高中数学 第二章 解三角形 2.2 三角形中的几何计算（2）教案 北师大版必修5

高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算（2）教案北师大版必修5科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算（2）教案北师大版必修5教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算（2），以北师大版必修5教材为依据。内容包括：

1.掌握正弦定理在解三角形中的应用。

2.学会利用余弦定理求解三角形的全长或角度。

3.能够运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生需掌握初中阶段的三角函数知识，如正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

2.学生应具备一定的代数解题技巧，如方程求解、不等式求解等。

3.学生需了解三角形的基本概念，如内角和、边长关系等。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过学习正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，学生能够抽象出三角形的几何特征，运用逻辑推理解决三角形的计算问题，并能够运用所学知识解决实际问题，从而提升数学建模的能力。同时，通过小组合作、讨论交流等环节，培养学生的团队合作和沟通交流能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在初中阶段学习了三角函数的基本知识，包括正弦、余弦、正切函数的定义和性质；也学习了一定的代数解题技巧，如方程求解、不等式求解等。此外，学生还了解了三角形的基本概念，如内角和、边长关系等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于数学学科，学生普遍具有一定的兴趣，但解三角形这部分内容可能对学生来说较为抽象，因此需要老师在教学中注重直观演示和实际应用。学生在逻辑推理和数学运算方面能力较强，但解决实际问题的能力有待提高。部分学生可能偏好直观和实践型的学习方式，而另一部分学生可能更擅长抽象和理论型的学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解正弦定理和余弦定理的过程中，学生可能对如何将实际问题转化为数学模型感到困惑。此外，解决三角形计算问题时，部分学生可能对如何运用代数方法进行求解感到困难。在小组讨论和交流环节，部分学生可能因为性格原因或语言表达能力不足而无法充分参与到活动中。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修5的教材，以便跟随老师的讲解进行学习和复习。同时，为学生准备教材的复印件或者电子版，以便于学生进行笔记和复习。

2.辅助材料：为了帮助学生更好地理解正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，准备相关的图片、图表和视频等多媒体资源。例如，可以准备一些具体的三角形图形，以便于学生直观地观察和理解三角形的性质。此外，还可以准备一些示例题目和解答过程的短视频，以便于学生在课堂上跟随老师的讲解进行学习和思考。

3.实验器材：如果本节课涉及实验环节，需要提前准备实验所需的器材，如测量工具、计算器等。确保实验器材的完整性和安全性，以及学生能够正确地使用和操作实验器材。

4.教室布置：根据本节课的教学需要，对教室进行适当的布置。如果需要进行小组讨论，可以设置分组讨论区，提供足够的空间和座位供学生进行讨论和交流。如果需要进行实验操作，可以设置实验操作台，提供足够的实验器材和空间供学生进行实验操作。

此外，还需要准备一些学习资料和练习题目，以便于学生在课后进行复习和巩固。同时，为学生提供一些参考资料和拓展阅读，以便于学生深入学习和探索解三角形的相关知识。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生兴趣，引出本节课的主题。

过程：

-老师通过展示一些生活中的三角形实例，如建筑物的三角形结构、体育用品等，引导学生观察和思考三角形的特性。

-老师提问：“你们对三角形有什么了解？三角形有哪些性质？”鼓励学生积极回答，分享他们对三角形的认识。

-老师总结并引入本节课的主题：“今天我们将学习解三角形的相关知识，探讨如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题。”

2.知识讲解（10分钟）

目标：让学生理解正弦定理和余弦定理的定义和应用。

过程：

-老师通过PPT展示正弦定理和余弦定理的定义，并用生动的图形和例题进行解释。

-老师引导学生跟随讲解，理解定理的含义和应用方法。

-老师给出一些具体的三角形题目，引导学生运用正弦定理和余弦定理进行计算和求解。

3.实践练习（20分钟）

目标：让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。

过程：

-学生独立完成教材上的练习题目，运用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题。

-老师巡回指导，解答学生的疑问，并提供帮助。

-老师选取一些学生的作业进行点评和讲解，分享解题的技巧和方法。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的团队合作能力和沟通交流能力。

过程：

-老师将学生分成小组，并提供一些实际问题的情境，如测量三角形的边长或角度等。

-学生分组讨论，共同思考如何运用正弦定理和余弦定理解决这些问题。

-每个小组选择一个代表进行汇报，分享他们的解题思路和结果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：培养学生的表达能力和批判性思维。

过程：

-学生进行课堂展示，分享他们的解题过程和结果。

-老师对学生的展示进行点评，肯定他们的优点，并提出改进的建议。

-学生之间互相评价，提出自己的观点和疑问，进行讨论和交流。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用。

过程：

-老师对本节课的学习内容进行总结，强调正弦定理和余弦定理在解三角形中的重要性。

-学生回顾本节课的学习内容，总结自己所学到的知识和解题技巧。

-老师布置课后作业，让学生进一步巩固和应用所学的知识。知识点梳理1.正弦定理：在任意三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例，即：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。

2.余弦定理：在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和与这两边和该边所对的角的余弦值的乘积的两倍，即：

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。

3.三角形的内角和：任意三角形的三个内角的和等于180度，即：

A+B+C=180°

4.三角形的分类：根据边长关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。等边三角形的三边相等，等腰三角形有两条边相等，普通三角形的三边都不相等。

5.三角形的角的性质：在三角形中，任意一个角的度数大于另外两个角的度数之和。即：

A>B+C

B>A+C

C>A+B

6.三角形的判定：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形的这三条边可以构成一个三角形。即：

a+b>c

a+c>b

b+c>a

7.三角形的面积计算：三角形的面积可以通过底和高来计算，即：

S=1/2*底*高

8.三角形的角平分线：从一个顶点出发，将对边分成相等的两条线段，这样的线段叫做角的平分线。三角形的三个角的平分线交于一点，称为内心。

9.三角形的垂直平分线：从一个顶点出发，垂直于对边的线段，这样的线段叫做边的垂直平分线。三角形的边的垂直平分线交于一点，称为外心。

10.三角形的对称轴：如果一个线段是三角形的对称轴，那么这条线段将对边分成相等的两部分。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用。正弦定理告诉我们，在任意三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例；余弦定理告诉我们，在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和与这两边和该边所对的角的余弦值的乘积的两倍。

2.我们还学习了三角形的内角和定理，即任意三角形的三个内角的和等于180度。

3.此外，我们了解了三角形的分类和角的性质，以及三角形的判定方法。

4.最后，我们学习了三角形的面积计算方法和角的平分线、边的垂直平分线的性质。

当堂检测：

1.请用正弦定理和余弦定理计算以下三角形的边长或角度：

(1)在三角形ABC中，已知a=8,A=30°，求b和B。

(2)在三角形DEF中，已知d=10,D=45°，求b和B。

2.请判断以下三角形是否成立，并说明理由：

(1)三角形ABC，已知a=6,b=8,c=10。

(2)三角形DEF，已知d=12,e=16,f=20。

3.请计算以下三角形的面积：

(1)三角形ABC，已知底为6，高为4。

(2)三角形DEF，已知底为10，高为5。

4.请画出以下三角形的角平分线和边的垂直平分线：

(1)三角形ABC，已知角A为直角。

(2)三角形DEF，已知边d为最长边。

5.请根据以下条件，列出所有可能的三角形：

(1)两边之和大于第三边。

(2)两边之差小于第三边。

6.请用文字描述如何判断一个四边形是否为三角形。教学反思与总结今天上的这节课是关于解三角形的内容，我主要引导学生学习了正弦定理和余弦定理，并运用这些定理解决了一些实际问题。在教学过程中，我尽量让学生通过实际操作和小组讨论来深化对知识的理解，感觉学生们在课堂上参与度挺高的。

在教学方法上，我尝试了用一些生活中的实例来引入课题，让学生能够直观地感受到解三角形在实际生活中的应用。对于难点的讲解，我尽量结合图形进行解释，让学生能够更加直观地理解。在小组讨论环节，我给了他们一些实际问题，让他们运用所学的知识去解决，这样的方式让他们在实践中巩固了知识。

不过，我也发现了一些问题。比如，在讲解正弦定理和余弦定理的时候，我发现有些学生在理解上还是有些困难，特别是对于如何将实际问题转化为数学模型这一部分。另外，在小组讨论的时候，我也发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对自己的解题信心不足或者是性格原因。

对于存在的问题，我觉得我需要在今后的教学中进行改进。比如，我可以更加详细地讲解如何将实际问题转化为数学模型，让学生能够更加清晰地理解。在小组讨论环节，我可以更加关注那些参与度不高的学生，鼓励他们发表自己的观点，提高他们的自信心。

这节课的教学让我有了很多收获，也让我意识到教学中需要改进的地方。我会继续努力，不断提高自己的教学水平，希望能够更好地帮助学生们学习数学。重点题型整理1.题目：已知三角形ABC中，a=6，b=8，C=45°，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积S=1/2*底*高=1/2*6*8*sin(45°)=24*√2/4=6√2。

2.题目：已知三角形DEF中，d=12，E=60°，求三角形DEF的面积。

答案：三角形DEF的面积S=1/2*底*高=1/2*12*高=6*高。由于E=60°，可以使用正弦定理求出高：h=12*sin(60°)=12*√3/2=6√3。所以三角形DEF的面积S=6*6√3=36√3。

3.题目：已知三角形ABC中，a=10，b=12，求三角形ABC的角C的大小。

答案：使用余弦定理求解。cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(10^2+12^2-c^2)/(2*10*12)=244/240=11/12。因此，C=arccos(11/12)=120°。

4.题目：已知三角形DEF中，d=8，e=10，求三角形DEF的角F的大小。

答案：使用余弦定理求解。cosF=(d