2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(3)(学生版+解析)67题

2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三）1．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．2．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．9 C．3或9 D．3．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．4．（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（

）A． B．C． D．5．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．6．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．8．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（

）A． B． C． D．10．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知，若，，，则（

）A． B．C． D．11．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）已知函数的定义域为R，且为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．013．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（

）A． B．3 C． D．14．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（

）A．45 B．46 C．90 D．9115．（安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题）数列的前项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（

）A．45 B．46 C．90 D．9116．（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．17．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）若锐角满足，数列的前项和为，则使得成立的的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（

）A． B．3 C． D．21．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．22．（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）已知，，，则（

）A． B． C． D．23．（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（

）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c24．（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．25．（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为（

）A． B． C． D．26．（河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题）已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）内，则该圆锥容器容积的最小值为（

）A． B．C． D．27．（多选题）（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（

）A． B．C． D．28．（多选题）（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（

）A．，，B．，，C．，，D．，，29．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（

）A．曲线的图象关于对称B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为30．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知函数，则下列选项中正确的是（

）A．函数的极小值点为B．C．若函数有4个零点，则D．若，则31．（多选题）（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）已知函数，则（

）A．至少有一个零点B．存在，使得有且仅有一个极值点C．点是曲线的对称中心D．当时，在上单调递减32．（多选题）（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（

）A．曲线关于原点对称B．曲线关于某条直线对称C．若曲线与直线（）无交点，则D．在曲线上取两点，，其中，，则33．（多选题）（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（

）A．B．是偶函数C．的图象关于点中心对称D．是的一个周期34．（多选题）（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A．开口向上的抛物线的方程为B．ABC．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积大于435．（多选题）（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（

）A．8 B． C．9 D．36．（多选题）（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．是的极大值点37．（多选题）（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切D．38．（多选题）（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一39．（多选题）（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点Px0,y0是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（

）A．双纽线的方程为B．C．双纽线上满足的点有2个D．的最大值为40．（多选题）（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点B．函数的图像与函数的图像没有公切线C．函数，则有极大值，且极大值点D．当时，恒成立41．（多选题）（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（

）A．的极大值为0B．点是曲线的对称中心C．直线与函数的图象相切D．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为42．（多选题）（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知曲线，点为曲线上任意一点，则（

）A．曲线的图象由两个圆构成B．的最大值为C．的取值范围为D．直线与曲线有且仅有3个交点43．（多选题）（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点D．数列是等差数列47．（多选题）（河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于，两点，当M运动时，下面说法正确的有（

）A．或B．记点，则点P在曲线C上C．直线l与两渐近线所围成的面积为定值D．记点，则点Q的轨迹为椭圆48．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有种不同的走法.

49．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种．（用数字作答）50．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则.51．（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）数列满足记则的最大值为.52．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知数列的前项和，当取最小值时，.53．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知，，且，则，的最小值为．54．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则.55．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为．56．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知是定义在R上的奇函数，，且对任意，均有，则．57．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为.58．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有种.59．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则．60．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）用个不同的元素组成个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作，且当时，．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为．61．（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．62．（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是.63．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知正实数满足，则的取值范围是．64．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为．65．（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)66．（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品件，乙产品件时，总成本为（单位：万元）.若甲产品的产量不超过5件，且甲、乙两种产品的产量之和不超过10件.则总成本C的最小值为万元.67．（河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题）在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为．2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三）1．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】A【解析】在长方体中，，则直线与的夹角等于直线与的夹角．长方体中，，，为正方形的中心点，则，又，所以是等边三角形，故直线与的夹角为．则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，．因为直线与所成的角为，，所以直线与的夹角为．在平面中，作，，使得．结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为，易知．设直线与的夹角为，则，故当时最小，而，故直线与的夹角的正弦值的最小值为.故选：A2．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（

）A．3 B．9 C．3或9 D．【答案】A【解析】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此．由知的图象关于直线对称，则①．由知的图象关于点对称，则②．②①得，令，则，结合可得或9．当时，代入①得，又，所以，此时，因为，故在上单调递增，符合题意；当时，代入①得，，又，所以，此时，因为，故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去．综上，的值为3．故选：A.3．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函数，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一个周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函数可得：所以，所以.故选：B.4．（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（

）A． B．C． D．设，则，同理：，由，，故，同理，则有，即，5．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正四棱锥的侧棱长为，连接与交于点，连接，则平面，因为，所以，因为，所以在中，，故选：C.6．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当x∈0,π时，则由题意可得在上有3个实数根，即可得，解得，即的取值范围是.故选：C.7．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以函数定义域为，，所以函数为偶函数，故，当时，，所以，因为，所以，所以在0,+∞单调递增，故即f'x所以在0,+∞单调递增，又，所以，所以.故选：A.8．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，连接，则，由余弦定理得，由上可知，轴垂直于，又平面，所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，因为平面，所以，因为的周期，所以，由勾股定理得，解得，由图知，的图象过点，且在递减区间内，所以，即，因为，点在递减区间内，所以.故选：C10．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知，若，，，则（

）A． B．C． D．11．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，画出在的图象，也画出的草图，函数与的图象有且仅有4个交点，则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.满足，解得．故选：C．12．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）已知函数的定义域为R，且为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】由于，所以，则，因此.令，则，故.由于为奇函数，故，即，故关于点1,0对称.由题，，故关于直线对称，因此当时，，故，因此.故选：D.13．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】因为函数为偶函数，则，即①，又因为函数为奇函数，则，即②，联立①②可得，所以．故选：D．14．（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（

）A．45 B．46 C．90 D．91【答案】B【解析】由题设可得，其中，故，且奇偶交错出现．若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，又，当时，，考虑时，调整为3，则对应的可增加，依次对诸（至少一个）调整为3后，即，从上述的调整过程可得，取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），当时，取遍了中的奇数，合计46个，故选：B．15．（安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学摸底大联考数学试题）数列的前项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（

）A．45 B．46 C．90 D．91【答案】B【解析】由累加法可得，其中，故，且an奇偶交错出现.（1）若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；（2）若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，又，当时，；考虑时，调整为3，则对应的可增加，依次对至少一个调整为3后，即，从上述的调整过程可得取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），当时，取遍了中的奇数，合计46个.故选：B．16．（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，又，为的角平分线，以为邻边的平行四边形为菱形，，由双曲线定义知：，，，在中，由余弦定理得：，双曲线的离心率.故选：D.17．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）若锐角满足，数列的前项和为，则使得成立的的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，且，即，且，则，可得，整理可得，解得或（舍去），则，，可得，则，且，可知数列是以首项，公比为的等比数列，则，可得，所以，则，整理可得，则，解得，所以的最大值为4.故选：C.18．根据递推公式分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，进而可得；19．利用裂项相消法求，代入解不等式即可.20．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】由是椭圆与双曲线的公共顶点，得，不妨设直线过椭圆的右焦点F1,0，设点，则直线的斜率分别为，，又因为，可得，设点，则直线的斜率分别为，又因为，所以，因为，所以，所以直线关于轴对称，所以直线轴，又因为直线过椭圆右焦点，所以，代入椭圆方程得，所以.故选：B21．（浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】取中点，设交于点，四边形为等腰梯形，分别为的中点，则有，，，面，所以面，当，有面，面，得，，则为二面角的平面角，当不平行时，二面角小于，由对称性可知当时，最大，作，，点为棱中点，则，设分别为和的中心，则，，又，解得，则棱台的高为，则有，所以，在中，由余弦定理得.故选：D.22．（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则有，，，可得，即，解得，所以.故选：D.23．（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（

）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】B【解析】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，比较与大小，先比较与大小，比较与大小，，，，即，，故选：B．24．（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角，则可得，，，，平面平面，又平面平面，平面，平面，又为的中点，为的中点，为的中点，则可得,,过作于点，连接，则，平面，又平面，又，，，,，在中，，又，，将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体，作出其轴截面，如图，则该轴截面中和为边长为1的等边三角形，该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径，由等面积法，则，即，则，因此该旋转体的内切球的表面积为.故选：B.25．（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，从这个点中任选2个，共有种选法，在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，所以八个部分中的点的个数分别为，从这27个点中任选2个，若这2个点在同一个部分，概率为所以这2个点不在同一个部分的概率为．故选：B.26．（河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题）已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）内，则该圆锥容器容积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小，作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点，则，又，则，所以圆锥的体积，因为，所以，又为定值，所以当，即时，圆锥的体积最小为，即圆锥容器容积的最小值为.故选：D.27．（多选题）（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设且，故故，故，由于，故，故，即，对于A，，满足，故A正确，对于B，，，故B错误，对于B，，，故C错误，对于D，，，故D正确，故选：AD28．（多选题）（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】BD【解析】由，可得，即，若，可得，符合题意，若，可得，不符合题意，若，可得，不符合题意，若，可得，不符合题意，综上所述，，可得，故只需判断四个选项中的是否为最大值即可．对于A，B，由题知，而，，所以．（点拨：函数为减函数，为减函数），对于A，；对于B，，故A错误，B正确．对于C，D，（将0.9转化为，方便构造函数）构造函数，则，因为，所以单调递减，因为，所以，即，所以．（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可），构造函数，则，因为，所以，令，则，当时，单调递减，因为，所以，即单调递减，又，所以，即，所以．综上，．对于C，；对于D，，故C错误，D正确．（提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断，即，构造函数，则，因为，所以单调递增，因为，所以，即，所以）故选：BD.29．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（

）A．曲线的图象关于对称B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】BD【解析】对于A项，把代入得，显然点不满足双纽线方程，所以曲线的图象不关于对称，故A项错误；对于B项，由可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故B项正确：对于C项，令解得或，即曲线经过，，，由题意可知，，令，得，令，得，因此曲线只能经过3个整点，，，故C项错误；对于D项，直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，所以，整理得，只有一个解，即，解得，故D项正确．故选：BD.30．（多选题）（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知函数，则下列选项中正确的是（

）A．函数的极小值点为B．C．若函数有4个零点，则D．若，则【答案】AC【解析】由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可得函数的图象，如图所示：对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；对于选项B：因为，且在内单调递增，所以，故B错误；对于选项C：令，可得，可知函数有4个零点，即与有4个交点，且的定义域为，且，可知为偶函数，且当时，原题意等价于当时，与有2个交点，由题意可知：，故C正确；对于选项D：设，则，可知在内单调递增，则，即，若，不妨设，则，且，且在内单调递增，则，所以，故D错误；故选：AC.31．（多选题）（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）已知函数，则（

）A．至少有一个零点B．存在，使得有且仅有一个极值点C．点是曲线的对称中心D．当时，在上单调递减【答案】ACD【解析】对A：由，当时，，故在上必有零点，即至少有一个零点，故A正确；对B：若存在，使得有且仅有一个极值点，则有唯一变号零点，由二次函数性质可知，二次函数在上不可能有唯一变号零点，故不存在，使得有且仅有一个极值点，故B错误；对C：，有，故点是曲线的对称中心，故C正确；对D：，当，，由，则，故在上单调递减，故D正确.故选：ACD.32．（多选题）（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（

）A．曲线关于原点对称B．曲线关于某条直线对称C．若曲线与直线（）无交点，则D．在曲线上取两点，，其中，，则【答案】AC【解析】由已知，即，化简可得动点的轨迹方程为，将代入曲线方程可得成立，所以曲线关于原点对称，A选项正确，做出曲线，易知该曲线可表示渐近线为及轴的双曲线，则对称轴过原点且倾斜角为或，而,则其对称轴为，又，所以曲线不是轴对称图形，B选项错误；联立直线与曲线方程，得无解，则或，即或，综上，C选项正确；联立曲线与单位圆，则，解得或，即曲线与单位圆交于，两点，且，所以当，分别与，重合时，，D选项错误；故选：AC.33．（多选题）（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（

）A．B．是偶函数C．的图象关于点中心对称D．是的一个周期【答案】ABC【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；对于B,令可得，所以，即可得对任意的x∈R满足，即是偶函数，所以B正确；对于C,令，则由可得，即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；对于D,由于是偶函数，所以满足，即，可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.故选：ABC34．（多选题）（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A．开口向上的抛物线的方程为B．ABC．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积大于4【答案】ABD【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象对称性，可得,故，即B正确；对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,由解得，由解得，,即得,则弦长为：，由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，代入得，，（）由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.故选：ABD.35．（多选题）（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（

）A．8 B． C．9 D．【答案】AB【解析】由正弦定理得，得，则，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以的周长为8或，故选：AB．36．（多选题）（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．是的极大值点【答案】BD【解析】对于A：函数的定义域为，但是，所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：因为，所以，则，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确.故选：BD37．（多选题）（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为：B．抛物线的准线方程为：C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切D．【答案】BC【解析】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确；对于C：当直线过焦点时，设为，则，故以为直径的圆的半径为，又F0,1，故以为直径的圆的圆心坐标为，圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确；对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立，整理得，，即，所以，所以，，所以，不能确定什么时候最小，则D错误.故选：BC38．（多选题）（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一【答案】ABD【解析】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对；对B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，所以，故B对；对C，在上单调递增，在上单调递减，由，y=fx的图象关于对称且，由A可得，故在上单调递增，在上单调递减，可知在单调递减，在单调递增，又的周期为4，所以在单调递增，所以在单调递减，在单调递减，又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，所以则的极大值点为，故C错；对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.故选：ABD.39．（多选题）（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点Px0,y0是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（

）A．双纽线的方程为B．C．双纽线上满足的点有2个D．的最大值为【答案】ABD【解析】由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，当时，则双纽线的方程为，化简可得，故A正确；由等面积法得，则，所以，故B正确；因为，，所以在线段的中垂线即上，令，得，解得，所以双曲线上满足的点有一个，故C错误；因为在线段的中点，所以，所以，由余弦定理得，即，，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.40．（多选题）（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点B．函数的图像与函数的图像没有公切线C．函数，则有极大值，且极大值点D．当时，恒成立【答案】ACD【解析】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，当时，令，则，由，得到，由，得到，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取最小值，即，所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；对于选项B，设与切于点，与切于点则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，令，则，易知在上恒小于0，当时，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又，，所以在上有使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，对于选项C，令，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，对于选项D，，则，当时，时，，所以，即，当且仅当时取等号，令，则在区间上恒成立，又，所以，当且仅当时取等号，又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.故选：ACD.41．（多选题）（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（

）A．的极大值为0B．点是曲线的对称中心C．直线与函数的图象相切D．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为【答案】ABC【解析】对于A，由，解得或，所以，则，当时，f'x<0；当或时，f'可知在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为f1=0对于B，因为，故B正确；对于C，设切点为，则，解得所以直线与函数的图象相切于，故C正确；对于D，由A选项知在上单调递增，在上单调递减，又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，由图可知，的取值范围为，故D错误．故选：ABC．42．（多选题）（2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试数学试题）已知曲线，点为曲线上任意一点，则（

）A．曲线的图象由两个圆构成B．的最大值为C．的取值范围为D．直线与曲线有且仅有3个交点【答案】AC【解析】对于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；对于B中，由表示点到原点距离的平方，最大值为，所以B错误；对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为，点到直线的距离，则直线与圆相切，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，又由表示的是点到点的斜率，故的取值范围为，所以C正确；对于D中，由C项可知直线与圆均相切，所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误．故选：AC．43．（多选题）（安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（

）A．原点在曲线的内部B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形C．若，则的最大值为D．若，则存在点，使得【答案】BCD【解析】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误，对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称，代，得，得，所以曲线关于轴对称，以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，对于C，当时，由，得，解得，所以，所以，所以的最大值为，所以C正确，对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以，所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确，故选：BCD44．（多选题）（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，则（

）A．存在四个点，使得B．若点不在轴上，直线的斜率是直线的斜率的倍，则点的横坐标为C．存在点，使得D．的最小值为14【答案】BC【解析】由椭圆，可得，所以，对于A：若，则在以为直径的圆上，因为，所以在椭圆上存在2个点，使得，故A错误；对于B：设，若存在点使直线的斜率是直线的斜率的-3倍，则，解得，又，所以存在这样的点，故B正确；对于C：设，，当时，，所以存在点，使得，故C正确；对于D：，当且仅当，即时取等号，又，则，故等号不成立，故D错误.故选：BC.45．（多选题）（江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷）已知函数．则下列结论正确的是（

）A．图像关于点中心对称B．图像关于直线对称C．的最大值为D．既是奇函数又是周期函数【答案】ABD【解析】A：因为，，所以，因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；B：因为，，所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；C：，设，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有极大值，极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；D：因为，所以是奇函数，因为，所以是周期函数，因此本选项结论正确，故选：ABD46．（多选题）（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）已知数列满足，且，记的前项和为，的前项和为，则下列说法中正确的是（）A．的通项公式为B．C．D．数列是等差数列【答案】ABD【解析】A选项，，则，所以为公比为2的等比数列，其中，故，则，A正确；B选项，，B正确；C选项，，当时，恒成立，故为递增数列，且，故恒成立，故，C错误；D选项，，故为常数列，为等差为0的等差数列，D正确.故选：ABD47．（多选题）（河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于，两点，当M运动时，下面说法正确的有（

）A．或B．记点，则点P在曲线C上C．直线l与两渐近线所围成的面积为定值D．记点，则点Q的轨迹为椭圆【答案】ABC【解析】对A，双曲线与直线有唯一公共点M，直线与双曲线的渐近线平行或者与双曲线相切，双曲线的渐近线方程为：，又，直线与双曲线相切，，即，则，即，，故或，故A对；对B，由A知：，即，即点P在曲线C上，故B对，对C，双曲线的渐近线方程为：，设直线与双曲线的渐近线的交点分别为，则由解得：，由解得：直线与轴的交点为，故直线l与两渐近线所围成的面积，由A知：，48．（湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题）清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有种不同的走法.

【答案】3514【解析】从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有种不同的走法，又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；1449．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种．（用数字作答）50．（湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则.【答案】【解析】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得，取的中点，连接，由，得，则，连接，由为的中点，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案为：51．（山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题）数列满足记则的最大值为.,当时取等号.故答案为：.52．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知数列的前项和，当取最小值时，.【答案】3【解析】因为，则当时，，又当时，，满足，故；则，又在单调递减，在单调递增；故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.故答案为：.53．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）已知，，且，则，的最小值为．54．（福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题）对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则.【答案】2【解析】令，得，则或（与矛盾舍去）.令，得，则，则，则，则.又因为，所以，则，从而.故答案为：255．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为．【答案】【解析】椭圆方程为，双曲线方程为，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点，，椭圆离心率，故答案为．56．（福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题）已知是定义在R上的奇函数，，且对任意，均有，则．【答案】【解析】令，则由题意知，又因是定义在R上的奇函数，则，所以，化简可得，则，所以，用累乘法得，当时，，所以也满足上式，则，所以，因为，所以上式可化为，由于，由二次项性质可得，则.故答案为：57．（安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷）倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为.【答案】/【解析】

设中点为，两渐近线可写成，设，则，且①-②可得，整理得，，即(*)，如图，在中，，则,故，即，将此式代入（*）得，解得依题意，，则.故答案为：.58．（安徽省六校教育研究