河北省永年县第二中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

永年二中2017—2018第二学期高二理科数学期中考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z=(m+3)+(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(,1)B.(,3) C．(1,+∞)D．(∞,)2．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②3．若x，y∈N*，且，则满足条件的不同的有序数对(x，y)的个数是()A．15B．12C．5D．44．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为()．A．24B．18C．16D．6ξ－101Pabc5．随机变量ξ的分布列如图所示：若a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝（）A．B．eq\f(2,3)C．D．6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.67．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如下图所示，则成绩X位于区间(51,69]的人数大约是()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.A．997 B．954C．682 D．3418．已知某产品连续4个月的广告费x1(千元)与销售额y1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①eq\i\su(i＝1,4,x)i＝18，eq\i\su(i＝1,4,y)i＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8(用最小二乘法求得)。那么广告费用为6千元时，可预测销售额约为()A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元9．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%10．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有()A．60种B．100种C．300种D．600种11.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(4,3)C．2D.eq\f(8,3)12.已知函数f(x)＝x3－3x，若在△ABC中，角C是钝角，则()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(sinA)<f(sinB)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式(x＋y)3的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．14.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．

16、已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是__________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在中，三个内角，，的对边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的值.常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计3018、(本小题满分12分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖.已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为eq\f(4,15).(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.

19题图FESDCBA19、(本小题满分12分)已知四棱锥的底面是正方形，底面，19题图FESDCBA（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的大小．20．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望.21、(本题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－eq\f(1,2)，求证：直线AB过x轴上一定点．22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)。(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程。(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个零点，求实数m的取值范围。

永年二中2017—2018第二学期高二理科数学期中考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z=(m+3)+(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是A.(,1) B.(,3) C．(1,+∞) D．(∞,)解析：要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足解得3<m<1,故选A.2．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A．②①③ B．③②①C．①②③ D．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．【答案】D3．若x，y∈N*，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序数对(x，y)的个数是()A．15 B．12C．5 D．4解析：当x＝1时，y＝1,2,3,4,5，有5种；当x＝2时，y＝1,2,3,4，有4种；当x＝3时，y＝1,2,3，有3种．根据分类加法计算原理，得5＋4＋3＝12.答案：B4．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为()．A．24B．18C．16D．6解析T2＝Can－1(2b)1＝C·2an－1·b，所以2n＝8，n＝4，所以C＝C＝6.答案D5．若随机变量X～B(n,0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.64解析：∵X～B(n,0.6)，∴E(X)＝np＝0.6n＝3，∴n＝5，∴P(X＝1)＝C×0.61×0.44＝3×0.44，选C.6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.6解析：选D设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝＝＝＝0.75.7．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如下图所示，则成绩X位于区间(51,69]的人数大约是()A．997 B．954C．682 D．341解析：由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝9，∴P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(51<X≤69)＝0.6827.∴人数大约为0.6827×1000≈682.答案：C8．已知某产品连续4个月的广告费x1(千元)与销售额y1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①i＝18，i＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程为＝x＋中的＝0.8(用最小二乘法求得)。那么广告费用为6千元时，可预测销售额约为()A．3.5万元 B．4.7万元C．4.9万元 D．6.5万元解析因为i＝18，i＝14，所以＝，＝，因为回归直线方程为＝x＋中的＝0.8，所以＝0.8×＋，所以＝－，所以＝0.8x－。x＝6时，可预测销售额约为4.7万元，故选B。9．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10% B．20%C．30% D．40%[答案]B[解析]设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为＝20%.10．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有()A．60种 B．100种C．300种 D．600种解析：5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C＝10(种)方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CCC＝60(种)，故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10×60＝600(种)．答案：D11.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A.B．C．2D.[答案]B[解析]由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或－2.故所求面积S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝.12.已知函数f(x)＝x3－3x，若在△ABC中，角C是钝角，则()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(sinA)<f(sinB)解析：选A∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，又A、B都是锐角，且A＋B<，∴0<A<－B<，∴sinA<sin＝cosB，故f(sinA)>f(cosB)，故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设(x－2)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．答案3614.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析：∵X～B，∴D(X)＝3××＝.答案：15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.答案：S＋S＋S＝S16、已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是__________．[解析]若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在中，三个内角，，的对边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的值.17、解一：（1）∵，∴,∴整理得，即,解得∴.（2）由（1）及余弦定理得①，又，∴②，由①②得③.∵∴代入③得.解二：∵，∴，整理得，∴，∴.（2）由（1）及余弦定理得①，又，∴②，由①②得③.∵，∴代入③得.18、为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖.常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，＝，解得x＝6.常喝不常喝合计肥胖628不肥胖41822合计102030(2)由已知数据可求得K2＝≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A，B，C，D，女生为E，F，任取两人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽出一男一女的概率是P＝.19、已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点。（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的大小．20.解：(1)底面,所以底面是正方形,所以所以平面又平面，所以平面平面（2）证明：如图所示建立空间直角坐标系，点为坐标原点，所在的直线分别为轴.设.由题意得，,，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，，设平面的法向量为，则令，则设二面角的平面角为，则.显然二面角的平面角为钝角，所以，即二面角的大小为.20．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望.解析：(1)设事件A表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1－.所以P(A)＝×＝.因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X＝0，P(X＝0)＝×2＝.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X＝1，P(X＝1)＝×2＋××＋××＝＝.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X＝2，P(X＝2)＝××＋××＋××＝＝.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X＝3，P(X＝3)＝×2＝.X的分布列如下表：X0123P所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.21、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)