《组合数及其性质》

北师大版同步教材精品课件《组合数及其性质》教学设计一、情境引入现场调查：对于体育运动项目，请问同学们是喜欢对抗型项目的同学多一些呢？还是喜欢耐力型项目的同学多一些呢？一个调查问题：对一次学校运动会中的两个特定项目：趣味投羽毛球、3000米长跑，某班级32位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目（每一位同学可以在两个项目中任选一个，要求17人参加3000米跑，其余人参加趣味投羽毛球），假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？请发表观点：仅统计报名趣味投羽毛球的所有可能情况；仅统计报名3000米长跑的所有可能情况.提炼观点：体育委员在统计报名的所有可能情况时，用到了什么数学知识？哪位同学能为大家来解读下？设计意图：通过贴近学生实际的问题激发学生的学习兴趣，引导学生探究组合问题的求法，为引入组合数的概念以及研究组合数的性质奠定基础.二、新知探究1.组合数问题1：大家前面学习过排列问题，我们知道求排列问题的个数称为排列数，用类似地，对于一般的组合问题，如何计算所有组合的个数呢？表示，我们给出组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的组合数，记作前面我们已经研究过排列数的计算，下面我们通过分解排列数的计算步骤来得到计算组.合数的方法.问题2：大家回忆一下上节课我们学习的问题2的计算过程，用组合数怎样解决？教学设计在上节课的问题2中，从a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤：第1步，从a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素，共有第2步，将取出的2个元素进行排列，共有因此，根据分步乘法计数原理，，从而.种取法；种排法.【师生活动】以上内容教师指定一名学生完成，教师引导.设计意图：回顾排列数，由特殊到一般，为组合数的推导奠定基础.问题3：类似排列数公式，你能推导出组合数公式吗？结合上面的分析推导，推导过程如下：教学设计一般地，考虑A与C的关系：把“从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素进行排列”这件事，可以分解为以下2个步骤：第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有第2步，将取出的m个元素进行排列，共有因此，根据分步乘法计数原理，我们得到“从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素进行排列”共有种排法，即由此，我们得到从n个不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）个元素的组合数为上面的公式称为组合数公式.种取法；种排法...规定：思考组合数公式的使用范围是什么？.教学设计提示：乘积式适用于含具体数字的组合数的求值；阶乘式适用于含字母的组合数的有关变形及证明.【师生活动】教师引导学生完成以上推导过程.设计意图：从先组后排的角度认识排列数的由来，并由此推导出组合数公式，培养学生的逻辑推理核心素养.2.组合数的性质问题4：分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数.分析：“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛”，因此，从10人中选出6人参加比赛的方法数与从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的，即.思考：从问题4中你能得到关于组合数的什么结论？结论：一般地，组合数有如下性质：性质1：.教学设计【师生活动】教师指定一名学生完成问题4，然后引导学生小组讨论得出性质1.设计意图：通过分析具体问题，由特殊到一般，得出组合数的性质1.问题5：从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛，共有多少种方案？分析：一方面，从11名中选出5名参加军事比武大赛，共有另一方面，选出的5名可以分成以下2类：第1类，含有班长，共有第2类，不含班长，共有因此，根据分类加法计数原理，共有由此，我们得到：.种方案.种方案；种方案.种方案.思考：从问题5中你能得到关于组合数的什么结论？结论：一般地，组合数还有下面的性质：教学设计性质2：我们通过构造下面的情境来说明性质2.性质2的左边表示：从（n+1）个不同的小球中取出m个小球的组合数.现将这（n+1）个小球看成n个红球和1个黑球，从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类：第1类，不取黑球，从n个红球中，取出m个球，方法数为第2类，取出1个黑球和（m-1）个红球，因此，取出的方法数相当于从n个红球中，取出（m-1）个球，方法数为因此，根据分类加法计数原理，共有由此，我们得到：..；.种取法.【师生活动】问题5可以教师引导学生一起完成，不过对于性质2和性质2的情境说明，学生可能悟不出来，需要以教师讲解为主.设计意图：通过实例分析得出组合数的性质2以及性质2的情境说明.教学设计思考1如何理解组合数的性质1？提示：性质1反映了组合数的对称性，当时，通常不直接计算转化，而是用性质思考2组合数的性质2的特点及作用是什么？提示：特点是左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.要注意性质的顺用、逆用、变形用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要减少计算量.“合二为一”；变形式注意灵活运用.设计意图：通过思考，帮助学生理解组合数的性质，并学会灵活应用它们解决问题.教学设计三、典例分析例1计算：（1）；（2）【师生活动】学生在练习本上计算，教师找两名学生板演，然后共同订正.解（1）；..（2）设计意图：利用组合数公式直接进行计算，培养学生数学运算能力.教学设计例2已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形.【师生活动】教师引导学生完成以下分析，并找一名学生完成解答.分析已知“任何3个点均不在同一直线上”，所以在12个点中任取3个点都可以构成一个三角形，且这3个点不必考虑顺序，如△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA都表示同一个三角形.因此，这是一个从12个不同元素中取出3个元素的组合问题.解依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形，可画的三角形的个数，就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数，即.因此，一共可以画220个三角形.设计意图：通过应用组合数公式解决实际问题，培养学生的知识运用能力.教学设计四、课堂小结教师引导学生回顾本节课所学知识，1.组合数的概念2.组合数公式3.组合数的性质五、布置作业教材第169页习题5-3A组第1~4题.教学设计板书设计3.2组合数及其性质1.组合数（1）组