2024-2025学年新教材高中数学第5章三角函数5.6第2课时函数y＝Asinωx＋φ图象及性质的应用学案新人教A版必修第一册

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及性质的应用学习任务核心素养1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(重点)2．能够依据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式．(易错点)3．驾驭函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，能够利用性质解决相关问题．(重点)1．通过“五点法”作函数的图象，培育直观想象的素养．2．借助函数图象求解析式，培育直观想象及数学运算的素养.类型1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】已知函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈R.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(2)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？[解](1)列表：2x＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,12)eq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2π,3)eq\f(11π,12)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))0eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)0描点、连线，如图所示．(2)函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍，得到函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象．1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表．ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0其次步：在同一平面直角坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[解]f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表如下．2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)图象如图．类型2求三角函数的解析式【例2】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，求此函数的解析式．借助函数图象你能发觉哪些信息？参数A、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？[解]法一：(逐肯定参法)由图象知A＝3,T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函数图象上，∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(五点对应法)由图象知A＝3.∵图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(图象变换法)由A＝3，T＝π，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)个单位长度而得，∴y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))，即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐肯定参法：假如从图象可干脆确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要留意正确推断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z.(2)五点对应法：将若干特别点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里须要留意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再依据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．(1)A[由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq\f(1,2)，又因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上．所以6＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，所以eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.](2)[解]由最低点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为eq\f(π,2)，故eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).类型3函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．[解]∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.又0≤φ<π，∴φ＝eq\f(π,2).由f(x)的图象关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))对称，可知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，解得ω＝eq\f(4,3)k－eq\f(2,3)，k∈Z.又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数，∴T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π，∴0<ω≤2，∴当k＝1时，ω＝eq\f(2,3)；当k＝2时，ω＝2.综上，φ＝eq\f(π,2)，ω＝eq\f(2,3)或2.将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点Meq\f(3π,4)，0对称，且在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调函数”改为“在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))上为增函数”，试求ω的最大值．[解]因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.因为f(x)＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))上是增函数．所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＞0，,－\f(3π,2)≥－\f(π,2ω),\f(π,2)≤\f(π,2ω)，))，解得0＜ω≤eq\f(1,3)，所以ω的最大值为eq\f(1,3).探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)熟记正弦函数y＝sinx的图象与基本性质．(3)充分利用整体代换思想解决问题．(4)熟记有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．(多选)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，以下命题中为真命题的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,12)对称B．x＝－eq\f(π,6)是函数f(x)的一个零点C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得到D．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函数ABD[令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq\f(π,12)，即函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,12)对称，选项A正确；令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋eq\f(π,3)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到，选项C错误；若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，则2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函数，选项D正确．故选ABD.]1．已知函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于()A．1 B．2C．4 D．8B[函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A>0)的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.∵函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，∴eq\r(A2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))2)＝eq\f(5,2)，∴A＝2，故选B.]2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，假如A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，则()A．A＝4 B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝4C[由图象可知，A＝2，B＝2，eq\f(1,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，T＝π，ω＝2.因为2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，故选C.]3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；(3)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增”的一个函数是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C[由(1)知T＝π＝eq\f(2π,ω)，ω＝2，解除A.由(2)(3)知x＝eq\f(π,3)时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]4．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一个周期内的简图时，列表如下：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq