椭圆的简单几何性质讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性-

专题3.2椭圆的简单几何性质【基本知识梳理】知识点1：椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长等于2b，长轴长等于2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.知识点2：椭圆的离心率椭圆的离心率：e＝eq\f(c,a)∈(0,1)．注意点：(1)e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).(2)离心率的范围为(0,1)．(3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.知识点3：椭圆的对称性范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以x代替x，以y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.【题型1根据椭圆的有界性求范围或最值】【例1】（20222023∙高二下∙黑龙江大庆∙开学考）以为焦点的椭圆上有一动点M【详解】因为为椭圆的焦点，所以，，所以由，所以椭圆的标准方程为：，如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大，且最大值为，故答案为：3.【变式11】（20232024∙高三上∙湖南师大附中∙模拟）已知椭圆x216+y212=1的左顶点为A．−16,0B．−8,0C．0,8D．0,16【解题思路】解法一：由题意可得，A−4,0，F2,0，设Mx0,y0.表示出MA⋅MF=14x【解答过程】解法一：由题意知A−4,0，F2,0，设则MA⋅MF=−4−x0,−因为x0216+y所以0≤MA解法二：由题意知A−4,0，F设Mx0,y0，取线段AF的中点N则MA⋅MF=MA+MF2−MA因为x0216+y所以0≤MA故选：D．【变式12】（20232024∙高二上∙江苏扬州∙期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（A.13 B.14 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆，可设，其中，则，其中，因为，所以，即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意.故选：A.【变式13】（20232024∙高二上∙福建厦门∙期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可.【详解】椭圆，则，，所以，设，，则，所以，又，所以当时，，当时，，即的取值范围是.故答案为：.【题型2椭圆的对称性的应用】【例2】（20232024∙高二上∙湖北黄冈∙期中）已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（）A.20 B. C.36 D.30【答案】D【解析】【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，，利用即可求解．【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称

设椭圆的左焦点为，由已知a=6,则，同时

∴

故选：D．【变式21】（20222023∙高二上∙四川乐山∙期末）已知椭圆C:x225+y29A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解题思路】根据椭圆的对称性及cos∠【解答过程】当F1为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2当F2为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2设椭圆C的上顶点为B，由椭圆C:x225+y29=1，可得a2则BF1=所以cos∠F1所以存在4个点满足以P为直角顶点的△PF故满足本题条件的点P共有8个.故选：D.【变式22】（20222023∙高二上∙江苏南京∙期中）若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，可得．所以四边形的面积为8.故答案为：8【题型3利用椭圆的几何性质求标准方程】【例3】（20232024∙高二上∙浙江杭州∙期中）过点A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.故选：D【变式31】（20232024∙高二上∙山东∙期中）已知椭圆的焦点为和，离心率为，则的方程为（

A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意可得，，即可求出、，从而得解.【详解】依题意可得，，所以，所以，所以方程为.故选：B【变式32】（20222023∙高二上∙山东临沂∙期中）已知椭圆的焦点在A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆焦点在轴，设出方程，结合题干条件列出方程组，求出，得到椭圆方程.【详解】因为椭圆的焦点在轴，所以设椭圆方程为，则，且，解得：，所以椭圆的标准方程为.故选：D【变式33】（20232024∙高二上∙浙江宁波∙期A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，又，所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，故选：BD【题型4椭圆的焦距与长轴、短轴】【例4】（20232024∙高二上∙福建南平∙期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由离心率公式首先求得参数的值，进一步可得以及长轴长.【详解】因为方程表示椭圆，所以，从而，解得，所以，则椭圆的长轴长为.故选：C.【变式41】（20232024∙高二上∙重庆∙期中）曲线A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等【答案】B【解析】【分析】根据，得到，再利用a，b，c的关系求解.【详解】解：因为，所以，则，，所以两曲线长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故选：B【变式42】（20232024∙高二上∙甘肃∙期中）（多选）关于椭圆A．长轴长为4B．焦距为C．离心率为D．左顶点的坐标为【答案】ABC【变式43】（20232024∙高二上∙重庆∙期中）（多选）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（A. B.离心率C.短轴长为2，长轴长为4 D.不可能是钝角【答案】AD【解析】【分析】利用椭圆定义及性质逐一判断即可.【详解】椭圆，，，A正确；离心率，B错误；短轴长为，长轴长为，C错误；当点P在椭圆短轴端点处时，最大，此时，得，故不可能是钝角，D正确.故选：AD.【题型5求椭圆的离心率】【例5】（20232024∙高二上∙山东临沂∙期中）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，分析可知，四边形为矩形，，求出、，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：因为直线关于原点对称，椭圆也关于原点对称，直线与椭圆交于点、，则、也关于原点对称，所以为、的中点，又因，则四边形为矩形，所以，则，所以，，，由椭圆的定义可得，故该椭圆的离心率为.故选：A.【变式51】（20232024∙高二上∙上海浦东新区∙期中）已知，，是椭圆（）左，右焦点，P为椭圆上一点，为等腰三角形，，则C的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由题设，结合余弦定理得到椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.【详解】由为等腰三角形，，则，又，可得，所以，可得.故答案为：【变式52】（20232024∙高二上∙浙江∙期中）在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________【答案】##【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解.【详解】因为，所以，因为与互补，且，由余弦定理可得，可得，所以.故选：C．【变式53】（20232024∙高二上∙山东泰安∙期末）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，由可得点的坐标，由三点共线得建立关系即得.【详解】由题意得，设，又，所以，即，解得，即，又由三点共线得.所以，整理得，所以.故选：B.【变式54】（20232024∙高二上∙重庆∙期中）（多选）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（）A.椭圆的离心率为B.椭圆的长轴长为C.若点是线段的中点，则的斜率为D.的面积最大值为【答案】BCD【解析】【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出点坐标，得到的斜率；D选项，在C选项基础上，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值.【详解】AB选项，由题意得，故，故椭圆的离心率为，长轴长为，A错误，B正确；C选项，设不过原点且斜率为1的直线为，联立得，由，解得，设，则，则，故，故的斜率为，C正确；D选项，由C选项可知，，点到直线的距离为，故的面积为，因为，所以，故当时，的面积取得最大值，最大值为，D正确.故选：BCD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．【题型6求椭圆的离心率的取值范围】【例6】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙月考）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是【答案】【解析】【分析】根据椭圆的性质分析可得，进而可求离心率.【详解】设椭圆E的上顶点为Q，则，则，又因为，则，即E的离心率的取值范围是．故答案为：.【变式61】（20222023∙高二上∙四川雅安∙期中）已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．【详解】解：连接，与左右焦点，的连线，由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，在三角形中，，所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故，即，可得，所以椭圆的离心率.故选：A．【变式62】（20232024∙高二上∙山东∙期中）已知焦点在轴上的椭圆，点，当时，上有且仅有一点到点的距离最小，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆上任意一点，可得出，可知在时取得最小值，结合二次函数的基本性质可得出，可得出，再结合可得出该椭圆离心率的取值范围.【详解】设椭圆上任意一点，则，由对称性可知：在时取得最小值，又因为二次函数对称轴为，所以，即，所以，又因为，所以.故选：A.【变式63】（20222023∙高二上∙山东枣庄∙期中）已知椭圆是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】设出点坐标，将转化为离心率的形式，从而求得离心率的取值范围.【详解】设，则，由于恒成立，即，，，由于，所以，所以，两边除以得，即，解得.所以椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：【题型7椭圆的焦点三角形问题】【例7】（20232024∙高三上∙重庆∙期末）已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积.【答案】(1)(2)(1)解：因为椭圆的离心为，则，所以，即，又，即，所以，所以椭圆C的标准方程为；(2)解：因为，，由，即，所以，所以.【变式71】（20232024∙高二上∙全国∙课时练习）设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.故选：D.【变式72】（20232024∙高二上∙内蒙古∙期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）A.椭圆的离心率为 B.的周长为4C.若，则的面积为3 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；对B，的周长为，故B错误；对C，，，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：AD【变式73】（20232024∙高二上∙浙江温州∙期中）（多选）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（）A.椭圆的长轴长是9 B.椭圆焦距是C.存在使得 D.三角形的面积的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】，所以，对于A：因为，所以长轴为，A错误；对于B：因为，所以焦距为，B正确；对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，此时，，所以，所以此时为钝角，所以存在使得，C正确；对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，此时，D正确，故选：BCD【题型8椭圆的实际应用问题】【例8】（20232024∙高二上∙山东潍坊∙期中）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（

A． B．C． D．【答案】A【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率.【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，则由已知可得，两式相加可得，两式相减可得，则，，所以离心率.故选：A.【变式81】（20232024∙高三下∙河北∙模拟）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是