苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题17函数、一次函数、正比例函数压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)

专题17函数、一次函数、正比例函数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用表格表示变量间的关系】 1【考点二用关系式表示变量间的关系】 4【考点三用图象表示变量间的关系】 6【考点四动点问题的函数图象】 9【考点五根据一次函数的定义求参数】 12【考点六求一次函数自变量或函数值】 13【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】 15【考点八列一次函数解析式并求值】 16【过关检测】 19【典型例题】【考点一用表格表示变量间的关系】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）随通话时间t（分）的变化而变化，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：通话时间t（分）123456…电话费y（元）…(1)直接写出电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式；(2)若小明通话10分，则需付电话费多少元？(3)若小明某次通话后，需付电话费元，则小明通话多少分？【变式训练】1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：温度（℃）0102030声速（m/s）318324330336342348下列说法中错误的是（

）A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为时，5s内声音可以传播1740mD．温度每升高，声速增加6m/s2．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：）之间有如下关系：提出概念所用的时间x257101213141720学生对概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？(2)当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？(4)根据表格中的数据回答：当在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？【考点二用关系式表示变量间的关系】例题：（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形周长为，设腰长为，底边长为．(1)用含的式子表示；(2)若腰长是底边长的倍，求此三角形三边长．【变式训练】1．（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是．（不需要写自变量取值范围）

2．（2023春·山东泰安·六年级统考期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：碗的数量（个）234…高度…

(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是多少？(3)用（个）表示这摞碗的数量，用表示这摞碗的高度，请表示出与的关系式；(4)这摞碗的高度是否可以为，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由．【考点三用图象表示变量间的关系】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：

(1)图中自变量是______，因变量是______；(2)小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______；(3)爸爸驾车经过多久追上小明?．此时距离文华公园多远？【变式训练】1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（

）A．B．

C．D．

2．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：

(1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米；(2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？(3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？【考点四动点问题的函数图象】例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C． D．

【变式训练】1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从B点出发以的速度沿着边运动；另一动点Q同时从B点出发，以的速度沿着边向A点运动（），的面积为，则y关于x的函数图象是（）

A．

B．C．

D．

2．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）如图1，在长方形中，动点R从点C出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形的面积是．

【考点五根据一次函数的定义求参数】例题：（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）已知是关于的一次函数，则的值为．【变式训练】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若为一次函数，则．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数．(1)当m为何值时，y是x的一次函数？(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？【考点六求一次函数自变量或函数值】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．0【变式训练】1．（2023秋·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）已知直线经过，则的值为．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在函数的图象上，则代数式的值为．【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】例题：（2023春·甘肃庆阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数图象上，求．【变式训练】1．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当时，求y的值．2．（2023春·吉林松原·八年级统考期末）已知与成正比，当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)当时，求函数的值．【考点八列一次函数解析式并求值】例题：（2023·全国·八年级假期作业）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．【变式训练】1．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元）120160100(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式；(2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？2．（2023秋·全国·八年级专题练习）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式；(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·安徽亳州·八年级校联考阶段练习）若函数是正比例函数，则的值为（

）A．2 B． C． D．03．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤（为常数），其中一次函数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·广东深圳·七年级校联考期末）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象（

）

A．（3）（2）（4）（1）B．（2）（3）（1）（4）C．（2）（3）（4）（1）D．（3）（2）（1）（4）5．（2023春·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，四边形中，，，，，动点P从点A出发，在四边形的边上沿A→B→C→D→A的方向匀速运动，到点A停止，运动速度为每秒运动1个单位．设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示的面积y与x之间的变化关系的是（

）

A．

B．

C．D．

二、填空题6．（2023春·青海海东·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，则的值为．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）直线经过点，则的值为．8．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知是关于的一次函数，则.9．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）已知与成正比例，当时，，求y与x的函数关系式．10．（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图，在直角梯形中，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，图象如图所示，则梯形的面积是．

三、解答题11．（2023春·福建福州·八年级校考期末）若点在一次函数的图象上．(1)求代数式的值；(2)点在直线上吗？为什么？12．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，并且当时，(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当时，求y的值；(3)当时，求x的值．13．（2023春·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）20年月日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、程志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．七（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：气温t/℃0510152025声音在空气中的传播速度v/（m/s）331334337340343346(1)从表中数据可知，气温每升高℃，声音在空气中传播的速度就提高______m．(2)声音在空气中的传播速度（m）与气温（℃）的关系式可以表示为______；(3)某日的气温为℃，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？14．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：

(1)长为多少cm？(2)图乙中a为多少？(3)由需__________s，__________；(4)图甲的面积为多少？(5)图乙中b为多少s？15．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)图中自变量是______，因变量是______；(2)小明家到学校的路程是______米；(3)小明在书店停留了______分钟；(4)本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟；(5)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？16．（2023春·山东济宁·八年级校考阶段练习）定义：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”．(1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是___________（填选项）②以下是“族函数”的是___________（填选项）A．

B．C．

D．

E．F．(2)已知一次函数为常数，．①若该函数是“族函数”，求k的值．②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．

专题17函数、一次函数、正比例函数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用表格表示变量间的关系】 1【考点二用关系式表示变量间的关系】 4【考点三用图象表示变量间的关系】 6【考点四动点问题的函数图象】 9【考点五根据一次函数的定义求参数】 12【考点六求一次函数自变量或函数值】 13【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】 15【考点八列一次函数解析式并求值】 16【过关检测】 19【典型例题】【考点一用表格表示变量间的关系】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）随通话时间t（分）的变化而变化，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：通话时间t（分）123456…电话费y（元）…(1)直接写出电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式；(2)若小明通话10分，则需付电话费多少元？(3)若小明某次通话后，需付电话费元，则小明通话多少分？【答案】(1)(2)需付电话费元(3)小明通话32分【分析】（1）根据表格数据，通话时间t每增加1分钟，电话费y增加元，进而可得到关系式；（2）当时，求解y值即可；（3）当时，求解t值即可．【详解】（1）解：根据表格数据，通话时间t每增加1分钟，电话费y增加元，则电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式；（2）解：当时，，答：若小明通话10分，则需付电话费元；（3）解：当时，由得，答：小明通话32分．【点睛】本题考查用表格表示变量间的关系、求函数解析式、求自变量或函数值，理解题意，正确得到函数关系式是解答的关键．【变式训练】1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）：温度（℃）0102030声速（m/s）318324330336342348下列说法中错误的是（

）A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为时，5s内声音可以传播1740mD．温度每升高，声速增加6m/s【答案】C【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐项判定即可．【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A说法正确，不符合题意；∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，∴选项B说法正确，不符合题意；由列表可知，当空气温度为时，声速为，声音5s可以传播，∴选项C说法不正确，符合题意；∵，，，，，∴当温度每升高，声速增加，∴选项D说法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了自变量、因变量、函数的表示等知识点．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量．2．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：）之间有如下关系：提出概念所用的时间x257101213141720学生对概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？(2)当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是______；(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？(4)根据表格中的数据回答：当在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？【答案】(1)上表反映了提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系(2)，(3)当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强(4)当提出概念所用的时间在2分到13分时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间在13分到20分时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；（3）根据表格中时，y的值最大是，即可求解；（4）根据表格中的数据即可求解．【详解】（1）解：上表反映了提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系；（2）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是；当提出概念所用的时间是时，学生的接受能力是；故答案为：，；（3）解：当时，的值最大，是，所以当提出概念所用时间为13分时，学生的接受能力最强；（4）解：由表中数据可知：当提出概念所用的时间在2分到13分时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间在13分到20分时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．【点睛】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键．【考点二用关系式表示变量间的关系】例题：（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）等腰三角形周长为，设腰长为，底边长为．(1)用含的式子表示；(2)若腰长是底边长的倍，求此三角形三边长．【答案】(1)(2)此三角形三边的长分别为：，，【分析】（1）根据等腰三角形的周长为，设腰长为，底边长为即可得出、的关系式，用含的代数式表示出即可；（2）根据腰是底的倍可知，代入（1）中的关系式即可得出结论．【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，设腰长为，底边长为，，；（2）腰是底的倍，，由（1）知，，解得，，此三角形三边的长分别为：，，．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，函数关系式，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是．（不需要写自变量取值范围）

【答案】【分析】根据“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米”可以得出与的关系式．【详解】解：用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，，，与的关系式是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，正确列出关系式是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·六年级统考期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：碗的数量（个）234…高度…

(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是多少？(3)用（个）表示这摞碗的数量，用表示这摞碗的高度，请表示出与的关系式；(4)这摞碗的高度是否可以为，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由．【答案】(1)图表中反映了碗的数量与高度之间的关系，碗的数量是自变量，高度是因变量；(2)这摞碗的高度是(3)(4)这摞碗的高度可以为，此时这摞碗为12个【分析】（1）根据自变量和因变量的概念进行判断即可得到答案；（2）根据表格中两个变量的变化可知，每增加一个碗，高度增加，据此即可得到答案；（3）根据表格中两个变量的变化进行分析，即可得到关系式；（4）根据题意得到，求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知，图表中反映了碗的数量与高度之间的关系，碗的数量是自变量，高度是因变量；（2）解：由表格可知，个碗时高度为，每增加一个碗，高度增加，6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是；（3）解：由表格可知，1个碗的高度为，y与x的关系式为：；（4）解：由题意可知，，解得：，答：这摞碗的高度可以为，此时这摞碗为12个．【点睛】本题考查了变量与常量，函数的表示方法，理解相关概念，根据表格中变量的变化规律得出关系式是解题关键．【考点三用图象表示变量间的关系】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：

(1)图中自变量是______，因变量是______；(2)小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______；(3)爸爸驾车经过多久追上小明?．此时距离文华公园多远？【答案】(1)小明离家的时间，他们离家的路程(2)，(3)爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园．【分析】（1）根据图像进行判断，即可得出自变量与因变量；（2）根据图像中数据进行计算，即可得到时间、平均速度；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答．【详解】（1）解：解：由图像可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程．故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程（2）解：由图像可得，小明在书城逗留的时间为，小明从家出发到达文华公园的平均速度为：．故答案为：，；（3）解：由图像可得，小明从书城到公园的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为，爸爸驾车经过h追上小明，；即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园．【点睛】本题考查了函数的图像，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图像的意义．【变式训练】1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（

）A．B．

C．D．

【答案】C【分析】根据分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，故选：C．【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意．2．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：

(1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米；(2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？(3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？【答案】(1)40，10；(2)1；(3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米【分析】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可；（2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可；（3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可.【详解】（1）摩托车每小时走：（千米），自行车每小时走：（千米）．故答案为：40，10；（2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，，解得．所以摩托车出发后1小时，它们相遇；（3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米；①相遇前：，解得②相遇后：，解得：③摩托车到达终点后，，解得；综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米.【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键.【考点四动点问题的函数图象】例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为2cm/s，终点都是点．若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C． D．

【答案】A【分析】当时，；当时，，结合图形，即可求解．【详解】解：当时，如图，

∴，，∴，此时抛物线开口向上．当时，如图，

∴，，∵，四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，此时抛物线的开口向下．综上，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．【变式训练】1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从B点出发以的速度沿着边运动；另一动点Q同时从B点出发，以的速度沿着边向A点运动（），的面积为，则y关于x的函数图象是（）

A．

B．C．

D．

【答案】C【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在边上，而动点P可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论：①；②；③；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．【详解】解：由题意可得．①时，P点在边上，则的面积，解；故A选项错误；②时，P点在边上，则的面积，即，故B选项错误；③时，P点在边上，则的面积，解；故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）如图1，在长方形中，动点R从点C出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形的面积是．

【答案】20【分析】先根据函数图象得出，，再根据长方形的面积公式计算，即可．【详解】解：∵时，点R从C到达点D，∴，∵时，此时点R从D到达点A，且长方形的面积开始不变，∴，∴长方形的面积为．故答案为：20【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解题的关键是根据题意得出，．【考点五根据一次函数的定义求参数】例题：（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）已知是关于的一次函数，则的值为．【答案】【分析】根据一次函数的定义，形如的式子是一次函数解答．【详解】解：根据题意，，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数的解析式的形式的记忆，熟记一次函数解析式的形式，特别是对系数的限定是解本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若为一次函数，则．【答案】0【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍去），，故答案为：0．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数．(1)当m为何值时，y是x的一次函数？(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．【详解】（1）解：由题意得：，解得：；（2）解：由题意得：且，解得：．【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数．【考点六求一次函数自变量或函数值】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．【详解】解：把点代入得，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．【变式训练】1．（2023秋·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）已知直线经过，则的值为．【答案】8【分析】把代入直线可得，从而可得答案．【详解】解：∵直线经过，∴，∴即，故答案为：8【点睛】本题考查的是一次函数的性质，理解一次函数图象上点的坐标含义是解本题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在函数的图象上，则代数式的值为．【答案】5【分析】把点代入函数得到，再利用等式的基本性质变形即可得出结论．【详解】解：点代入函数的图象上，，，．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【考点七根据正比例函数的定义求函数的表达式】例题：（2023春·甘肃庆阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数图象上，求．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可；（2）将代入解析式，进行求解即可．【详解】（1）解：设，∵当时，，∴，∴，∴；（2）解：∵点在这个函数图象上，∴，∴．【点睛】本题考查正比例函数的定义，求一次函数的解析式，以及求自变量的值．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．【变式训练】1．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当时，求y的值．【答案】(1)(2)19【分析】（1）设（为常数，），把，代入求出即可；（2）把代入，即可求出答案．【详解】（1）解：与成正比例，设（为常数，），把，代入得：，解得：，即，与之间的函数关系式是；（2）当时，．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．2．（2023春·吉林松原·八年级统考期末）已知与成正比，当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)当时，求函数的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）设，将，代入求出k的值，即可解答；（2）将代入函数关系式求解即可．【详解】（1）设∵当时，∴，解得∴与之间的函数关系式为；（2）当时，．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，正确把握正比例函数的定义是解题的关键．【考点八列一次函数解析式并求值】例题：（2023·全国·八年级假期作业）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．【答案】(1)类：，类：(2)(3)类，理由见解析【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；（2）将两解析式联立求解即可；（3）分别将代入解析式求出y的值比较即可．【详解】（1）由题意可知，类：，类：（2）因为，解得所以当通话时间等于时，两类收费方式所缴话费相等；（3）当时，，因为，所以应该选择类缴费方式．【点睛】本题考查了列一次函数解析式并求值，正确列出两解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元）120160100(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式；(2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？【答案】(1)(2)安排方案有4种，见解析【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可；（2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为，则有，整理得，，∴y与x之间的函数表达式为；（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x，由题意，得，解这个不等式组，得，因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8．所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式；(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为(2)选择方案②更为优惠【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；（2）将分别代入、求出结果比较大小即可．【详解】（1）解：方案①：，方案②：，与x之间的关系式为，与x之间的关系式为；（2）当时，；.，选择方案②更为优惠．【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数的概念即可解答．【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意故选：D．【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．2．（2023秋·安徽亳州·八年级校联考阶段练习）若函数是正比例函数，则的值为（

）A．2 B． C． D．0【答案】A【分析】根据正比例函数的定义，即可解答．【详解】解：∵函数是正比例函数，∴，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如的是正比例函数．3．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤（为常数），其中一次函数的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：①是一次函数；②不是一次函数；③是一次函数；④不是一次函数；⑤（为常数），不一定是一次函数．综上可知一次函数的个数是2个．故选A．【点睛】本题考查识别一次函数．掌握形如（，且为常数）的函数叫一次函数是解题关键．4．（2023春·广东深圳·七年级校联考期末）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象（

）

A．（3）（2）（4）（1） B．（2）（3）（1）（4） C．（2）（3）（4）（1） D．（3）（2）（1）（4）【答案】A【分析】先根据容器的形状，判断对应的函数图象，从而可得答案．【详解】解：A、容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图（3），B、容器直径大，上升速度慢，故B应是图（2）；C、容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图（4）；D、先最快，后速度放慢，故D应是图（1）；故选：A．【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5．（2023春·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，四边形中，，，，，动点P从点A出发，在四边形的边上沿A→B→C→D→A的方向匀速运动，到点A停止，运动速度为每秒运动1个单位．设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示的面积y与x之间的变化关系的是（

）

A．

B．

C．D．

【答案】B【分析】分别计算P点在边上时，三角形的面积变化情况即可判断；【详解】由题意得：当P点在A→B时，即时，三角形的高为0，∴的面积为零；当P点在B→C时，即时，∵三角形的高逐渐增加，∴的面积逐渐增加；当P点在C→D时，即时，∵，∴三角形的高不变，∴的面积不变；当P点在D→A时，即时，∵三角形的高逐渐减小，∴的面积逐渐减小；只有B选项符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了图形上的动点问题，三角形的面积计算，分段讨论是解题关键．二、填空题6．（2023春·青海海东·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，则的值为．【答案】【分析】把点代入直线即可求解．【详解】解：把点代入直线，即故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）直线经过点，则的值为．【答案】2020【分析】把点代入解析式，得出，变形为，由此解答即可．【详解】解：∵直线经过点，∴，∴，∴．故答案为：2020．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标是解题的关键．8．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知是关于的一次函数，则.【答案】【分析】根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可．【详解】解：是关于的一次函数，且，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键．9．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）已知与成正比例，当时，，求y与x的函数关系式．【答案】【分析】根据正比例函数的定义，运用待定系数法求解．【详解】设则，解得∴，即；故答案为:．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，掌握正比例函数的定义是解题的关键．10．（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图，在直角梯形中，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，图象如图所示，则梯形的面积是．

【答案】26【分析】根据图象得出的长，以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可．【详解】解：根据图象得：，当点P运动到点C时，面积为16，∴，即，∴，由图象得：，∴．故答案为：26．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键．三、解答题11．（2023春·福建福州·八年级校考期末）若点在一次函数的图象上．(1)求代数式的值；(2)点在直线上吗？为什么？【答案】(1)2023(2)在，理由见解析【分析】（1）直接把点代入一次函数求出m、n的关系，代入代数式进行计算即可；（2）把代入直线，求出y的值即可．【详解】（1）∵点在一次函数的图象上，∴，∴，，，；（2）点在直线上．∵当时，，，，．∴点在直线上．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，并且当时，(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当时，求y的值；(3)当时，求x的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，再把、代入求得的值，然后将k代入化简整理即可得与的函数关系式；（2）把代入（1）中所得的函数解析式，求出的值即可；（3）把代入（1）中所得函数解析式，解方程可求得的值即可．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设，∵当时，，∴，解得：，∴，即，∴与的函数关系式为：．（2）解：当时，．（3）解：由可得：，解得：．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、正比例的定义、求函数值或自变量等知识点，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．13．（2023春·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）20年月日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、程志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．七（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：气温t/℃0510152025声音在空气中的传播速度v/（m/s）331334337340343346(1)从表中数据可知，气温每升高℃，声音在空气中传播的速度就提高______m．(2)声音在空气中的传播速度（m）与气温（℃）的关系式可以表示为______；(3)某日的气温为℃，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？【答案】(1)；(2)；(3)小乐与燃放烟花所在地大约相距m．【分析】（1）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；（2）利用（1）中的变化关系得出函数关系式；（3）当℃时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可；【详解】（1）解：由表中的数据得：气温每升高℃，声音在空气中的传播速度就提高m．∴气温每升高℃，声音在空气中传播的速度就提高m．故答案为：．（2）解：根据题意：当时，声音在空气中传播的速度为m，气温每升高℃，声音在空气中传播的速度就提高m．∴声音在空气中的传播速度与气温（℃）的关系式可以表示为故答案为：．（3）解：当℃时，m，m，答：小乐与燃放烟花所在地大约相距m．【点睛】