《20.4一次函数的应用》学习任务单

《20.4一次函数的应用》学习任务单##一、学习目标1、能理解一次函数在实际问题中的意义，会根据实际问题列出一次函数关系式。2、掌握利用一次函数解决实际问题的步骤，包括确定自变量的取值范围等。3、通过实际问题的解决，提高分析问题和解决问题的能力，感受数学与生活的紧密联系。##二、学习内容分解1、**一次函数与实际情境的联系**-理解实际问题中的变量关系，例如行程问题中的路程、速度和时间，销售问题中的售价、成本和利润等，这些变量之间可能存在一次函数关系。-学会从实际问题的描述中找出关键信息，确定自变量和因变量。2、**列出一次函数关系式**-根据实际问题中的数量关系，设出合适的自变量和因变量，然后利用已知条件列出一次函数的表达式，一般形式为y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。-例如在行程问题中，如果速度是常数，路程y与时间x的关系可能是y=vx（这里的v就是速度，相当于一次函数中的k）。3、**确定自变量的取值范围**-考虑实际问题中的限制条件，确定自变量的取值范围。比如在销售问题中，销售量不能是负数；在工程问题中，工作时间不能超过总工期等。4、**利用一次函数解决实际问题**-包括求解最值问题，如利润最大时的销售量；比较不同方案的优劣，如不同租车方案的费用比较等。##三、学习步骤###（一）导入1、老师先给大家讲个小故事：小明去商店买笔，一支笔的成本是2元，商店想赚点钱，打算在成本的基础上加价出售。如果每支笔的售价是y元，加价的金额是x元，那么售价和加价金额之间有什么关系呢？让同学们思考并回答，引出一次函数在实际生活中的应用这个话题。2、展示一些生活中可能涉及一次函数关系的图片，如出租车计价器（路程和费用的关系）、水电费账单（用量和费用的关系）等，简单介绍这些现象背后可能存在的一次函数关系。###（二）知识讲解1、实际问题中的变量关系-老师再举几个不同类型的实际问题例子，如行程问题：一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，行驶的路程y（千米）与行驶时间x（小时）的关系；销售问题：某商品进价为50元，售价为y元，每个商品的利润为x元，售价和利润的关系等。-让同学们分组讨论这些问题中的变量关系，每组选一个代表发言，说说他们找到的自变量和因变量分别是什么。2、列出一次函数关系式-针对同学们的回答，老师进行总结和补充，然后详细讲解如何根据这些变量关系列出一次函数关系式。-例如对于汽车行驶的例子，根据路程=速度×时间，可列出关系式y=60x；对于商品销售的例子，售价=进价+利润，可列出关系式y=50+x。-给同学们一些类似的简单实际问题，让他们自己尝试列出一次函数关系式，然后同桌之间互相检查。3、确定自变量的取值范围-老师提出问题：在上面的汽车行驶问题中，时间x有没有限制呢？在销售问题中，利润x有没有范围呢？引导同学们思考。-讲解在实际问题中确定自变量取值范围的重要性，比如汽车行驶时间不能是负数，而且如果汽车总的行驶里程有限制，那么时间也会有上限；在销售问题中，利润不能是负数，否则就会亏本等。-给出一些实际问题，让同学们确定自变量的取值范围，然后小组交流讨论，看看不同小组的答案是否一致。4、利用一次函数解决实际问题-以一个利润最大化的销售问题为例：某商品的成本是30元，售价为y元，销售量为x件，销售量和售价之间的关系是x=100-2y，求利润最大时的售价。-先引导同学们分析利润的计算方法，利润=（售价-成本）×销售量，即利润P=(y-30)(100-2y)，然后将其展开并转化为二次函数的形式，再通过求二次函数的最值来解决问题。-讲解完这个例子后，再给同学们一些类似的实际问题，让他们分组进行解决，每个小组要写出详细的解题步骤，最后每组派一个代表上台讲解他们组的解题思路和答案。###（三）课堂练习1、给出一些实际问题，如：-某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租费30元，每分钟通话费0.3元；B种方式是没有月租费，每分钟通话费0.4元。设每月通话时间为x分钟，通话费用为y元。-（1）分别写出两种收费方式下y与x之间的函数关系式。-（2）当每月通话时间为多少分钟时，两种收费方式的费用相同？-（3）如果你是用户，你会选择哪种收费方式？2、某工厂生产一种产品，每件产品的成本是50元，工厂想通过降低成本来提高利润。如果每件产品的成本降低了x元，销售量为y件，销售量和成本降低金额之间的关系是y=200+10x，求成本降低多少元时利润最大？（利润=（售价-成本）×销售量，假设售价为100元）-让同学们独立完成这些练习题，在练习过程中，如果遇到问题可以举手向老师提问。###（四）课堂总结1、请同学们回顾这节课所学的内容，包括一次函数在实际问题中的应用步骤、如何确定自变量的取值范围等。2、让同学们分享在这节课中遇到的困难和解决方法，以及自己的收获。3、老师对同学们的总结进行补充和完善，强调重点知识和易错点。###（五）课后作业1、课本上相关章节的练习题，如：-某旅游公司组织游客去旅游，有两种旅游车可供选择，A种车可坐40人，租金为800元；B种车可坐50人，租金为900元。设游客人数为x人，租车费用为y元。-（1）分别写出租用A种车和B种车时y与x之间的函数关系式。-（2）如果游客人数为200人，怎样租车最省钱？2、拓展作业：自己寻找一个生活中的实际问题，并用一次函数的知识来解决它，写一篇小短文描述问题、解决过程和结果。##四、学习资源1、教材：沪教版（上海）八年级第二学期数学教材。2、网络资源：可以在一些教育网站上搜索关于一次函数应用的教学视频、动画等，如哔哩哔哩网站上有很多数学教学资源，可以帮助同学们更好地理解一次函数在实际问题中的应用。##五、习题答案1、对于电信公司收费问题：-（1）A种方式：y=0.3x+30；B种方式：y=0.4x。-（2）令0.3x+30=0.4x，解得x=300，即当每月通话时间为300分钟时，两种收费方式的费用相同。-（3）当x<300时，B种方式费用低；当x=300时，两种方式费用一样；当x>300时，A种方式费用低。2、对于工厂成本利润问题：-利润P=(100-(50-x))(200+10x)=(50+x)(200+10x)=10000+500x+200x+10x²=10x²+700x+10000。-对于二次函数y=10x²+700x+10000，其对称轴为x=-\frac{700}{2\times10}=-35，因为二次项系数10>0，所以当x=-35时利润最大，但成本降低金额不能是负数，所以当成本降低35元时利润最大。3、对于旅游公司租车问题：-（1）租用A种车：当x\leqslant40n（n为正整数）时，y=800n，且n=\lceil\frac{x}{40}\rceil（向上取整）；租用B种车：当x\