河南省许平汝名校2024-2025学年高二上学期第二次月考（10月）数学试题（含解析）

2024-2025年度河南省高二年级第二次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆与的位置关系为（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内切2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.3.已知直线与垂直，则（）A.0 B.1 C.2 D.4.设双曲线，的离心率分别为，.若，则（）A. B.2 C.4 D.85.已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.6.已知F为双曲线的右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若的面积为1，则C的焦距的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.7.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（）A. B. C. D.8.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则k的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（）A. B. C. D.10.已知直线和曲线相交于A，B两点，下列结论正确的是（）A.曲线C的长度为 B.C. D.若，则11.已知F是抛物线的焦点，l是C的准线，N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆相切于点E，过点N作l的垂线，垂足为P，则下列结论正确的是（）A.若，则或B.若，则的面积为或C.的周长的最小值为4D.若为等边三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.直线的倾斜角的取值范围是________.13.若点M在z轴上，且到点与点的距离相等，则点M的坐标为________.14.若过圆外一点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点，，，且四边形ABCD是平行四边形.（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD的面积.16.（15分）已知椭圆与双曲线有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，，.（1）求与的方程；（2）记的上顶点为A，的左顶点为B，直线AB与的另一个交点为D，求.17.（15分）已知圆与圆相交于P，Q两点，直线PQ的方程为.（1）若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围；（2）若，B是圆上的动点，且的面积的最大值为5，求圆的方程.18.（17分）已知是双曲线的一条渐近线，点在C上.（1）求C的方程.（2）已知直线l的斜率存在且不经过原点，l与C交于A，B两点，AB的中点在直线上.（i）证明：l的斜率为定值.（ii）若，的面积为，求l的方程.19.（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，动点Q满足，设动点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若直线与曲线C交于A，B两点，求；（3）若曲线C与x轴的交点为E，F，直线与曲线C交于G，H两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上.

2024-2025年度河南省高二年级第二次月考数学参考答案1.D圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.这两圆圆心之间的距离为1，且，所以圆与圆内切.2.D抛物线的准线方程为.3.C因为，所以.4.B，，因为，所以，解得.5.C由题设可知，椭圆C的焦点为，椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为，故椭圆C的标准方程为.6.C因为，，，所以.C的焦距为4，当且仅当时，等号成立.7.A设，，则，.由得，所以.因为，所以.又因为，所以，，所以C的方程为.8.B圆，其圆心为，半径为k.因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点.因为圆心距为，所以，解得.9.AD由题意可得，，，，，A，D正确，B，C错误.10.CD由，得.因为，所以曲线C表示以为圆心，半径的半圆，则其周长为，A错误.当直线l与曲线C相切时，圆心C到直线l的距离，解得（舍去）.当直线l过点时，直线l和曲线C有2个交点，此时，解得.当直线l和曲线C有两个交点时，，B错误.，，则，C正确.线段AB的中垂线的方程为，点D在直线上，D正确.11.ABD记l与x轴的交点为M，坐标原点为O，，则，，.易知，，则，，，.若，则或，或，或，A，B正确.的周长为.令，因为，所以，，C错误.若为等边三角形，则，因为，所以，D正确.12.因为直线l的斜率，所以，则.13.设，则，解得，所以点M的坐标为.14.2或4如图，记圆C的圆心为C，AB与PC交于点D.由题意可得，，，，.，所以，即，解得或16，即或4，经检验，都满足题意.15.解：（1）由题意得直线AB的方程为，直线BC的方程为.因为直线CD与直线AB平行，且过点，所以直线CD的方程为，因为直线AD与直线BC平行，且过点，所以直线AD的方程为联立解得即点D的坐标为.（2）因为，所以点到直线AB的距离.故平行四边形ABCD的面积.16.解：（1）因为，，，所以，记，，则.由椭圆的定义可得，，，.由双曲线的定义可得，，，.所以的方程为，的方程为.（2）由题意得，，则直线AB的方程为.设，联立得，所以..17.解：（1）由，得，所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线PQ上.因为圆的圆心在圆外，所以，圆的半径为.故圆的半径的取值范围为.（2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①.设圆的半径为，当时，的面积取得最大值，最大值为，解得，所以②.由①②得或所以圆的方程为或.18.（1）解：因为是双曲线的一条渐近线，所以.因为点在C上，所以，解得，，即C的方程为.（2）（i）证明：设，由得，由题意得，.设，，AB中点的坐标为，则所以，.因为AB的中点在直线上，所以，即，因为，所以.（ii）解：，点M到l的距离