沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15-2线段的垂直平分线课件

第15章轴对称图形与等腰三角形15.2线段的垂直平分线知识点1线段垂直平分线的作法基础过关全练1.根据图中尺规作图的痕迹,判定线段AD一定为△ABC的()A.角平分线

B.中线C.高线

D.以上都有可能B解析由作图痕迹可知,题图中所作直线是线段BC的垂直平

分线,∴点D是线段BC的中点,∴线段AD是△ABC的中线.故选B.知识点2线段垂直平分线的性质定理2.(2024河南周口淮阳期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分

BC,若AB=10,AC=13,则△ABD的周长等于()A.21

B.23

C.24

D.26B解析∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.又∵AB=10,AC=13,∴△

ABD的周长=AB+AD+DB=AB+(AD+DC)=AB+AC=10+13=23.3.如图,已知△ABC中,AB的垂直平分线MD交BC于点D,AC的

垂直平分线NE交BC于点E,连接AD,AE,若AD=

,DE=2,AE=

,则BC的长为

()A.3

B.4

C.5

D.6D解析∵MD垂直平分AB,NE垂直平分AC,∴BD=AD=

,EC=AE=

.∵DE=2,∴BC=BD+DE+CE=

+2+

=6.4.(2024安徽淮北期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,交

AC于点E,交BC于点D,连接AD,AE=4cm,则△ABC的周长与

△ABD的周长差为

()

A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cmD解析∵DE垂直平分AC,AE=4cm,∴AD=CD,AC=2AE=8

cm.∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△ABD的周长=AB+AD+

BD=AB+BC,∴△ABC的周长-△ABD的周长=AC=8cm.5.(2024湖北咸宁咸安期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分

AC,AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长为

()A.16

B.13

C.19

D.10C解析∵DE垂直平分AC,AE=3,∴DA=DC,AC=2AE=6.∵△

ABD的周长为13,∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13,∴

△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19.6.(教材变式·P130T1)河边有两个村庄A、B,要在河岸CD上

建一自来水厂P,使水厂到A、B两村的距离相等,请找出P的

位置.解析如图,点P即为所求.知识点3线段垂直平分线的判定定理7.(2024广东深圳期末)如图,在△ABC中,AE=CE=1,DE⊥AC.

△BCD的周长为5,则△ABC的周长是

.7解析∵DE⊥AC,AE=CE=1,∴DE垂直平分AC,AC=1+1=2,

∴AD=CD.∵△BCD的周长为5,∴BC+BD+CD=BC+BD+AD=

BC+AB=5,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+2=7.8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分线,E为AB

边上一点,且CE⊥BD,垂足为点O,连接DE,求证:(1)BD垂直平分线段CE;(2)∠ADE=∠ABC.∠BOE=∠BOC=90°.在△BOE和△BOC中,

∴△BOE≌△BOC(ASA),∴BE=BC.在△BDE和△BDC中,

∴△BDE≌△BDC(SAS),∴DE=DC,∴BD垂直平分线段CE.(2)由(1)可知△BDE≌△BDC,∴∠BED=∠ACB=90°,∴∠A+

∠ADE=∠A+∠ABC=90°,∴∠ADE=∠ABC.证明(1)∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠CBO.∵CE⊥BD,∴知识点4三角形三边的垂直平分线的性质9.如图,某景区有一块三角形的草坪,A、B、C是三个商店,现

要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到三个商店的距

离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三边垂直平分线的交点D解析∵凉亭到三个商店的距离相等,∴凉亭的位置应选在

△ABC三边垂直平分线的交点处,故选D.能力提升全练10.(2024安徽六安裕安月考,7,★★☆)如图,△ABC中,AB=AE,

且AD⊥BC于D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,若

△ABC的周长为16,AC=6,则DC的长为

()A.5

B.8

C.9

D.10A解析∵△ABC的周长为16,∴AB+BC+AC=16.∵AC=6,∴

AB+BC=10.∵EF垂直平分AC,∴EA=EC.∵AD⊥BC,∴∠

ADB=∠ADE=90°,在Rt△ABD与Rt△AED中,AB=AE,AD=AD,

∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL),∴BD=DE,∴AB+BD=AE+DE=

×(AB+BC)=5,∴DC=DE+EC=AE+DE=5.11.(2023安徽马鞍山当涂月考,6,★★☆)如图,在△ABC中,AB

边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E,BC

边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G,△

BEG的周长为16,且GE=1,则AC的长为

()A.16

B.15

C.14

D.13C解析∵DE是AB边的垂直平分线,∴EB=EA.∵FG是BC边的垂直平分线,∴GB=GC.∵△BEG的周长为16,∴GB+GE+EB=16,∴AE+GE+GC=16,

∴AC+GE+GE=16.∵GE=1,∴AC=16-2=14.12.(2023安徽宣城郎溪联考,13,★★☆)如图,在△ABC中,DE

⊥AC于点D,且AD=CD,∠ABE+∠CBE=180°,EF⊥BC于点F,

若AB=7,BF=1,则BC=

.9解析如图,过E作EH⊥AB交AB的延长线于H,连接EA.∵DE⊥AC于点D,且AD=CD,∴DE垂直平分AC,∴AE=CE.∵

∠ABE+∠CBE=180°,∠ABE+∠EBH=180°,∴∠EBF=∠EBH.

∵EF⊥BC于点F,∴∠EFB=∠EHB=90°.∵EB=EB,∴△EBH

≌△EBF(AAS),∴EH=EF,BH=BF=1.∵CE=AE,∴Rt△CEF≌

Rt△AEH(HL),∴FC=AH.∵AH=AB+BH=7+1=8,∴FC=8,∴BC=CF+BF=8+1=9.13.(2023安徽宣城泾县月考,13,★★☆)如图,在△ABC中,AB

边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于

点E,l1与l2相交于点O,连接AD、AO、AE、BO、CO,△ADE

的周长为6,△OBC的周长为16,则AO=

.5解析∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分

线l2交BC于点E,∴DA=DB,EA=EC,OA=OB,OA=OC.∵△ADE

的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=6,∴BC=6.∵△OBC的周

长=OB+BC+OC=16,∴OB+OC=10,∴OA=OB=OC=5.14.(2024安徽芜湖南陵月考,20,★★☆)如图,直线l是线段AB

的垂直平分线,且交AB于点E,点C是直线l上一动点,连接AC,

作AC的垂直平分线DF交直线l于点D,连接BD.(1)当点C移动到某一位置时,使BD=5,CE=7,求此时DE的长度;(2)随着点C的移动,BD,CE,DE的长度都发生变化,写出BD,

CE,DE所有可能的数量关系,并说明理由.解析(1)连接AD,如图.∵直线l是线段AB的垂直平分线,∴

AD=BD.∵DF是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,∴BD=CD,

∴DE=CE-CD=CE-BD.∵BD=5,CE=7,∴DE=2.

(2)DE=CE-BD.理由:连接AD(图略),∵直线l是线段AB的垂直

平分线,∴AD=BD.∵DF是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,

∴BD=CD,∴DE=CE-CD=CE-BD,即DE=CE-BD.素养探究全练15.(创新意识)OF平分∠MON,点A在射线OM上,点P,Q是直

线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的

垂直平分线,分别交直线OF,ON于点B,C,连接AB,PB.(1)如图1,请指出AB与PB的数量关系,并说明理由;(2)如图2,当P,Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,

PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若

不存在,请说明理由.解析(1)AB=PB.理由:如图,连接BQ.∵BC垂直平分OQ,∴

BO=BQ.又BC=BC,∴Rt△OBC≌Rt△QBC(HL),∴∠BOQ=∠

BQO.∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BOQ,∴∠AOB=∠

BQO,又∵OA=PQ,BO=BQ,∴△AOB≌△