空间向量与立体几何 2024-2025学年高中数学一轮复习专题训练（含答案）

空间向量与立体几何--2025届高中数学一轮复习专题训练

一、选择题1．在空间四边形PABC中,()A. B. C. D.2．已知为平面内一点,若平面的法向量为,则点到平面的距离为()A.2 B. C. D.13．直线的方向向量,直线的方向向量,则不重合直线与的位置关系是()A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定4．已知向量为平面法向量,点在内,则点到平面的距离为()A. B. C. D.5．已知空间向量,,且,则向量与的夹角为()A. B. C. D.6．在正方体中,直线与平面所成的角为().A. B. C. D.7．已如向量,,且与互相垂直,则().A. B. C. D.8．在空间四边形OABC中,,,,点M在OB上,且,N为AC的中点,则()A. B. C. D.9．向量,，若，则x的值为()A. B.1 C. D.310．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为()A. B. C. D.二、填空题11．设向量,,若,则________.12．已知直线过点,且为其一个方向向量,则点到直线l的距离为________.13．四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.14．已知空间向量,,则在上的投影向量的坐标是________.三、解答题15．如图甲,中国是风筝的故乡,南方称“鹞”,北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥,其中,,AC交BD于点O,如图乙.（1）求证:平面PBD;（2）若,,点Q是线段PC的中点,求直线BQ与平面PAD所成角的正弦值.

参考答案1．答案：B解析：.故选:B.2．答案：B解析：,面的法向量为,则点到平面的距离为.故选:B.3．答案：B解析：因为,所以,所以直线与平行.故选:B4．答案：B解析：因为,所以,因为平面的法向量,所以点P到平面的距离.故选:B5．答案：A解析：,解得,则,,,设向量与的夹角为,则,,,即与的夹角为.故选:A.6．答案：B解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则,,,,所以,,,设平面的一个法向量为,直线与平面所成的角为,则,令,,即,所以,所以.故选:B7．答案：B解析：,,则,与互相垂直,则,.故选:B.8．答案：A解析：.故选:A9．答案：D解析：由，可得，解得，故选：D.10．答案：C解析：由题意，,和,之间夹角均为，结合平面向量线性运算有故选：C11．答案：4解析：因为,所以,即,解得.故答案为:412．答案：解析：因为点,点,所以,所以点到直线l的距离为:,故答案为:13．答案：解析：因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,则重心,因而,,,设平面PAD的一个法向量为,则,令则,则,故答案为:.14．答案：解析：,,,故在上的投影向量的坐标.故答案为:15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明:因为,,,所以,有,又,,所以.所以,,所以.同理,,有又因为,平面PBD,平面PBD,所以平面PBD.（2）由（1）可知,因为,,,所以,所以,从而由等面积法,可知,由勾股定理,可知因为,所以,所以.又因为,,OB,平面ABCD,所以平面ABCD.以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由（1）可知,所以,所以,因为,,,,因为点Q为线段PC的中点,所以