离开平衡位置的最大角度由4。减为2。，

则单摆振动的()

A.频率不变，振幅不变B.频率不变，振幅改变

C.频率改变，振幅不变D.频率改变，振幅改变

解析单摆的摆长不变时，单摆振动的周期不变，频率不变；摆长不变时，摆角越小，振

幅越小，选项B正确.

答案B

三、用单摆测定重力加速度

1.实验原理

单摆在偏角很小(W5。)时的运动，可看成简谐运动，其固有周期7=2、%可得g=^.据此，通过实验

测出摆长/和周期T,即可计算得到当地的重力加速度值.

2.实验器材

铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1m左右)、刻度尺(最小刻度为1mm)、

游标卡尺.

3.实验步骤

(1)用游标卡尺测小球的直径乩在不同的位置测三次，取平均值.

(2)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个比孔稍大一些的线结，制成一个单摆.

(3)把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.

(4)用刻度尺测量单摆的摆线的长度〃摆球静止时从悬点到球的上端面间的距离)则摆长l=L+^.

(5)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于等于5。，再释放小球.当摆球摆动稳定以后，过最

低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆

的振动周期.

(6)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.

4.数据处理

(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的/和7,代入公式g=爷中求出g值，最后求出g的平均值.

得炉=手/作出炉/图象，即以P为纵轴，以/为横轴.如图

(2)图象法：由7=2;

Ybo

所示.其斜率左=半，由图象的斜率即可求出重力加速度g.

O

注意：(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般为1m左右.小球应选用质量大、体积小的金属

球.

(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小(8W5。).

(3)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆.

(4)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点位置时开始计时，以摆球从同一方向通过最低点时计数,

要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，并用取平均值的办法求周期.

【例3】甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度.

(1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置.

y/(cm-s-,)

0.51.01.52.02.53.0t/s

甲乙

①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用;（用器材

前的字母表示）

a.长度接近1m的细绳

b.长度为30cm左右的细绳

c.直径为1.8cm的塑料球

d.直径为1.8cm的铁球

e.最小刻度为1cm的米尺

f.最小刻度为1mm的米尺

②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L,然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间人请写出重

力加速度的表达式g=.（用所测物理量表示）

③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点。处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导

致所测重力加速度的数值.（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）

（2）乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示.将摆球拉开一小角度使其做简

谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的“图线.

①由图丙可知，该单摆的周期7=s；

②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出/乙（周期平方摆长）图线，并根据图线拟合

得到方程公=4.04乙由此可以得出当地的重力加速度g=m/s2.（取兀2=》86,结果保留3位有效数

字）

174JE2£

解析（1）①根据7=221得8=%，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1m左右的

不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1mm,故选adf.

②因为r=­,则g=乃=―3—

③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小.

（2）①由“图线可知，单摆的周期r=2.0s

'Le4炉

②由7=2;7-得公

OO

4兀2

即图线的斜率左=—=4,04

g

解得g29.76m/s2

答案（1）①adf②4%1③偏小

(2)©2.0②9.76

［课时作业］

题组一单摆及其回复力

1.单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（）

A.摆线质量不计

B.摆线长度不可伸缩

C.摆球的直径比摆线长度短得多

D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动

2.关于单摆，下列说法中正确的是（）

A.摆球运动的回复力是它受到的合力

B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的

C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置

D.摆球经过平衡位置时，加速度为零

3.关于单摆的运动有下列说法，正确的是（）

①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力

②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力

③单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关

④单摆做简谐运动的条件是摆角很小，如小于5。

⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快

A.①③④B.②③④C.③④⑤D.①④⑤

题组二单摆的周期公式

4.发生下列哪一种情况时，单摆周期会增大（）

A.增大摆球质量B.缩短摆长

C.减小单摆振幅D.将单摆由山下移至山顶

5.甲、乙两个单摆的摆长相等，将两单摆的摆球由平衡位置拉起，使摆角8甲＜6乙＜5。，由静止开始同时释

放，贝义）

A.甲先摆到平衡位置

B.乙先摆到平衡位置

C.甲、乙两摆同时到达平衡位置

D.无法判断

6.已知在单摆“完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两单摆摆长之差为1.6m,则两单

摆摆长心与及分别为（）

A.La=2.5m,Lb=0.9m

B.La=0.9m,4=2.5m

C.£“=2.4m,£/)=4.0m

D.£.=4.0m,£%=2.4m

7.如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()'W"

A.甲、乙两单摆的摆长相等］代

B.甲单摆的振幅比乙的大°Z/S

C.甲单摆的机械能比乙的大

D.在r=0.5s时有正向最大加速度的是乙单摆

8.图甲是一个单摆振动的情形，。是它的平衡位置，8、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动

为正方向，图乙是这个单摆的振动图象，根据图象回答：

(1)单摆振动的频率是多大？

(2)开始时刻摆球在何位置？

(3)若当地的重力加速度为10m/s2,试求这个摆的摆长是多少？“cm

A4--------

(结果保留两位有效数字)小/\

任20.4V).60.8/1.0f/s

oc

甲

题组三用单摆测定重力加速度

9.在用单摆测定重力加速度时，某同学用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加

速度总是偏大，其原因可能是()

A.测定周期时，振动次数少数了一次

B.测定周期时，振动次数多数了一次

C.摆球的质量过大

D.计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上小球的半径

10.某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，，，

他仍将从悬点到球心的距离当作摆长/,通过改变摆线的长度，测得6组/和对应的周/厂一一，

期T,画出/门图线，然后在图线上选取力、8两个点，坐标如图所示.他采用恰当的

数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g=.请你判断该同学得到的乙-/：

实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将.(填“偏大”“偏小”或。叮疗7%

“相同”)

11.根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固

定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数如图乙所示，读数为mm.

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有.

a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5。，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计

时，此时间间隔M即为单摆周期T

e.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5。，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记

下摆球做50次全振动所用的时间加，则单摆周期T4

12.在探究单摆的振动周期7和摆长乙的关系实验中，某同学在细线的一端扎上一个匀质圆柱体制成一个

单摆.

(1)如左图所示，该同学把单摆挂在力传感器的挂购上，使小球偏离平衡位置一小段距离后释放，电脑中记

录拉力随时间变化的图象如右图所示.在图中读出N个峰值之间的时间间隔为f,则重物的周期为.

(2)该同学改变摆长，多次测量，完成操作后得到了如表中所列实验数据.请在图坐标系中画出相应图线.

摆长£/cm总时间t/s全振动次数〃周期77s

99.4060.0302.00

63.6148.0301.60

48.7042.0301.40

24.8530.0301.00

15.9024.0300.80

8.9518.0300.60

3.9812.0300.40

77s

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