【数列极限的求解方法及其应用探究（论文）8900字】

]：数列收敛的充要条件是对∀ε>0，总存在自然数，使当都大于,都有an−am<ε.上述定义中，我们需要注意到的一个问题是，在实数域中，该准则只是数列极限的一个充分不必要条件。在运用柯西收敛准则求极限时，我们可以不用确定该数列的极限是否存在，它在理论上就可以大致反映出数列极限的存在问题，通过分析，我们可以知道：对于一个收敛的数列来看，收敛数列的各项值越到后面，各项便越是接近，直至达到这样一种收敛的状态，也就是后面的任何两项之差的绝对值都可小于给定的一个任意正数，所以，我们在使用该准则时，首先可以用该准则判断所给的数列的收敛性，如果可以证明最好给出相应的证明，最后在考虑求解该数列的极限。在实数域中，我们经常运用到下面六个基本定理，即确界定理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则，我们只要知道任意一个定理，就可以推出另外的五个定理。因此，柯西收敛准则在求取数列极限的方式上与单调有界定理求取数列极限有相似之处，即都是先要确定数列的极限是存在的，再利用相应的定理去求解它。在这里，我们需要注意一点，有的数列的极限不一定存在，即数列的极限可能不是一个具体的数值，但是，当我们在运用柯西收敛准则时，我们就能够很容易的判断出数列是否收敛或者发散，这样的话，我们就可以知道该数列存在与否。下面我们来看看在下列题型中如何应用柯西收敛准则在数列中的计算。例1.用柯西收敛准则证明收敛.先来分析这个例题，显然我们经过其它的一些方法来尝试证明其收敛时，都无法解答，由此我们想到了用柯西收敛准则来进行证明，但在使用该准则进行证明时，柯西收敛的准则的要求是对∀ε>0，总存在自然数，使得都大于,都有an−am<ε当时，此题的问题就得以证明了，下面是其具体的证明过程：证明：对∀ε>0，取则对∀n≥m>N,有而由知，故由柯西收敛准则可知数列收敛。4.3数列极限在几何问题中的应用4.3.1利用极限法求解圆的面积在我国古代刘徽发现了在《九章算术》中“周三径一”的方法来计算圆周没有精准度，由此创立了割圆术来计算圆的面积，这个方法是刘徽利用逐步二分的方法来分割圆周，最后来求圆的面积。首先他是把这个圆周平均的分成了6份，再连接各个顶点以后构成了圆内接正六边形，又接着把这6段相等的圆弧又均等的分为了两份，这就便形成了圆的正十二边形，照这样下去，就会割得越来越细，正多边形和圆周的误差就会越来越小，直到和圆的周长重合，这就是“割圆术”具体做法，其实这也就是极限中的思想，在具体的求解过程中实际上也就是得到了这样的一组数列：S6为了简便计算可以设圆的半径为，圆内接的一个正边形中它的任意一条边所对应的圆心角为，我们可以先算出其中的一个三角形的面积（用三角形求面积的两边夹角的其中一个公式，即:），然后就可以得到这个正六边形的面积，面积如下：.当无限的增大时，经过了无数次的切割之后，这个内接正边形的形状就会无限的接近于圆的形状，这个时候它的面积也是在无限的接近于圆的面积。也即就是用有限的去表示无限的思想，无论这个有多么的大，很明显得到的结果其实也就是一个近似值，但是随着无限增大的时候，我们就可以得到了圆面积的一个精确值，得到的正是我们想要的结果，这也是极限的思想的独特的一点。这个极限的求法需要用到函数的极限来辅助求解，当时，有即当无限减小时，的图像与直线是重合的，在这种情况下，我们可以用的值来代替,以在某些领域做近似计算，那么我们可以得到：,于是，当时，此时，即上式，则可得到圆的面积：.4.3.2利用数列极限求抛物线与直线所围成的面积在解决下述问题的前提下，首先得知道微元法，所谓的微元法也就是将要所要研究的对象不断的进行一个无限的细分，然后接着从其中抽取某一段微小的部分来着重进行讨论和研究。再通过我们对图像的分析，找出其中被研究对象整体变化规律的一种方法。很显然，这种方法体现的就是一种极限的思想，然后通过我们所学的数学知识的思想方法来解决实际问题，其中，我们最常用的方法也就是分割，近似求和，取极限，来求解问题，最后将问题简单化。有了这个方法，下面我们将以实例来求解这种类型的几何问题，在解决几何应用问题时，我们最好通过数形结合的办法来解决。求解此类几何问题时，我们最好通过数形结合的办法来解决，如求与y=0和x=1围成的面积时，首先我们根据题意画出相关的图形（见图1）。图1在这个问题中将其在将区间等分为个小区间0,1n，1n,2n，…,n−1n,1n,以这些小区间为底边，分别以0，1n这个小矩形的面积之和是我们不妨就定义这样的一个数列，可以看到对于每个，它都小于需要求得的“面积”，而且这两者之间的差别都不会大于长为1，宽为的矩形面积，也即，所以，当随着越来越大的时候，也将会无限接近于我们想要求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为：.可以看到使用这种定义面积并求解面积的方法既朴素又很简单，是数列极限在数学解题中的一大应用.4.4利用数列极限求方程的数值解我们都知道，2是一个无理数，那么我们如何来运用有理数来无限逼近2，以此来达到事先就指定的精确度是我们现在所需要解决的问题，而2是二次方程的一个正根，所以这个问题也就是“求解方程的数值解”。想要解决这个问题，首先，我们得将这个问题重新描述，如下：设任意给定的，求的近似值，对给定的的一个近似值，在以下的两个正数，中，肯定其中有一个大于，而另外一个小于，当正好就是的时候，我们就有理由指望这两个数的算术平均值，即：当时，它的值可能更加靠近，这就便得到了一个更好的近似值，不妨我们先来看下列式子就比较清楚了。可以看出：不论这个初值如何，很明显得出的第一次近似值就是过剩近似值，我们不妨就设这个初值本身就是一个过剩近似值，则有x0>x0−a>.由这个不等式我们可以知道：第一次近似值到的距离至多是初值到的距离的一半。当我们再接着重复上述的步骤以后，便会产生一系列的数列其中由此.可见这个结果就是，不论有多大，这个数值与的距离我们要多小就有多小。让我们来观察实际应用起来的便利性，设想我们要求的是2的近似值，我们不妨就随机取其初值（但是这是一个相当粗糙的近似值），不过想要达到一个比较精确的近似值，还得运用迭代法，而迭代法就是通过利用递推公式或循环算法来构造序列求解问题近似解的一种方法，通过反复进行计算的过程，来逐次无限的逼近近似值，如此下去就可以得到一个非常理想的近似值，下面我们具体来看一下反复运用迭代法产生的结果如下：通过分析上述内容，可以看到上述式子和很是接近，所以当迭代到第五次就已经很接近真实值了，很明显其收敛的速度整体令人满意，从文献调研来看，只要上述方程所对应的函数是连续的，且对应零点是孤立的，则存在一个区间范围，只要选取的初始迭代值在该区间范围，通过迭代法求解的近似解序列则一定逐步收敛到真实值，所以迭代到第五次已是相当精确的近似值。5.总结数列极限作为数学分析中常考察的基础概念之一，不仅需要我们掌握数列极限的概念、性质和计算方法，也需要我们能灵活巧妙的应用数列极限的相关知识，只有扎实的掌握数列极限的基础知识，我们才能很好的解决函数极限及微积分的相关问题，那么我们遇到的一些看似困难的问题就可以迎刃而解了。本文主要以数列极限的求法为出发点，通过研究数列极限的定义、性质等简单介绍了求解时常用到的解题方法，再由相关的方法例题引申到数列极限在生活中的具体应用上。用定义法证明极限值比较抽象，存在很大的局限性。而用单调有界定理来证明数列的收敛性时，我们在应用中可以不用考虑其极限，但是必须保证其是单调的。。用迫敛定理求解数列,应用时局限性更大，因为迫敛定理是数列收敛的充分条件.所以在对待不同类型的极限问题时，我们要根据极限题型的实际情况，来选择合适的求解方法来求值，对于解决哪些过程比较复杂的数列极限问题时，我们尽量将数列化简到最简形式，在结合不同的方法求出对应的极限值，对此，我们要具体问题具体分析，活学活用。本文主要从数列极限的理论角度概述了数列极限的定义与收敛数列的性质，根据求解数列极限的类型归纳总结了数列极限的方法技巧，同时，引用具体的实例分析了数列极限在数学分析中的实际应用，分析数列极限的求解方法可以培养学生的极限思维能力，进而运用不同的定理来理解数列极限在解题中的应用参考文献[1]林潘能.数列极限不同求解方法及应用[J].报刊荟萃,2018,000(007):P.244-244.[2]景慧丽.极限求解方法研究[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,31(05):16-22.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册[M].高等教育出版社，2010,7：23-260.[4]葛喜芳.数列极限的几种计算方法[J].北京工业职业技术学院学报,2013(03):63-65.[5]李婧祎.数列极限在实际中的应用研究[J].赤子(下旬),2016[6]唐燕武.极限的几种求解方法[J].自然科学版,2009,15(3):86-87.[7]周淑娟，郭晓沛，李澎涛.浅谈N项和数列极限的几种求法[J].高等数学研究,2019,22(5):45-47.[8]李素峰.谈数列极限证明中的“放大法”[J].衡水学院学报,2009,11(04):4-7.[9]花中东.浅谈高等数学中几种数列的求法[J].池州学院学报,2007,21(5):127-128.[10]王淑芳.数列极限的求解方法研究[J].高教学刊,2015,16:199-200.[11]但仲康,张亚，朱伟.数列极限的求解方法与技巧探讨[J].教育教学论坛,2018,16:202[12]塔怀锁.数列极限的几种特殊求解方法[J].北京工业职业技术学院学报,2011(02):72-74[13]李阳.定积分中微元法及其应用研究[J].现代盐化工,