151　全称量词与存在量词高一上学期数学学案（自主预习题型研析当堂温习分层练习）（人教2019A版专用）

全称量词与存在量词（人教2019A版专用）目录目录【自主预习】 2【题型研析】 2【题型一】全称量词命题与存在量词命题的识别 2【题型二】含有量词命题的真假判断 5【题型三】依据含量词命题的真假求参数取值范围 7【当堂温习】 11【分层练习】 14考试要求：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.素养要求：全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升数学抽象素养；通过含量词命题的真假判断及应用，提升逻辑推理素养.自主自主预习一、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).二、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”题型研析题型研析【题型一】全称量词命题与存在量词命题的识别一、单选题1．（2425高一上·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（

）A．，B．，C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等2．（2324高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形C．平行四边形的对角线互相平分 D．，二、多选题3．（2324高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．矩形的对角线互相平分且相等B．对任意非正数c，若，则C．有些菱形不是平行四边形D．对任意实数x，不等式恒成立4．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A． B．C．菱形的对角线互相垂直 D．任意四边形均有外接圆三、填空题5．（2223高一·全国·课堂例题）下列语句中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是．①菱形的四条边相等；②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；③负数的立方根不等于0；④至少有一个负整数是奇数．6．（2324高一上·山东·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数．其中，存在量词命题的个数为．参考答案：题号1234答案BCABDAC1．B【分析】根据全称量词的定义即可求解.【详解】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词，故选：B2．C【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及真假判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题；B中，该命题是存在量词命题且是真命题；C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题；D中，该命题是存在量词命题且是假命题.故选：C.3．ABD【分析】ABD选项，为全称量词命题，且可推出为真命题；C选项为存在量词命题，错误.【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确；B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确；C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误；D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题，因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确.故选：ABD4．AC【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.【详解】对于A，“”是全称量词，且由于，故对，为真命题，故A正确；对于B，“”是存在量词，故B错误；对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确，对于D，任意四边形不一定有外接圆，对角和为的四边形，有外接圆；对角和不是的四边形，没有外接圆，故D错误.故选：AC.5．①②③④【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题；②含有全称量词“所有”，是全称量词命题；③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题；④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.故答案为：①②③，④6．2【分析】根据全称量词和存在量词即可求解.【详解】（1）和（4）是全称量词命题，（2）和（3）是存在量词命题.故答案为：2.解题策略：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【题型二】含有量词命题的真假判断一、单选题1．（2223高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（

）（1）；（2）；（3），方程恰有一解；（4）两个无理数的和一定是无理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2324高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（

）A．， B．所有能被3整除的数都是奇数C．， D．，二、多选题3．（2324高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（）A．，B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．是无理数，是无理数D．存在，使得4．（2425高三上·黑龙江伊春·开学考试）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．B．C．至少存在两个质数的平方是偶数D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列三、填空题5．（2324高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是.①，；②，x为方程的根；③，；④，，使．6．（2324高一上·山西大同·阶段练习）命题是(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是命题(填“真”或“假”)．参考答案：题号1234答案CAABCBD1．C【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得.【详解】对于（1），取，，（1）错误；对于（2），取，，（2）正确；对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误；对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误，所以假命题的个数是3.故选：C2．A【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解.【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题，对于B，“所有”是全称量词，故B是全称命题，对于C，由于，所以选项C为假命题，对于D，，是全称量词命题，故选：A3．ABC【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项判断即得.【详解】对于A，，，如，A正确；对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确；对于C，是无理数，是无理数，如，C正确；对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误.故选：ABC4．BD【分析】运用含有量词的命题的概念，结合特值法可解.【详解】“”不是存在量词命题，A错误.，故B正确.因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误.内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确.故选：BD.5．①④【分析】逐项判断命题真假即可.【详解】①正确：恒成立；②错误：由，解得；③错误：；④正确：满足题意.故答案为：①④.6．存在量词命题真【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举列子可说明是真命题.【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题．故答案为：存在量词命题；真.解题策略：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要举一个反例.【题型三】依据含量词命题的真假求参数取值范围一、单选题1．（2324高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A．0,4 B． C． D．2．（2425高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2324高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．4．（2324高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列说法正确的有（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“”的充分不必要条件C．命题，成立的充要条件是D．已知集合，，若，则实数的取值集合为三、填空题5．（2324高一上·四川成都·开学考试）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为．6．（2324高二下·江西南昌·期末）若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是．参考答案：题号1234答案CDACDAB1．C【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围.【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题，因为，，所以，又因为，所以，故选：C.2．D【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，，则，令，，因为，所以在上单调递增，所以的最大值是，故，则的一个必要不充分条件是，故D正确；、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误.故选：D．3．ACD【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可.【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立，即，因，故有：在上恒成立，设，因，故得：，则，即得：，依题意，应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项.故选：ACD.4．AB【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断AB选项；利用存在量词命题的真假求出的取值范围，可判断C选项；利用集合的包含关系求出的取值集合，可判断D选项.【详解】对于A选项，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的必要不充分条件，A对；对于B选项，且，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件，B对；对于C选项，若命题成立，则，因为，当时，函数最小值，即，所以，，即命题，成立的充要条件是，C错；对于D选项，当时，，当时，，因为，，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为，D错.故选：AB.5．【分析】根据命题为假，得到，解得答案.【详解】命题“，”是假命题，故，解得或.故答案为：.6．【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由“，使得成立”为假命题，可得“，使得成立”为真命题，设，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.解题策略：依据含量词命题的真假求参数取值范围：(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.当堂当堂温习一、单选题1．（2324高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．，C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形2．（2425高一上·全国·课堂例题）有下列四个命题：①，；②，；③，；④，x为29的约数．其中真命题的个数为（

）A．1 B．2C．3 D．4二、多选题3．（2324高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．4．（2324高一上·吉林·阶段练习）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（

）A．存在实数，使B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是三、填空题5．（2223高一上·天津武清·阶段练习）下列四个命题：①，；②，；③，；④至少有一个实数x，使得．其中真命题的序号是．6．（2425高三上·宁夏石嘴山·开学考试）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为.参考答案：题号1234答案BCBCAB1．B【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论.【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；对于B，易知“，”是全称量词命题，且由可得，所以是真命题，即B正确；对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意；对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；故选：B2．C【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法，逐一判断各个命题得解.【详解】对于①，这是全称量词命题，由对任意实数都成立，得，①为真命题；对于②，这是全称量词命题，当时，不成立，②为假命题；对于③，这是存在量词命题，当或时，有成立，③为真命题；对于④，这是存在量词命题，当时，x为29的约数成立，④为真命题，所以真命题的个数为3.故选：C3．BC【分析】由全称命题为真命题求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若命题“，”是真命题，则，因为，，，所以，原命题为真命题的一个充分不必要条件是BC选项.故选：BC.4．AB【分析】根据存在量词命题的定义，结合存在量词命题的真假判定，逐项判定，即可求解.【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确；B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确；C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确；D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确.故选：AB.5．①④【分析】结合全场量词命题和存在量词命题的定义，即可依次求解.【详解】对于①，，当且仅当时等号成立，故①正确；对于②，，故②错误；对于③，令时，，故③错误；对于④，当时，，故④正确.所以真命题的序号是①④.故答案为：①④.6．【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，题“”为真命题，当时，由可得，不符合题意，当时，根据题意知不等式恒成立则，解之可得.故答案为：分层分层练习【基础篇】一、单选题1．（2324高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数C．每个四边形的内角和都是360° D．，2．（2324高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得3．（2023高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（

）A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似4．（2324高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（

）A．有一个，使得B．对有些，使得C．任选一个，使得D．至少有一个，使得二、多选题5．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）下列命题中错误的有（

）A．存在整数，使得B．，一元二次方程无实数根C．D．能被2整除6．（2324高一上·陕西榆林·期中）下列存在量词命题中，是假命题的是（

）A．B．至少有一个，使能同时被2和3整除C．D．有些自然数是偶数7．（2122高一上·江西·期中）命题，是假命题，则实数b的值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题8．（2324高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？（1）是的充要条件（2）（3），使得（4）若为无理数，则为无理数9．（2324高一上·湖北襄阳·阶段练习）若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是．10．（2223高二下·山东泰安·期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是．四、解答题11．（2023高一·全国·专题练习）（1）已知对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）已知存在实数，使，求实数的取值范围．12．（2122高一上·山东济南·阶段练习）已知命题，命题,若命题都是真命题，求实数的取值范围．参考答案：题号1234567答案CBACABCACBCD1．C【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解.【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.故选：C.2．B【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误．故选：B3．A【分析】根据存在量词的含义判断即可.【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.故选：A.4．C【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可.【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选：C.5．ABC【分析】利用整除的意义判断AD；计算判别式判断B；取计算判断C.【详解】对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式不成立，A错误；对于B，对于一切实数a，方程中，此方程必有实数根，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，，，是正奇数，当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确.故选：ABC6．AC【分析】计算出即可判断A；举例即可判断BD；根据即可判断C．【详解】对于A，，即，解得，所以是假命题；对于B，6能同时被2和3整除，所以是真命题；对于C，因为所有实数的绝对值非负，即，所以是假命题；对于D，2既是自然数又是偶数，所以是真命题．故选：AC．7．BCD【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.【详解】由，，得，.由于命题p是假命题，所以是真命题，所以在时恒成立，则，解得.故选：BCD.8．（1）（2）（3）【分析】逐一判断命题的真假即可.【详解】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题；对（2）当时，，，故（2）是真命题；对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则，令，则，故（3）为真命题；对（4）取，，可以验证（4）是假命题.故答案为：（1）（2）（3）9．【分析】根据命题为假，知该命题的否定为真，求的，再由为真，求的，即可得出实数的取值范围.【详解】命题为假，所以该命题的否定为真，则，解得；命题为真，则.因为命题为假且为真，从而.故答案为：.10．【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.【详解】因为“，使得”是假命题，所以“，使得”是真命题，所以，解得，故答案为:.11．（1）；（2）.【分析】（1）（2）利用恒成立、能成立问题结合已知直接求解作答.【详解】（1）由于对任意的都有，则只需大于或等于x的最大值，即.（2）由于存在实数，使，则只需大于或等于x的最小值，即.12．．【分析】通过命题的真假关系，求得命题都是真命题时实数的取值范围取交集即可.【详解】解：①命题是真命题，则当时，，解得，不满足条件；当时，要使得，必有，解得，命题是真命题时．②命题是真命题，则有，即，解得：或．综上①②，命题都是真命题时，．【能力篇】一、单选题1．（2324高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（

）A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等C．， D．对任意，，都有二、多选题2．（2223高一上·陕西西安·期末）关于命题“”，下列判断正确的是（

）A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题C．该命题是真命题 D．该命题是假命题三、填空题3．（2324高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为．四、解答题4．（2324高一上·云南曲靖·期中）已知集合．(1)若，求实数的值；(2)若命题为真命题，求实数的值．参考答案：题号12答案DBC1．D【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，，都有，即，D选项正确.故选：D2．BC【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD.【详解】是存在量词命题，A选项错误B选项正确；时，成立，命题为真命题，即C正确D错误.故选：BC3．【分析】分别根据命题的真假求出参数a的范围，即可求得答案.【详解】命题p：，若p是真命题，则：，；命题q：，使得成立，若命题q为真命题，则．所以命题q是假命题时，，综上，参数a的取值范围为：，即故答案为：4．(1)4(2)0【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案；（2）根据两个方程有公共解可求实数的值．【详解】（1）因为，