苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题10模型构建专题：“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一共顶点的等边三角形】 1【类型二共顶点的等腰直角三角形】 11【类型三共顶点的一般等腰三角形】 18【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有个．①；②；③；④；⑤若，则．

2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．

求证：(1)；(2)为等边三角形；3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）【初步感知】(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；【类比探究】(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①与的位置关系为：；②线段、、之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形和中，，点E在边上，与交于点F，连接．(1)求证：；(2)求证：．2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求：①的度数；②若，，则线段的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．

(1)试说明：；(2)求的度数．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．3．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）

（1）如图1，两个等腰三角形和△ADE中，，，，连接，．则_______________，此时线段和线段的数量关系式_____________________；（2）如图2，两个等腰直角三角形和△ADE中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和线段的关系，并说明理由；（3）如图3，分别以的两边，为边向外作等边和等边，连接，，两线交于点P．请直接写出线段和线段的数量关系及的度数．

专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一共顶点的等边三角形】 1【类型二共顶点的等腰直角三角形】 11【类型三共顶点的一般等腰三角形】 18【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有个．①；②；③；④；⑤若，则．

【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到，，，得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，故②正确，推出，故④正确；根据全等三角形的性质得到，得到是等边三角形，求得，根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据三角形的内角和得到．故⑤正确．【详解】解：、都是等边三角形，，，，，，，，，故③正确；在与中，，，，，，故②正确，在与中，，，故④正确；，是等边三角形，，，，故①正确；，，．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．

求证：(1)；(2)为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知，从而可求出，即可利用“”证明，即得出；（2）由等边三角形的性质可知，AC=BC，即可求证．再根据可得出，利用“”证明，据此即可证明结论成立．【详解】（1）证明：和都是等边三角形，，，，∴，，；（2）证明：和是等边三角形，，∴，∴．∴．∴∴．∴，又∵，∴为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3)当为180度时，线段的长度最大，最大值为；当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．【分析】（1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点在的延长线上时，最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，即可得出结论．【详解】（1）解：证明：点与重合，和，和都是等边三角形，，，由旋转知，，在和中，，，，（2）解：，证明：和都是等边三角形，，，由旋转知，，在和中，，，；（3）解：当点在的延长线上时，最大，最大值为，如图，

∴当为180度时，线段的长度最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，如图，

∴当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．4．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）【初步感知】(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；【类比探究】(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①与的位置关系为：；②线段、、之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

【答案】(1)见解析(2)平行(3)有最小值，5【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；（2）①由（1）得，得出，，，则；②因为，，所以；（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，∴，，，∵，∴即在和中，，∴；（2）平行，，理由如下：由（1）得，∴，，∴，∴，∵，，∴；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线上取一点，使得，连接，

∵和是等边三角形，∴，，∴，∴，由三角形内角和为，可知：，，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，即点E在的角平分线上运动，在射线上截取，连接，在和中，，，∴，则，由三角形三边关系可知，，即当点E与点C重合，时，有最小值，∵，∴，∴最小值为5．

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．【答案】(1)，(2)成立，理由见解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；（2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．【详解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，点在上，点在上，且，，故：，；（2）成立；如图2，与交于M，与交于N，

由题意可知：，，，在与中：，，，又，，在中，，，，所以结论成立；（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，综上，的长为或，故答案为:或．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形和中，，点E在边上，与交于点F，连接．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，可证明，即可求证；（2）根据，可得，从而得到，即可求证．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1），；（2），；理由见解析【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题；（2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O，∵和均为等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案为：，．（2），；理由如下：如图2中，∵和均为等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，为斜边上的高，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求：①的度数；②若，，则线段的长是多少？【答案】(1)成立，证明见解析(2)①45°

②【分析】（1）只需要利用证明即可证明；（2）①由等腰直角三角形的性质得到，再证明即可得到；②先由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，；则．【详解】（1）解：成立，证明如下：∵和△ADE都是等腰直角三角形，∴，由旋转的性质可得，∴，∴；（2）解：①∵和△ADE都是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，；∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．

(1)试说明：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“”可证，可得；（2）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理计算．【详解】（1）解：证明：，，在和中，，，；（2），，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵、是等边三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE与△DAC中，∵，∴．∴．（2）①当，时，成立．理由：如图，∵，，，

∴，∴；②当，时，不成立．理由：如图，∵，

∴，，∴与不全等，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的