中考压轴题圆含答案解析

中考压轴题(一)与圆有关压轴题

1.如图，在口”中，48所对的圆心角为120,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系.

(1)求圆心M的坐标；

(2)求经过AB,C三点的抛物线的解析式;

(3)点。是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACB。的最大面积;

(4)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使△PAB和XABC相似？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

［解］(1)如图(1),连结MA,MB.

则NAMB=120"，4CMB=60°,NOBM=30".

:,OM=-MB=\,.,."(0,1).

2

(2)由AB,C三点的特殊性与对称性，

知经过4B,C三点的抛物线的解析式为y=ar2+c.

■.■OC=MC-MO=},OB=^MB2-OM2=75,

.-.c（o,-i）,B（MO）.

图1

（3）;S四边形4cB£）=%ABC+SAAB。,又S^ABC与均为正值，

.•.当△AB。边AB上的高最大时，S&ABD最大，此时点。为口M与y轴的交点，如图1.

'''S四边形"Bo=S^ABC+S&ABD=/AB。。。+—AB'OD=—AB*CD-4百cm~•

(4)方法1：如图2,•••△A8C为等腰三角形,

..△ABCS^PAB等价于ZR48=30。，PB=AB=28PA=&B=6.

设尸（x，y）且x＞（）,则*=尸4＜侬30°-4。=3百-百=28，y=PA-sin300=3.

又♦./（2代3）的坐标满足.•.在抛物线y=—1上，存在点尸（2月,3）,使△ABCS/\PAB.

33

由抛物线的对称性，知点(-233)也符合题意..•.存在点P,它的坐标为(2百3)或(-2&3).

方法2：

如图(3),当时，ZPAB=ZBAC=30,又由(1)知NM4B=30,

二点P在直线AM上.

设直线AM的解析式为y=kx+b,

,显

将A(-y/3,0),M(ai)代入，解得，“=芋’.•.直线AM的解析式为

6=1.

6,

y=—x+L

解方程组3得尸(233).

y=-x2-1

I3

又vtanZPBx=—=^~产=6,ZPBx=60°..•.々=30°

2V3-V3

:.^ABC^/\PAB.

.•.在抛物线y=gf_i上，存在点尸(2石3),使△ABCSAQAB.

由抛物线的对称性，知点(-2代3)也符合题意..•.存在点P,它的坐标为(233)或(-263).

方法3：

如图3,•••△ABC为等腰三角形，且丝=6,设P(x,y)则图3

△4BCs△P4B等价于尸B=AB=2G，PA=y/3AB=6.

当x>0时，得<扬+'「=2"解得P(2再3).

+y~=6.

又尸(2右3)的坐标满足y=gx2-i,...在抛物线、=^x2_］上，存在点/2人3),使

由抛物线的对称性，知点(-2看3)也符合题意..•.存在点尸，它的坐标为(26)3)或(-233).

［点评］本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这

类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三南形的问题，很有可能

会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

2.(06湖南湘潭卷)已知：如图，抛物线y=—弓犬2一孚百的图象与％轴分别交于4B两点,与)，轴交于C

点，□时经过原点。及点4C,点。是劣弧。A上一动点(。点与A,。不重合).

(1)求抛物线的顶点E的坐标;

(2)求口朋的面积；

(3)连CO交AO于点尸，延长C。至G,使FG=2,试探究当点。运动到何处时，直线GA与口M相切，并请

说明理由.

［解］(1)抛物线丁=一3/一2叵1+6

33

—乌八2川"+等

(2)连AC；•.•□M过AO,C,/40。=90。；.4。为口0的直径.

L

2

而|。4|=3,0C=v3/.r=-^―=V3SM=nr-3K

(3)当点。运动到。4的中点时，直线GA与口“相切

理由：在RtA4CO中，|OA|=3,0c=5:tanNACO=2=G

ZACO=60°,ZCAO=30°•.•点。是04的中点AD=DO

ZACG=ZDCO=30°OF=OCQan30°=1,/CFO=60°

在△G4F中，AF=2,FG=2/4/6=/。/0=60°；.2\46/为等边三角形，/&4/=60°

ZC4G=ZGAF+ZCAO=90°又AC为直径，.•.当。为04的中点时，GA为口例的切线

［点评］本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己

作图来确定D点的位置。

3.(06湖南永州卷)如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AO交小圆于V,N两点，大圆的弦AB切小圆

于点C,过点C作直线CEJ_AD,垂足为E,交大圆于RH两点.

(1)试判断线段AC与3c的大小关系，并说明理由.

(2)求证：FCUCH=AED4。.

(3)若FC,C”是方程V—26x+4=0的两根(C”>CF),求图中阴影部分图形的周长.

[解](1)相等.

连结OC,则C0_LA3,故AC=5C.

(2)由△ACHsAFCB,wACXCB=FC[JJH=AC2,

又由△ACES/\AOC,得AC2=AEQ4O.FC[CH=AED4O.

(3)解方程得：CH=y[5+\,CF=y/5-l,C£=6—(6-1)=1,A(72=4AC=2,

CF1

在RtZ\ACE中，sinA=——=一，，NA=30°,NAOC=60°,NCON=120。.

AC2

在△AC。中，C0=ACtanA=2x且=2若,

33

AC_473AM=AO-OM=^-^=^,

sin60°-丁333

弧CN长=1乂2兀［^=迪兀，A7V=AM+2OC=^+2x—=2x/3,

33933

阴影部分周长=AC+AN+CN=2+26+竽兀.

［点评］本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。

4.(06辽宁卷)如图，已知A(-l,0),E(0，-券)，以点A为圆心，以A。长为半径的圆交x轴于另一点8,过点8作

5尸〃AE交UA于点F,直线正交x轴于点C.

(1)求证：直线尸C是口4的切线；

(2)求点C的坐标及直线尸C的解析式；

(3)有一个半径与口A的半径相等，且圆心在x轴上运动的口P.若口P与直线FC相交于M,N两点，是否存在这样

的点P,使是直角三角形.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

［解］(1)证明：连结AF

-,-AE//BF：.Z1=Z3,Z4=Z2

又N3=N4.-.Z1=Z2

XAO=AF,AE=AE

.•.△AOE丝△AFE:.ZAFE=ZAOE=9Q

：.FC是口。的切线.

(2)方法①由(1)知EF=OE=^

AE.//DrACCEOC+lCEg72夜G

•：AE//BF,——=——------=—；=•,CE=—CO+—(1)

ABEF17222

彳

又­.•OE2+OC2=CE2,CE2=+CO2②

由①②解得。C=o(舍去)或OC=2,

(S'

•.,直线FC经过E0,-注,C(20)两点设FC的解析式：y=kx+h

k2)

2k+b=0k=—rr

.•.<友解得4直线尸c的解析式为

b=~—7542

［2b=--

I2

方法②：:CF切口A于点尸，ZAFC=ZEOC=90°

72

又NACF=NOCE,.•.△COEsACFA,—:.-^=—即CE=^2CO--

AFCF1G及2

2

(5Y

5LOE2+OC2=CE\CE2=—+CO2②

<2?

由①②解得CO=0(舍去)或CO=2「.C(20)(求尸。的解析式同上).

*注自4z7//or.ACCEOC+1CE.\/2A/2G

方法③•・・AE//BF——=——---------=—7=rCE=——C0+——(1)

ABEF17222

T

・・・〃。切口4于点尸，.•.N4bC=NCOE=90.•.NACE=NOCE,:./\COE^/\CFJ\

交

,OECO广②由①②解得：

2=C0-CE=42CO—CO=2(求FC的解析式同上).

~AF~~CF'CE+显2

2

(3)存在；

当点P在点。左侧时，若NMPN=90。,过点P作于点”，

乙MPN=90,PM=PN,PH=PMxcos45°=—

2

显

PHC'PcCP

•/AF1FC,:,PH//AF.:ACPHsMAF——=—,:.工:—

AFCA13

:.CP=—,:.PO=--2,p(2-—,0

222

V2

当点P在点C右侧户时，设NMP'N'=90°,过点P'作P'Q,用N'于点0,则P'Q=

2

P'Q=PH,可知P与P关于点C中心对称,

根据对称性得

o5(a历、

.•.OP'=OC+CP'=2+*/.P2+—,0

2I2)

存在这样的点P,使得△PMN为直角三角形,

［点评］本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这

是本题最容易失分的地方

5.(06辽宁沈阳卷)如图，在平面直角坐标系中，直线y=—号*+1分别与x轴，y轴交于点A,点8.

(1)以为一边在第一象限内作等边△ABC及AABC的外接圆口用(用尺规作图，不要求写作法，但要保留作

图痕迹)；

(2)若口〃与x轴的另一个交点为点。，求A,B,C,。四点的坐标；

(3)求经过A,B,。三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P,使的面积等于△AOC的

面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

［解］(1)如图，正确作出图形，保留作图痕迹

(2)由直线y=—苧*+1,求得点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,1)

.,.在RtZ\40B中，0A=6,OB=l

QA

"3=2,tanZOBA=—=V3

OB

:.ZOBA^60°

ZOAB=90°—NOBA=30°

•/△ABC是等边三角形C4=AB=2,ZCAB=6Q°

：.ZCAD=ZCAB+ZOAB=90°.•.点C的坐标为(g,2),连结BM

•.•△ABC是等边三角形/MBA=-ZABC=30°/.NOBM=/OBA+/MBA=90°

2

:.OB±BM直线。B是口M的切线；.OB1=ODUOAI2=00rg/.OD=^点。的坐标为［#,())

(3)设经过A,B,。三点的抛物线的解析式是y=ax—理—

4L

把8(0,1)代入上式得a=\：.抛物线的解析式是y=x2--V3x+l

存在点P,使△AOP的面积等于△AOC的面积

点P的坐标分别为片2百,®2,P2友手包,2).

［点评］本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较

常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

6.已知：抛物线A/:y=/+(加一1)%+(加-2)与x轴相交于A。,。)，^(马,。)两点，且%〈赴-

(I)若王々<0,且根为正整数，求抛物线M的解析式；(II)若％<1,々>1,求机的取值范围;

(III)试判断是否存在加，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点。(0,2),若存在，求出机的值；若不存在，试说

明理由;

(W)若直线/:y=Ax+Z?过点/(0,7),与(I)中的抛物线M相交于P,Q两点，且使卷=:，求直线/的解析

式.

［解］(I)解法一：由题意得，=m-2<0.解得，m<2.・.,6为正整数，=1y=%2-1.

解法二：由题意知，当x=0时，y=02+(m-l)x0+(m-2)<0.以下同解法一)

-(/n-l)±(m-3)

解法三：,/△=(m-1)2-4(m-2)=(m-3)2,:.x=，，玉=-1,x=2-m.

22

又=2—相>0.<2.(以下同解法一.)

解法四：令y=0,即d+（加一1）%+（加-2）=0,.（以下同解法三.）

/.=-Lx2=2-m

(II)解法一：

・

・.,X1VL,%2>1,•.人/.(X,-1)(%2-l)<0,

即X1%2—(Xj+X2)+l<0.

vXj+%2=—(m—1),x]x2=m—2

(m-2)+(m-l)4-l<0.解得加<17.相的取值范围是m<1.

解法二：由题意知，当x=l时，

y=l+(m-l)+(m-2)<0.解得：机<1.的取值范围是机<1.

解法三：由（I）的解法三、四知，X=-1,x2=2-m.

x1<1,x2>L/.2-/n>l,/.m<\,二机的取值范围是m<1.

（III）存在.

解法一：因为过AB两点的圆与），轴相切于点C（0,2）,所以A8两点在y轴的同侧，・・・不/>0・

由切割线定理知，OC2=OmB,即22=国同..小闻=4,

XyX^-4.二加一2=4./.m=6.

解法二：连接。'区o'c.圆心所在直线x=—2=—"!■=匕生，

2a22

设直线尤=匕”与x轴交于点。，圆心为。'，则O'O=OC=2,0'。=。。=旧叫.

22

2

,/AB=|x2—X||=—3)-|m-3|,BD—BD=-~~

在中，0'13+。片='0.即22+(生J)=号3.解得m=6.

（IV）设P&,%）,Q（w，%），则％=片一1，%=¥-L

过RQ分别向x轴引垂线，垂足分别为4a,0）,Q（w，0）・

则明〃FO〃QQ「

所以由平行线分线段成比例定理知，型=竺.

OQiFQ

0-x,1

因此,

-

X2-02,

过RQ分别向y轴引垂线，垂足分别为鸟(。乂)，。2(。%)，

则做〃QQ”所以△理.•.卷=芳.

2

,7->',_1.1.21-2(%,-1)=%2_1.

.­.21-2^=y.x；=4,;.%=2,或%=-2.

「必-72223-2X：=4X；—L

'7=kxQ+b,“四仿=7,

当方=2时，点尸(Z3).•.•直线/过尸(Z3),"0,7),<解得《

3=kx2+b.[%=—2.

当％=—2时，点尸(-23).・・•直线/过P(—2,3>尸(0,7),

7=2x0+6b=7,

解得1故所求直线/的解析式为:y=2x+7,或y=-2x+7.

3=%x(-2)+b.k=2.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点仇―2夜,0),A(/H,0)(-V2<m<0),以A8为边在x轴下方作正方形ABC。，

点E是线段OD与正方形A8CO的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F.

(1)求证：BF=DO；

(2)设直线/是△8DO的边B。的垂直平分线，且与BE相交于点G.若G是△3D。的外心，试求经过区F,O

三点的抛物线的解析表达式；

(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线3E的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样

的点的坐标；若不存在，请说明理由.

［解］(1)在△A5F和△ADO中，

•.•四边形ABCO是正方形，.•.A8=A。，ZBAF=ZDAO=90°.

又/ABF=ZADO,:.^ABFg△AOO,

BF=DO.

(2)由(1),有△ABF且△ADO,->•AO=AF=m..•.点

F(m,in).

・.・G是△BOO的外心，，点G在。。的垂直平分线上..・•点B也

在的垂直平分线上..,.△080为等腰三角形，BO=BD=y/2AB.

而忸0|=2s/2,\AB\=|-2>/2—司=2及+初，20=血(20+他)，.•.m=2—2&.

.-.F(2-2A/2,2-272).

设经过BF,。三点的抛物线的解析表达式为丁=以2+灰+4。。0).

•.•抛物线过点0(0,0),.;.y=℃2+6x................①

把点4-2夜,0）,点尸（2-262-2⑹的坐标代入①中，得

0=12闾1+12闾41

-20a+b-0,ci=一,

即<//—\解得,2

2-2拒=(2-2可4+(2一2夜,2-2衣=

b=>/2.

.•・抛物线的解析表达式为y=（无2+心.............②

（3）假定在抛物线上存在一点P,使点P关于直线BE的对称点P'在x轴上.「BE是NQB。的平分线,

二x轴上的点P'关于直线BE的对称点P必在直线5。上，即点尸是抛物线与直线BD的交点.

设直线3。的解析表达式为丁=依+匕，并设直线80与y轴交于点。，则由△BOQ是等腰直角三角形.

:.\OQ\^\OB\..-.2(0,-2V2).

把点8卜2a,0),点。倒,一2夜)代入丁=依+匕中，得

0=-2y[2k+b,[k=-1,

V「.<

-2-^2=b.p=-2s/2.

：.直线BD的解析表达式为y=-x-2V2.

设点尸(%j,%),则有%=-毛_2夜....................③

把③代入②，得;片+近/=-x0-2V2,

—XQ++1)/+2>/2=0,即XQ+2^5/2+l)x0+4\/2=0.

.*.(xo+2V2)(xo+2)=O.解得/=一2血或%=一2.

当面=_2夜时，y=—豌）一2血=2夜一28=0；当毛=-2时，yQ=—XQ—2\]2=2—2>/2.

・•・在抛物线上存在点[（—2夜,0）,巴卜2,2-20）,它们关于直线3E的对称点都在x轴上.

8.在平面直角坐标系X。），中，己知直线A经过点4-2,0）和点8（0,|6）,直线为的函数表达式为y=-*x+g石，

6与b相交于点0c是一个动圆，圆心C在直线/|上运动，设圆心C的横坐标是亿过点C作CMJ_x轴，垂

足是点M.

（1）填空：直线A的函数表达式是,交点P的坐标是,/FPB的度数是；

（2）当OC和直线/2相切时，请证明点尸到直线CM的距离等于。C的半径R,并写出R=3后-2时。的值.

（3）当。C和直线6不相离时，已知。C的半径R=3行-2,记四边形NMOB的面积为S（其中点N是直线CM与

6的交点）.S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在,请说明理由.

/O、

[解]⑴y=—x+-V3P(l,石)60°

图2

(第24题图甲)

(2)设。C和直线b相切时的一种情况如图甲所示，。是切点，连接C。，则COJ_PD

过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则RtACDP^RtAPGC(ZPCD=ZCPG=30°,CP=PC),所以PG=CD=R.

当点C在射线以上，0c和直线/2相切时，同理可证.取用=3后一2时，a=l+R=3行-1,或a=-(RT)=3-3万

(3)当。C和直线为不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：

①如图乙，当0WaW3后-1时，5=-[^+(-—«+—)]-«=--a2+43a,

23336

—丝・=3时，(满足aW3Vi-l),S有最大值.此时S最大值=—出k3百—9、

当“=——(或一尸).

V3V322百

2x(-)4x(------)

66

②当3-3后WaVO时，显然。C和直线/2相切即〃=3-3行时，S最大.此时

4值=?苧_1(3-3际+竽]"3如除

综合以上①和②，当”=3或。=3-3后时，存在S的最大值，其最大面积为坐

2

9.如图1,已知Rt^ABC中，NC4B=30°,3C=5.过点A作AE，AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.

(1)求PA的长；

(2)以点A为圆心，AP为半径作口4,试判断BE与口4是否相切，并说明理由；

(3)如图2,过点C作COLAE,垂足为O.以点A为圆心，「为半径作口4；以点C为圆心，R为半径作口。.若

「和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持口A和口C相切，且使。点在□A的内部，B点在口A的外部，求

，•和R的变化范围.

图1图2

［解］(1)•.•在RtZ\A8C中，NC4B=30°,BC=5,：.AC=2BC=10.

•.•AMB,:.AAPEsRCPB.:.PA:PC=AE:BC=3:1.PA:AC=3:4,FA=3xlO=15

42

(2)BE与口4相切.•.•在Rt^ABE中，AB=5y/3,AE=15,

AP15广

tanZABE=—=「==6.-.ZABE=60°.

AB573

又•••NPA8=30°,ZABE+ZPAB=90°,ZAPB=90°BE与□A相切.

(3)因为AO=5,AB=56所以r的变化范围为5<r<5g.

当DA与口。外切时，R+r=10,所以R的变化范围为10—5g<H<5：

当口A与口。内切时，/?-r=10,所以R的变化范围为15<H<10+56.

［点评］本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要

分类，试题中只说明了“□A和口。相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。

8,(06江苏宿迁课改卷)设边长为2”的正方形的中心A在直线/上，它的一组对边垂直于直线/,半径为r的。。的

圆心。在直线/上痔到，点A、。间距离为北

(1)如图①，当rVa时，根据d与。、/•之间关系，将。O与正方形的公共点个数填入下表:

d、“、r之间关系公共点的个数

d>a+r

d=a+r

a—r<d<a+r

d=a-r

d<a-r

所以，当r<“时，。。与正方形的公共点的个数可能有个;

(2)如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将。。与正方形的公共点个数填入下表:

d、a、r之间关系公共点的个数

d>a+r

d=a+r

d<a

所以，当r=a时，。。与正方形的公共点个数可能有________________个;

(3)如图③，当。。与正方形有5个公共点时，试说明r=3”；

4

图③

(4)就的情形，请你仿照''当……时，。。与正方形的公共点个数可能有

个”的形式，至少给出一个关于与正方形的公共点个数”的正确结论.

［解］⑴

d、a.r之间关系公花点的个数

d>a+r0

d=a+r1

a-r<d<a+r2

d—a—r1

d<a-r0

所以，当时，。。与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个;

(2)

d、“、/■之间关系公共点的个数

d>a+r0

d=a+r1

a^zd<a+r

2图②

d<a4

所以，当r=a时，与正方形的公共点个数可能有0、1、点4个;

(3)方法一：如图所示，连结OC则。£=OC=r,OF=EF-OE=2a-r.

方法二：如图，连结B。、OE、BE、DE.

•.•四边形BCMN为正方形

：.ZC=ZM=ZN=90°

.•.8。为。O的直径，NBED=9Q°

:.NBEN+/DEM=90°

；NBEN+NEBN=9Q"

：.NDEM=ZEBN

BNEM1

・・・ABNEs4EMD：.—=：.DM=-a

NEMD2

由OE是梯形BDMN的中位线得。E=L(BN+MD)=-a.

24

(4)①当aV-V3“时，。。与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个;

4

②当时，。。与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；

4

③当亿时，。。与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；

4

④当r=缶时，。。与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；

⑤当「＞缶时，。。与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个.

［点评］本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区

分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。

9.(06山东枣庄课改卷)半径为2.5的。O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC：CA=4:3,点P在

AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O

(1)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长;

(2)当点P运动A8到的中点时，求CQ的长；

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长.

(备用图)

［解］(1)当点P与点C关于AB对称时，CP±AB,设垂足为D.

VAB为。O的直径，ZACB=90°.

AB=5,AC:CA=4:3,BC=4,AC=3.

XVAC•BC=AB•CD

在RtAACB和RlAPCQ中，

ZACB=ZPCQ=90°,ZCAB=ZCPQ,

RtAACB^RtAPCQ

.ACBC“BO3PC4“32

PCCQAC35

(2)当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BELPC

于点E（如图）是弧AB的中点，...NPCB=45°,CE=8E=4^BC=20

2

又NCPB=NCAB,NCPB=tanNCAB=—

3

PE==当，而仄PC=PE+EC=当

414J2

由(1)得，CQ=§PC=L^-.

(3)点P在弧AB上运动时，恒有00=50。=4pg.

AC3

故PC最大时，CQ取到最大值.

20

当PC过圆心0,即PC取最大值5时，CQ最大值为7

［点评］本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想(在草稿上画画图)不难猜想出结论。

10.如图，点尸在y轴上，口尸交X轴于A8两点，连结BP并延长交口P于C,过点C的直线y=2x+%交X轴于。，

且口尸的半径为石，AB=4.

(1)求点B,P,C的坐标；

(2)求证：CO是口「的切线；

(3)若二次函数y=—f+(a+l)x+6的图象经过点B,求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函

数y=2x+。值的x的取值范围.

［解］(1)如图，连结C4'：OPLAB：.OB=OA=2

,：OP2+BO1=BP2：.OP2=5-4=1,OP=\

•••5。是口/1的直径，/68=90°(也可用勾股定理求得下面的结论)

•：CP=BP,OB=OA：.AC=2OP=2,8(2,0),P(0,l),C(—2⑵

(2)y=2x+Z?过C点...人=6y-2x+6

'：当y=0时，x=-3/.D(-3,0)

"：OB=AC=2,AD=OP=\

ACAD=ZPOB=90°/•△ZMC^/XPOB：.ZDCA=N4

,/ZACB+ZCBA^90°

，ZDCA+ZACB=90°(也可用勾股定理逆定理证明)

。。是口尸的切线

(3),.,y=f2+(a+l)x+6过3(2,0)点

•*.0—2"+(a+1)X2+6ci——2y——x+6

因为函数y=-f—x+6与y=2x+6的图象交点是(0,6)和点。(―3,0)(画图可得此结论)

所以满足条件的x的取值范围是x<-3或x>0

11.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画。O,P是。O上一动点，且P在第一象限内，过

点P作。O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。

(1)点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

(2)在。O上是否存在一点Q,使得以Q、0、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标;

若不存在，请说明理由。

［解］(1)线段AB长度的最小值为4

理由如下：连接0P

因为AB切。0于P,所以OPLAB

取AB的中点C,则A3=20。

当OC=QP时，0C最短，即AB最短，此时A5=4

图①

（2）设存在符合条件的点Q,

如图①，设四边形APOQ为平行四边形，

因为四边形APOQ为矩形又因为OP=OQ所以四边形APOQ为正方形

所以OQ=QANQOA=45°,

在RtaOQA中，根据OQ=2,NAOQ=45°,得Q点坐标为（、历，—友）。

如图②，设四边形APQO为平行四边形因为OQ〃PA,NAPO=9（）°,所以

ZPOq=9CP,又因为OP=OQ所以NPQO=45°,

因为PQ〃OA,所以PQ_Ly轴。设PQ_Ly轴于点H,

在RtaOHQ中，根据OQ=2,NHQO=45。，得Q点坐标为（一J2,行）

所以符合条件的点Q的坐标为（行,—行）或（一行,、历）。

12.如图①，在平面直角坐标系中，以坐标原点。为圆心的O。的半径为、历—1,直线/：y=—x—也与坐标轴分别

交于A、C两点，点8的坐标为（4,1）,OB与x轴相切于点仞。

（1）求点A的坐标及NC40的度数；

（2）以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线/绕点A顺时针匀速旋转。当。B第一次与

。。相切时，直线/也恰好与。B第一次相切。问：直线AC绕点4每秒旋转多少度？

（3）如图②，过A、。、C三点作。01,点E为劣弧A。上一点，连接EC、£4、EO,当点E在劣弧A0上运动

时（不与A、。两点重合），.的值是否发生变化?如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

13.（06广东深圳课改卷）（10分）如图10T,在平面直角坐标系wy中，点M在x轴的正半轴上，（DM交x轴于

A、B两点,交），轴于C、。两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2,0）,AE=8

（1）（3分）求点C的坐标.

（2）（3分）连结MG、BC,求证：MG//BC

OF

（3）（4分）如图10-2,过点。作。M的切线，交x轴于点P.动点F在。”的圆周上运动时，素的比值是否发生

变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

14.（06安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示,

AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将园盘从

A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

15.（07芜湖市）24.已知圆P的圆心在反比例函数y=&（左＞1）图象上，并与x轴相交于4、8两点.且始终与y轴相

x

切于定点C（0，1）.

（1）求经过A、B、C三