第七章第二节等差数列

第二节等差数列课程标准1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1an=d(n∈N*,d通项公式设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n1)d等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b2.等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,an,nSn=na1,d,nSn=na1+n(【微点拨】(1)等差数列前n项和公式可变形为Sn=d2n2+(a1d2)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B(2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值.a1<0,d>0,则Sn存在最小值.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+(nm)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2mSm,S3mS【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2C.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数D.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列【解析】选BD.A中从第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;BD正确;C中如果数列为0,0,0,0,…则其通项公式不是一次函数.2.(选择性必修第二册P14例1·变题型)已知等差数列an的通项公式为an=5n+3,则它的公差为(A.3 B.3 C.5 D.5【解析】选D.依题意,等差数列an的通项公式为an=5n+3,a1=2,a2=所以公差为a2a1=5.3.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()A.25 B.22 C.20 D.15【解析】选C.等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10,所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,则d=a8-a48-4=1,a1则S5=5a1+5×42d=10+10=204.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为125,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(A.(875,+∞) B.(∞,3C.(875,325) D.(8【解析】选D.由题意可得a即125+9d>1,125【巧记结论·速算】已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)Snn也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差为(2)若数列{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则anbn(3)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n,则S偶S奇=nd,S奇S偶②若项数为2n1,则S偶=(n1)an,S奇=nan,S奇S偶=an,S奇S偶【即时练】1.设等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若对于任意的正整数n都有SnTn=2n+13【解析】对于等差数列的前n项和满足S2n1=(2n1)an,知道anbn=S2n-1T2n-1答案:72.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.则数列中间一项的值为________,项数为______.

【解析】设等差数列{an}的项数为2n1,所有的奇数项和为S,则S=n(a1+设所有的偶数项和为T,则T=(n-1)(a2TS=n-1n=261290=项数2n1=19,中间一项为a10,由S=10a10=290,得a10=29,所以此数列中间一项是29,项数为19.答案:2919【核心考点·分类突破】考点一等差数列的基本量运算[例1](1)在等差数列{an}中,a2=5,at=7,at+3=10,则其前t项的和为()A.12 B.22 C.23 D.25【解析】选B.d=at+3-所以t=4,d=1.St=S4=22.(2)在等差数列{an}中,a1+a22=2,a2+a4=2,则a5=(A.3 B.4 C.5 D.7【解析】选C.在等差数列{an}中,因为a1+a22=2,a2+a所以a解得a1=3,d=2,所以a5=a1+4d=3+8=5.(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2Sn=36,则n=________.

【解析】由题意知Sn+2Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.答案:8【解题技法】解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换求解.【对点训练】1.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=()A.n(3n1) B.nC.n(n+1) D.n【解析】选C.依题意得an+1=an+a1,即an+1an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列,an=2+2(n1)=2n,Sn=n(2+2n)2=2.在单调递增的等差数列{an}中,若a3=1,a2a4=34,则a1=(A.1 B.0 C.14 D.【解析】选B.由题知,a2+a4=2a3=2,又因为a2a4=34,数列{an}单调递增所以a2=12,a4=3所以公差d=a4-a所以a1=a2d=0.3.设an是等差数列,且a1=3,a2+a4=14,若am=41,则m=________【解析】因为a2+a4=2a3=14,所以a3=7,又a1=3,所以公差d=2,从而am=3+2(m1)=41,解得m=20.答案:20【加练备选】

1.在等差数列{an}中,a1=0,公差d≠0,若S9am=0,则m=________.【解析】由题意,am=S9=9a1+9×82d=36d=a37,所以m=37.

答案:37

2.已知公差为1的等差数列{an}中,a52=a3a6,若an=0,则n=________.

【解析】由a52=a3a6,有(a1+4)2=(a1+2)(a1+5)⇒a1=6,

从而an=6+(n1)×1=n7,

所以an=0时,得n=7考点二等差数列的判定与证明教考衔接教材情境·研习·典题类[例2](选择性必修第二册P25习题4.2T7(1))已知Sn是等差数列{an}的前n项和.证明Snn【证明】设等差数列{an}首项为a1,公差为d,因为Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1d2)n,所以Snn=d2n+(a1d2),所以SnnSn-1n-1=d2n【真题体验】(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选C.(解法一)甲:an为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(所以Snn=d2n+(a1d2),所以SnnSn-1n-1=d2n+(a1d2)[d2(n反之,乙:Snn即Sn+1n+1Snn=nS即nan+1-Snn(n+1)=t,则S则Sn1=(n1)ant·n(n1)(n≥2),两式相减得:an=nan+1(n1)an2tn,即an+1an=2t,对n=1也成立,因此an为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确(解法二)甲:an为等差数列,设数列an的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n则Snn=a1+(n-1)2d=因此Snn为等差数列,反之,乙:Snn即Sn+1n+1Snn=D,Snn即Sn=nS1+n(n1)D,Sn1=(n1)S1+(n1)(n2)D,当n≥2时,两式相减得:SnSn1=S1+2(n1)D,当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n1)D,又an+1an=a1+2nD[a1+2(n1)D]=2D为常数,因此an为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件[溯源点评]本题是教材习题的变式,融入了简易逻辑知识,考查学生的基本功,即逻辑推理、数学运算等核心素养.考点三等差数列的性质【考情提示】等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查等差数列知识过程中无处不在,涉及条件的转化,式子的变形,数值的运算等.角度1等差中项的应用与推广[例3](1)已知数列{an}满足2an=an1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选B.因为2an=an1+an+1(n≥2),所以an是等差数列由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,则n的值为A.18 B.19 C.20 D.21【解析】选D.因为{an}是等差数列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=n(a1+an)2=n(角度2等差数列求和[例4](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6S3,S9S6为等差数列,即2(S6S3)=S3+(S9S6),得到S9S6=2S63S3=45.(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=3n+1n【解析】因为数列an,bn为等差数列,且前n项和分别为An和B则a2+a5+a8b3+又AnBn=3n+1n+1,所以a所以a2+a5+a8b3答案:21角度3等差数列求最值[例5](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.方法一(邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.方法二(函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=2,故Sn=13nn(n1)=n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.方法三(图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112=7时,Sn取得最大值【解题技法】等差数列前n项和最值的求法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;(2)邻项变号法①当a1>0,d<0时,满足am≥0,am+1≤0的项数m②当a1<0,d>0时,满足am≤0,am+1≥0的项数m【对点训练】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am1+am+1am21=0,S2m-1=39,A.39 B.20 C.19 D.10【解析】选B.已知数列{an}为等差数列,则am1+am+1=2am,则am1+am+1am21=0可化为2amam21=0,解得又S2m-1=(2m则m=20.2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=2022,S20242024________.

【解析】由等差数列的性质可得Snn也为等差数列,设其公差为d,则S20242024S所以S20252025所以S2025=4050.答案:40503.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.

【解析】由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得d<0,解得1<d<78答案:(1,78考点四等差数列在实际生活中的应用[例6](1)“今有竹9节,下部分3节总容量4升,上部分4节总容量3升,且自下而上每节容积成等差数列,问自下而上第四节和第五节容积各是多少?”按此规律,自下而上第四节和第五节容积之和为()A.4722 B.13166 C.12766 D【解析】选A.依题意,令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为{an},n∈N*,n≤9,其公差为d,于是得:a1即有3a解得a5=6766,d=7所以自下而上第四节和第五节容积之和为a4+a5=2a5d=4722(2)《孙子算经》是我国古代的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个正整数为a,当a∈[520,1314]时,符合条件的所有a有________个.

【解析】设a=3m+2=5n+3,m,n∈N,则3m=5n+1,当m=5k时,n=3k15,不合题意,同理当m=5k+1,5k+3,5k+4时,n均不存在当m=5k+2时,n=3k+1,符合题意,其中k∈N.故a=15k+8,k∈N,即a为公差为15的等差数列,令520≤15k+8≤1314,k∈N,解得35≤k≤87,故符合条件的所有a有53个.答案:53【解题技法】等差数列实际应用的解题策略(1)审清题意,确定是否为等差问题,依据就是相邻项之间的差是否为同一个常数;(2)对于等差问题,确定其首项、公差、项数、通项公式、前n项和,把实际问题转化为等差数列基本量