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文档简介

专项素养综合练(五)分式方程中的三种新定义型问题1.(2023山东烟台莱阳期末)定义运算m※n=1+

,例如:1※2=1+

=

,则方程x※(x+1)=

的解为

(

)A.x=-

B.x=

C.x=1

D.x=-1类型一定义新运算型B解析由题意得1+

=

,整理得

=

,方程两边都乘2(2x+1),得2=2x+1,解得x=

,检验:当x=

时,2(2x+1)≠0,所以x=

是原方程的解.2.(2023广东佛山禅城期中)当a≠b时,定义一种新运算:F(a,b)

=

例如:F(3,1)=

=1,F(-1,4)=

=

.(1)F(a+1,a)=

;(2)若F(m,2)-F(2,m)=1,求m的值.解析

(1)根据题中新运算的定义得F(a+1,a)=

=2.故答案为2.(2)当m>2时,∵F(m,2)-F(2,m)=1,∴

-

=1,解得m=

<2,不合题意,舍去;当m<2时,∵F(m,2)-F(2,m)=1,∴

-

=1,解得m=0<2,经检验,m=0是分式方程的解,且符合题意.综上,m的值为0.类型二定义新概念型3.(2023浙江金华东阳期末)对于一些特殊的方程,我们给出

两个定义:①若两个方程有相同的一个解,则称这两个方程为

“相似方程”;②若两个方程有相同的整数解,则称这两个方

程为“相伴方程”.(1)判断一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程

-1=

是不是“相似方程”,并说明理由;(2)已知关于x,y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴

方程”,求正整数m的值.解析

(1)一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程

-1=

不是“相似方程”.理由如下:解一元一次方程3-2(1-x)=4x,得x=

.解分式方程

-1=

,整理得(2x+1)2-4x2+1=4,解得x=

,检验:当x=

时,(2x+1)(2x-1)=0,∴原分式方程无解.∴一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程

-1=

不是“相似方程”.(2)由题意得,两个方程有相同的整数解,∴mx+6=x+4m,∴(m-1)x=4m-6.①当m-1=0,即m=1时,方程无解;②当m-1≠0,即m≠1时,x=

,即x=4-

.∵x,y均为整数,∴m-1=1,2,-1,-2,∴m=2,3,0,-1.又∵m为正整数,∴m=2或3.类型三定义新方法型4.阅读下列材料:换元法是数学中一个非常重要的解题方法,

我们通常把未知数称为元,所谓换元法,就是解数学题时,把

某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使得复杂

问题简单化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元.例如:

解方程组

设

=m,

=n,则原方程组可化为

解得

即

所以原方程组的

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