2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.1.2数列中的递推课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE“课时素养评价”二数列中的递推(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.数列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的递推公式可以是 ()A.an=QUOTE(n∈N+)B.an=QUOTE(n∈N+)C.a1=QUOTE,an+1=QUOTEan(n∈N+)D.a1=QUOTE,an+1=2an(n∈N+)【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的QUOTE,故递推公式为a1=QUOTE,an+1=QUOTEan(n∈N+).2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5= ()A.-3 B.-11 C.-5 D.19【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.3.(多选题)假如{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 ()A.an=2n+3 B.an=-n2-3n+1C.an=QUOTE D.an=1+log2n【解析】选AD.A是n的一次函数,一次项系数为2,所以为递增数列;B是n的二次函数,二次项系数为-1,且对称轴为n=-QUOTE,所以为递减数列;C是n的指数函数,且底数为QUOTE,是递减数列;D是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.【加练·固】在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是 ()A.R B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]【解析】选C.因为{an}是递减数列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.4.已知数列{an},a1=1,lnan+1-lnan=1,则数列{an}的通项公式是 ()A.an=n B.an=QUOTEC.an=en-1 D.an=QUOTE【解析】选C.因为lnan+1-lnan=1,所以lnQUOTE=1.所以QUOTE=e.由累乘法可得an=en-1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{an}满意a1=1,an=nan-1(n≥2),则a5=________.

【解析】因为an=nan-1,且n≥2,所以当n=2时,a2=2a1=2;当n=3时,a3=3a2=6;当n=4时,a4=4a3=24;当n=5时,a5=5a4=120.故a5=120.答案:1206.数列{an}中,a1=1,对全部的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.

【解析】由题意a1a2a3=32,a1a2=22,a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,则a3=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE.故a3+a5=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)7.依据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=1,an+1=an+QUOTE(n∈N+).(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+).【解析】(1)a1=1,a2=QUOTE,a3=QUOTE=2,a4=QUOTE.猜想an=QUOTE.(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通项公式an.【解析】因为数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5.n=1时,4n-5=-1≠a1,所以{an}的通项公式an=QUOTE(n∈N+).(15分钟·30分)1.(5分)已知,在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2012= ()A.3 B.-3 C.6 D.-6【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,…故知{an}是周期为6的数列,所以a2012=a2=6.2.(5分)已知数列{an}满意an=QUOTE若对于随意的n∈N+都有an<an+1成立,则实数a的取值范围是 ()A.(1,4) B.(2,5) C.(1,6) D.(4,6)【解析】选A.因为对于随意的n∈N+都有an<an+1成立,所以数列{an}单调递增,所以应满意QUOTE解得1<a<4.故实数a的取值范围是(1,4).3.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满意Sn=n2+n(n∈N+),则S3=________,数列{an}的通项公式an=________.

【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.当n=1时,a1=S1=1+1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,得a1=2成立,所以an=2n.答案:122n4.(5分)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:(1)该数列有无限多个正数项.(2)该数列有无限多个负数项.(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值.(4)-70是该数列中的一项.其中正确说法的序号为________.

【解析】令-2n2+13n>0,得0<n<QUOTE,故数列{an}有6项是正数项,有无限个负数项,所以(1)错误,(2)正确;当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以(3)错误;令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-QUOTE(舍去).即-70是该数列的第10项,所以(4)正确.答案:(2)(4)5.(10分)已知数列{an}满意a1=QUOTE,n≥2时,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式.【解析】因为anan-1=an-1-an,所以QUOTE-QUOTE=1.所以n≥2时,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2+QUOTE=n+1.所以QUOTE=n+1,所以当n≥2时,an=QUOTE.当n=1时,a1=QUOTE也适合上式,所以an=QUOTE(n∈N+).1.(2024·辛集高二检测)已知an=QUOTE(n∈N+),则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是 ()A.a1,a50 B.a1,a44C.a45,a50 D.a44,a45【解析】选D.an=QUOTE=1+QUOTE,因为442=1936,452=2025,所以n≤44时,数列{an}单调递减,且0<an<1;n≥45时,数列{an}单调递减,且an>1.所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44,a45.2.设an=n2-2kn+6(n∈N+,k∈R)(1)证明:k≤1是{an}为递增数列的充分不必要条件;(2)若对随意的n∈N+,QUOTE≥1,求k的取值范围.【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2k