安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（附答案）

安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“TheGreatWallistheprideoftheChinesenation”，在这句英文中，字母“i”出现的频率是（）A． B． C． D．2．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：心率/（次/分）6068707380人数/名25512这15名学生的心率的中位数是（）A．65次/分 B．67.5次/分 C．70次/分 D．72.5次/分3．已知，则的值为（）A． B． C．2024 D．20254．象棋是中国的传统棋种。在如图所示的象棋盘中，每个小正方形的边长均为1，“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（）A．5 B． C． D．5．下列运算正确的是（）A． B．C． D．6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．7．生活中，我们可以用肘、拃、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12拃，宽是5拃，则屏幕的对角线长大约是（）（如图，1拃≈20cm）A．100cm B．240cm C．260cm D．340cm8．某校举办了运动会，在200m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（）同学甲乙丙丁戊平均成绩方差时间/s3234363333A．30，4 B．30，2 C．32，4 D．32，29．如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，是对角线上的两点，且，若，则的长为（）A．5 B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．计算：______．12．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容，为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示，该班学生每天的平均睡眠时间是______h．睡眠时间/h8910人数/人6241013．在中，．若，则的面积为______．14．如图，在菱形中，．（1）菱形的面积为______．（2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程．（1）． （2）．16．计算．（1）． （2）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．（1）如图，在中，．求证：是“梦想三角形”．（2）在中，，若是“梦想三角形”，求的长；18．若关于的一元二次方程有实数根，且．（1）求的取值范围．（2）若，求的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛，某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型，已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件．（1）求11月、12月这两个月的月平均增长率．（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售，已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？20．观察下列等式．第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：．（1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．六、（本题满分12分）21．像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”。例如、与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．（1）化简：①______；②______．（2）计算：．（3）已知，试比较的大小，并说明理由．七、（本题满分12分）22．为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示：学生编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩八年级8979867a108九年级87978108779（1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______．（2）八年级学生成绩的中位数是多少？（3）若八年级学生成绩的方差是1.2，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定．八、（本题满分14分）23．如图，在正方形中，为的延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点．（1）求证：为等腰直角三角形．（2）求证：①；②．（3）若，求证：．答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案CCBADBCADD10．如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，绕点逆时针旋转得到，，在与中，，．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．12．9.113．14．（1）（2）4（2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，∵四边形是菱形，，，四边形为平行四边形，，当三点共线时，最小，四边形是菱形，为等边三角形，，，，，，三点共线，当三点共线时，点，重合，，即的最小值为4．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：（1），，，，或，．（2），，，，或，．16．解：（1）原式．（2）原式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）证明：如图1，过点作于点，，由勾股定理得，，即是“梦想三角形”．（2）解：如图2，当边上的中线时，，当边上的中线时，，即，解得，综上所述，或4．18．解：（1）化为一般形式为，原方程有实数根，且，，解得．（2）由（1）得，，，，解得．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为，根据题意可得，解得（不合题意，舍去）．答：11月、12月这两个月的月平均增长率为．（2）设当模型降价元时，该商店获利5570元，根据题意可得，解得（不合题意，舍去）。答：每件模型应降价10元．20．解：（1）由题中等式的规律可得，证明：左边右边．（2）它的三边长能为勾股数．理由如下：，把代入，得，即，它的三边长能为勾股数，这组勾股数为．六、（本题满分12分）21．解：（1）①②（2）原式．（3），同理：，，．七、（本题满分12分）22．解：（1）8（2）把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为，中位数是（分）．（3）九年级学生成绩的方差是，八年级学生成绩的方差是1.2，九年级学生成绩的方差是1