2024-2025学年陕西省西安交大附中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安交大附中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l：xcos30°−ysin30°+1=0的倾斜角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.曲线x225+y29A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等3.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若直线的截距式方程xa+yb=1化为斜截式方程为y=−2x+b，化为一般式方程为bx+ay−8=0(a>0)A.−2 B.2 C.6 D.85.圆C1：(x−2)2+(y−4)A.2条 B.1条 C.3条 D.4条6.已知直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x24+y2bA.(1,2) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2)7.已知F1(−c,0)，F2(c,0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.(33,53] 8.已知双曲线C：x2a−y212=1(a>0)，过右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=16A.(916,64) B.(94,64)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线C：x2−y2A.实轴长为2

B.离心率为2

C.两渐近线夹角的正切值不存在

D.直线y=kx+1与曲线有且仅有一个公共点，则10.已知直线l的方程3x+4y−2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R)，则(

)A.恒过定点(−2,2)

B.存在实数λ使直线l在坐标轴上截距互为相反数

C.直线l的斜率一定存在

D.点A(1,1)到直线l的距离最大值为11.已知椭圆E：x24+y23=1A.与E有相同离心率的椭圆标准方程一定是x24+y23=λ(λ>0)

B.过F2的直线与椭圆交于两点A，B，则1|AF2|+1|BF2|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知方程x2k−4+y213.设集合A={(x,y)|y−5x−2=1}，B={(x,y)|ax−y+2=0}，若A∩B=⌀，则实数a=14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知定点A(−1,2)，B(3,2)，动点M到定点A，B距离之比为2．

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)过点O作E的切线，切点为P、Q，求PQ所在直线方程．16.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，P是椭圆上任意一点，|PF|的最大值为3，最小值为1．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知M(17.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支(且不在坐标轴上)，

(1)若双曲线C与椭圆x24+y18.(本小题12分)

设动点M到定点F(3,0)的距离与它到定直线l：x=43的距离之比为32．

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为A、B，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k19.(本小题12分)

已知椭圆E：x24+y23=1，左焦点F(−1,0)．

(1)设直线l：y=kx与椭圆E交于M、N，点P是椭圆上任意一点，证明：kPM⋅kPN=−34；

(2)过F做两条互相垂直的直线l1、l2，l1交椭圆于A、C，l2交椭圆于B、D，

(ⅰ)记四边形ABCD面积为S，求S的取值范围；

(ⅱ)设参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

6.D

7.B

8.B

9.ABC

10.ABD

11.ABD

12.(4,1313.1或3214.a

15.解：(1)设M(x,y)，定点A(−1,2)，B(3,2)，动点M到定点A，B距离之比为2．

可得|MA|=2|MB|，即(x+1)2+(y−2)2=2⋅(x−3)2+(y−2)2，

化简可得x2+y2−14x−4y+21=0，即(x−7)2+(y−2)2=32．

动点M的轨迹E的方程(x−7)2+(y−2)2=32．

(2)(x−7)2+(y−2)16.解：(1)因为|PF|的最大值为3，最小值为1，

所以a+c=3，a−c=1，则a=2，c=1，所以b2=a2−c2=3，

所以椭圆方程为x24+y23=1．

(2)根据题意得中点弦的斜率存在，且M在椭圆内，设B(x1,y1)，C(x2,y2)，

所以x124+y1217.解：(1)双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，可得c=3，双曲线C过点Q(2,1)，

可得4a2−1b2=1，a2+b2=3，解得a=2，b=1，

双曲线的标准方程为：x22−y2=1．18.解：(1)设M(x,y)，由题意可得|MF|d=32(d为M到定直线l的距离)，

即有(x−3)2+y2=32|x−43|，

两边平方，化简可得x24−y25=1，

即点M的轨迹E的方程为x24−y25=1；

(2)由双曲线的方程可得A(−2,0)，B(2,0)，又F(3,0)，

设直线PQ的方程为x=my+3，

与双曲线的方程519.解：(1)证明：由题M，N两点关于原点对称，设M(x0,y0)，N(−x0,−y0)，P(x,y)，

则x24+y23=1，x04+y023=1，

所以kpM⋅kPN=y−y0x−x0⋅y−(−y0)x−(−x0)=y−y0x−x0⋅y+y0x+x0=y2−y02x2−x02

=3(1−x24)−3(1−x024)x2−x02=−34(x2−x0