杭州初中数学八年级下册期中典型试卷2

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷2

一.选择题（共10小题）

1.（2014•孝感）下列二次根式中，不能与我合并的是（）

A.需B.V8C.V12D.我

2.（2015秋•南岸区期末）已知x=-2是方程/-4x+c=0的一个根，则c的值是（）

A.-12B.-4C.4D.12

3.（2020春•丽水期末）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26

分，方差分别为：Sq，2=2.5,S乙2=67,S丙2=9,ST2=H.2,则这四个小组体育测试

成绩最稳定的是（）

A.甲组B.乙组C.丙组D.丁组

4.（2015春•婺城区期末）下列运算正确的是（）

A.｛（-13）2=73B.3我-2后=1

C.-3泥+注=-2遥D.V36=±6

5.（2021春•余杭区期中）把方程/-4x-1=0转化成（x+〃?）2=〃的形式，则机，〃的值

是（）

A.2,3B.2,5C.-2,3D.-2,5

6.（2021春•海淀区校级期末）在nABCD中，ZA：NB=3：1,则（）

A.22.5°B.45°C.135°D.157.5°

7.（2021春•拱墅区期中）若3＜。＜4,则Ja2-6a+9等于（）

A.2a-7B.-1C.7-2aD.1

8.（2020春•迁西县期末）如图，菱形ABC。的顶点C在直线MN上，若Nl=50°,Z2

=20°,则N2OC的度数为（）

9.（2021秋•东兴区校级期中）实数a,b,c满足4a-2b+c=0,则（）

A.b1-4ac>0B.廿-4ac》0C.b2-4ac<0D.b2-4«c<0

10.（2021春•拱塞区校级期中）如图，在平行四边形ABCC中，对角线AC、8。相交于点

O,AC=A8,E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF,若AB=26,BC

=20,GF^10,则图中阴影部分的面积为（）

A.60aB.20娓C.120D.130

二.填空题（共6小题）

11.（2019春•顺义区期末）如果一个多边形的内角和为540°,那么这个多边形是.

12.（2019•海宁市一模）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假

设.

13.（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x-3）=5化为一般形式是；其中

二次项系数是.

14.（2017春•南陵县期末）某班共有50名学生，平均身高为168cm,其中30名男生的平

均身高为nOcm,则20名女生的平均身高为cm.

15.（2021春•余杭区期中）已知三角形两边的长分别是4和3,第三边的长是一元二次方程

x2-8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是.

16.（2021春♦余杭区期中）如图，在QA8CZ）中，AD=2AB,F是的中点，作CE_LA8,

垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接ERCF,则以下结论：

①NDCF”NBCD；

2

®EF=CF；

③SCBEC<2SACEF；

④/

一定成立的是.

B

三.解答题(共7小题)

17.(2021春•拱墅区期中)为了响应教育部关于学生使用手机的规定，鼓励师生课外阅读,

某校开展“放下手机，手捧书香”的活动.为了解学生课外阅读情况，抽样调查了八年

级部分学生每周用于课外阅读的时间：

【数据收集】随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单

位：min)：

60,81,120,140,70,81,10,20,100,81,30,60,81,50,40,110,130,146,

90,100.

【整理数据】

课外阅读时间x(min)0«4040«8080^x<120120^x<160

等级DCBA

人数35a4

【分析数据】

平均数中位数众数

80bc

(1)直接写出a、b、C的值；

(2)如果八年级现有学生280人，估计该年级等级为“B”的学生有多少名？

18.(2021春•拱墅区期中)计算：

(1)(V2+V3)2;

(2)我昭.

V12

19.(2021春•拱墅区校级期中)已知：如图，在aABC。中，点E、F分别在A。、BC上,

EF与BO相交于点O,AE=CF.求证：BD、EF互相平分.

20.(2021春•拱嬖区校级期中)某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一

面靠墙，这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材

料可使新建板墙的总长为28米.

(1)这个车棚的长和宽分别应为多少米？

(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放

自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

21.(2021春•萧山区期中)如图，在平行四边形ABC力中，ZABC,的平分线分别

交A£)于点E,F,BE,CF相交于点G.

(1)求证：BE1CF；

22.(2021•安州区校级模拟)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销

售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当

的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润.经市场调查发现，如果每件童

装降价1元，那么平均可多售出2件.

(1)设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；(用x的代

数式表示)

(2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元;

(3)平均每天盈利1200元是最大日盈利吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出

平均日盈利的最大值.

23.(2020春•嘉兴期末)如图，将矩形ABC。绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

使点B落在AO边上的点E处，连接BG交CE于点连接BE.

(1)求证：BE平分/AEC；

(2)取BC中点P,连接P”，求证：PH//CG；

(3)若BC=2A8=2,求8G的长.

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷2

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2014•孝感）下列二次根式中，不能与我合并的是（）

A.JlB.Vsc.A/12D.A/18

【考点】同类二次根式.

【专题】常规题型.

【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，

可得答案.

【解答】解：A、衽半故A能与值并；

B、我=2亚，故2能与我合并；

C、A/12=2V3-故C不能与M合并；

D、Vl8=3V2-故。能与正合并；

故选：C.

【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式.

2.（2015秋♦南岸区期末）已知x=-2是方程/-4x+c=0的一个根，则c的值是（）

A.-12B.-4C.4D.12

【考点】一元二次方程的解.

【分析】由x=-2为已知方程的解，将x=-2代入方程求出c的值.

【解答】解：把x=-2代入x2-4x+c=0,得

（-2）2-4X（-2）+c=0,

解得c--12.

故选：A.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就

是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

3.（2020春•丽水期末）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26

分，方差分别为：S甲2=2.5,S乙2=[5.7,S丙2=%5丁2="2,则这四个小组体育测试

成绩最稳定的是（）

A.甲组B.乙组C.丙组D.丁组

【考点】方差；算术平均数.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【分析】根据方差的意义求解可得.

2

【解答】解：甲2=2.5,S/=15.7,S丙2=9,5T=H.2,

:.S甲2<S丙2Vs丁乙2,

...这四个小组体育测试成绩最稳定的是甲组，

故选：A.

【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波

动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与

其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

4.（2015春•婺城区期末）下列运算正确的是（）

A.｛（-13）2=73B.3亚-2亚=1

C.-3泥+遥=-2遥D.736=±6

【考点】实数的运算.

【分析】A、根据二次根式的性质计算即可判定；

8、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；

C、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；

。、根据算术平方根的定义即可判定.

【解答】解：人.（-13）2=13,故选项错误；

B、3y-2&=料，故选项错误；

C、-3粕+&=-275-故选项正确；

。、/玩=6，故选项错误.

故选：C.

【点评】此题主要考查了实数的运算.无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样

的.注意：F表示。的算术平方根.在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便.

5.（2021春•余杭区期中）把方程7-4x-1=0转化成（x+而2=〃的形式，则加，〃的值

是（）

A.2,3B.2,5C.-2,3D.-2,5

【考点】解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；数据分析观念.

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式

后即可得出答案.

【解答】解：1=0,

.'•A2-4x=l,

贝！Ix2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5,

・・m=~2,〃=5,

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

6.(2021春•海淀区校级期末)在nABCO中，ZA：NB=3：1,则NQ=()

A.22.5°B.45°C.135°D.157.5°

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】利用NA和NB互补，加上已知的角度之比可得NA度数，那么

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

AZA+ZB=180°,ND=NB,

VZA：ZB=3：1,

：.NB=45°,

:.ND=NB=45°.

故选：B.

【点评】考查了平行四边形的性质，用到的知识点为：平行四边形的对角相等，邻角互

补.

7.(2021春•拱墅区期中)若3＜。＜4,则｛22-62+9一型一封等于()

A.2a-7B.-1C.7-2aD.1

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；符号意识.

【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案.

【解答】解：；3Va<4,

=Y（a-3）2-…

—a-3-（4-a）

=a-3-4+a

=2a-7.

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各式是解题关键.

8.（2020春•迁西县期末）如图，菱形A8C。的顶点C在直线MN上，若Nl=50°,Z2

=20°,则NBDC的度数为（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

【考点】菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根据菱形的性质即可求出答案.

【解答】解：；Nl=50°,N2=20°,

：.ZBCD=\\0°,

在菱形ABCD中，

BC=CD,

；.2BDC=35°,

故选：C.

【点评】本题考查菱形，解题的关键熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型.

9.（2021秋•东兴区校级期中）实数a,b,c满足4a-28+c=0,则（）

A./>2-4«c>0B.b2-4ac^0C.M-4ac<0D."-4acW0

【考点】配方法的应用.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【分析】用a,c表示出力，再利用配方法求解即可.

【解答］解：•"=2"+工，

2

.,.b2-4ac—（4a2+2ac+Ac2）-4ac—（2a-工）2>0,

42

故选：B.

另解：

•实数a,b,c满足4a-2〃+c=0,

二可以看作-2是方程0+云+c=0的一个根，

.".h2-4ac20,

故选：B.

【点评】本题考查了代数式，配方法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

10.（2021春•拱里区校级期中）如图，在平行四边形ABCZ）中，对角线AC、8。相交于点

O,AC=AB,E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF若A8=26,BC

=20,GF=10,则图中阴影部分的面积为（）

A.60aB.20A/5C.120D.130

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】连接E。，EG,OF,依据EO是AABC的中位线，即可得出EO//BC,EO=lfiC

2

=10,进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部5>=SAAOE+SAEOP+S"GP=S

MO£+SAEOB=5AA«O,求得△ABO的面积即可得出结论.

【解答】解：如图所示，连接EO,EG,OF,

•••平行四边形A8CZ）中，对角线相交于点。，

二0是AC的中点，

又是AB边的中点，

...EO是△A8C的中位线，

J.EO//BC,EO=1-BC=10,

2

又：GF=10,

：.EO=GF,

四边形EOFG是平行四边形，

S&EOP+S^FGP=—SnHiKEOFG=S^EOG,

2

又，：EO//BG,

:.S&EOG=S&EOB,

，SAEOP+S"GP=S&EOB,

S阴影部分=S&AOE+S&EOP+SAFGP=SAAOE+S&EOB=S^ABO,

\'AC=AB=26f8C=20,

等腰AABC中BC边上的高为,262_]O2=24,

SAABC=AX20X24=240,

2

是AC的中点，

S^ABO——SMBC——X240=120,

22

••・阴影部分的面积为120,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题

时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.

二.填空题（共6小题）

11.（2019春•顺义区期末）如果一个多边形的内角和为540。，那么这个多边形是五边

形.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形.

【分析】设多边形的边数为〃，根据题意得出（〃-2）X1800=540°,即可求出边.

【解答】解：设多边形的边数为"，则（〃-2）X1800=540。，

解得：n=5.

故答案为：五边形

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关

键，注意：边数为〃的多边形的内角和=（«-2）X1800.

12.（2019•海宁市一模）用反证法证明命题''三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设同

一三角形中展多有一个锐角.

【考点】反证法.

【专题】反证法.

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可.

【解答】解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形

中最多有一个锐角.

故答案为：同一三角形中最多有一个锐角.

【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论

不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以

了，如果有多种情况，则必须一一否定.

13.（2021春•拱堂区校级期中）方程（3x+2）（2x-3）=5化为一般形式是67-5x71

=0;其中二次项系数是6.

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】一元二次方程的一般式：a^+bx+c—O（a¥0,a,b,c为常数）.叫二次项，

a叫二次项系数；以叫一次项，人叫一次项系数；c叫常数项.把方程（3x+2）（2x-3）

=5先去括号，再移项，最后合并即可.

【解答】解：（3x+2）（2x-3）=5,

去括号：6/-9x+4x-6=5,

移项：67-9x+4x-6-5=0,

合并同类项：6/-5x71=0.

故一般形式为：6/-5x-11=0,

二次项系数为：6.

故答案为：6?-5x-11=0；6.

【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，可

以得到一元二次方程的一般形式，写出二次项系数.

14.（2017春•南陵县期末）某班共有50名学生，平均身高为168a”，其中30名男生的平

均身高为170a",则20名女生的平均身高为165cm.

【考点】算术平均数.

【专题】计算题.

【分析】设20名女生的平均身高为XC”，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题.

【解答】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm；设

20名女生的平均身高为xcm,

则有：30X170+20Xx=i68,

50

解可得x=165（cm）.

故答案为165.

【点评】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：7--2------n

n

15.（2021春•余杭区期中）已知三角形两边的长分别是4和3,第三边的长是一元二次方程

x2-8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是6或2\乐.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形的面积.

【分析】先解一元二次方程，再由三角形的面积公式求解.

【解答】解：解方程--8x+15=0,得xi=3,也=5.

当制=3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高为泥，所以该三角形的面

积是

当X2=5时，与另两边组成直角三角形，该三角形的面积=3X4+2=6.

【点评】此题综合性是比较强的，涉及到一元二次方程的解法、等腰三角形、直角三角

形的判定以及三角形面积的求法.

16.（2021春•余杭区期中）如图，在aABCD中，AD=2AB,F是AQ的中点，作CE_LA8,

垂足E在线段4B上（不与A、B重合），连接EF、CF,则以下结论：

①NDCF=LNBCD；

2

®EF=CF；

③S&BEC〈2S&CEF;

④/OFE=4NAEF.

一定成立的是①②③

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】延长EF,交C£＞延长线于M,分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判

定与性质得出△AEF丝/XOM凡得出对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】解：•.•尸是AO的中点，

：.AF=FD,

•.•在储88中，AD=2AB,

：.AF=FD=CD,

:.NDFC=NDCF,

".'AD//BC,

:"DFC=NFCB,

：.NDCF=NBCF,

：.ZDCF=1ZBCD,故①正确；

2

如图，延长EF,交cr＞延长线于用，

•.•四边形A8C。是平行四边形，

：.AB//CD,

：.NA=NMDF,

•.•尸为A£）中点,

：.AF=FD,

在△AEF和△DWF中,

<ZA=ZFDM

<AF=DF，

ZAFE=ZDFM

A(ASA),

:・FE=MF,NAEF=NM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

■:FM=EF,

・・・FC=」EM=FE,故②正确；

2

,:EF=FM,

:*S4EFC=S&CFM,BPS&ECM=2SACEF,

VAAEF^ADMF,

:・S〉AEF=SADMF,

S〉ECM=S四边形AEC£),

VS^ABC<S四边形AECQ,

故S^ABC<2S^CEF；，

,:SABEC<SAABC,

/.S&BEC<2SACEF；

故③成立；

设NFEC=x,则NFCE=无，

：.ZDCF=ZDFC=9^°-x,

AZEFC=180°-2x,

:・NEFD=900-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

：.ZDFE=3ZAEF,故④不正确.

正确的有①②③，

故答案为：①②③.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出

△AEF空△QMF是解题关键.

三.解答题（共7小题）

17.（2021春•拱墅区期中）为了响应教育部关于学生使用手机的规定，鼓励师生课外阅读,

某校开展“放下手机，手捧书香”的活动.为了解学生课外阅读情况，抽样调查了八年

级部分学生每周用于课外阅读的时间：

【数据收集】随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单

位：min）：

60,81,120,140,70,81,10,20,100,81,30,60,81,50,40,110,130,146,

90,100.

【整理数据】

课外阅读时间x（min）0«40404V8080^x<120120<x<160

等级DCB4

人数35a4

【分析数据】

平均数中位数众数

80bc

（1）直接写出a、b、c的值;

（2）如果八年级现有学生280人，估计该年级等级为“8”的学生有多少名？

【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数.

【专题】统计的应用；运算能力.

【分析】（1）用调查的总人数减去其他人数求出再根据中位数和众数的定义即可求出

b和c；

（2）用总人数乘以等级为“8”的学生所占的百分比即可.

【解答】解：（1）a=20-3-5-4=8（人），

把这些数从小大排列为：10,20,30,40,50,60,60,70,81,81,81,81,90,100,

100,110,120,130,140,146,

则中位数6=°1+°L=81(m/n)；

2

；81出现了4次，出现的次数最多，

工众数c=81(min).

（2）280义且=112（名），

20

答：该年级等级为“8”的学生有112名.

【点评】此题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）

重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果

中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的

那个数当作中位数.

18.（2021春•拱墅区期中）计算：

（1）（V2+V3）2；

（2）我占

V12

【考点】二次根式的混合运算；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案.

（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：（1）J^^=2+2y[^+3=5+2yf^.

⑵原式啸提唔需

=娓-近

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基

础题型.

19.（2021春•拱墅区校级期中）已知：如图，在。ABC。中，点、E、尸分别在A。、BC上，

E尸与BO相交于点O,AE=CF.求证：BD、E尸互相平分.

AE

O

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】连接BE、DF,由平行四边形的性质得出AQ=BC,AD//BC,再由AE=CF得

出则四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论.

【解答】证明：连接BE、DF,如图所示：

•.•四边形4BCD为平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

又，1"仃，

:.DE=BF,

四边形EBFD为平行四边形，

:.BD、E尸互相平分.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解

题的关键.

20.（2021春•拱墅区校级期中）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一

面靠墙，这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材

料可使新建板墙的总长为28米.

（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？

（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放

自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】(1)设平行于墙的边长为X米，则垂直于墙的边长为竺三米，根据建造车棚的

2

面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的

长度即可确定结论；

(2)设小路的宽度是〃？米，则停放自行车的区域可合成长为(10-%)米，宽为(8-

2m)米的长方形，根据停放自行车的面积为54平方米，即可得出关于，"的一元二次方

程，解之取其合适的值即可得出结论.

【解答】解：(1)设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为暨三米，

2

依题意得：x・28-x=80,

2

整理得：X2-28x4-160=0,

解得：xi=8,X2=2O.

又;这堵墙的长度为12米，

8,

A28-X^10

2

答：这个车棚的长为10米，宽为8米.

(2)设小路的宽度是〃？米，则停放自行车的区域可合成长为(10-%)米，宽为(8-

2m)米的长方形，

依题意得：(10-m)(8-2m)=54,

整理得：m2-14m+13=0,

解得：＞721=I,7/12=13.

当》2=1时，10-机=9,8-2/n=6,符合题意；

当机=13时，10-巾=-3,不合题意，舍去.

答：小路的宽度是1米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

21.(2021春•萧山区期中)如图，在平行四边形4BCQ中，ZABC,NBO的平分线分别

交AO于点E,F,BE,CF相交于点G.

(1)求证：BEVCF-,

(2)求证：AF=DE.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】(1)根据平行四边形两组对边分别平行可得/ABC+N8CZ)=180。，再根据角

平分线的性质可得工/OCB=90°,进而可得BE_LC/；

22

(2)根据等角对等边证得A8=AE、DC=DF,从而得到AE=OF,从而证得结论.

【解答】证明：(I)；四边形ABC。为平行四边形，

：.AB//DC,

：.ZABC+ZDCB^\SO°,

■:BE、CF分别平分/ABC与NOCB,

ZEBC=1.ZABC,NFCB=LNDCB,

22

NEBC+NFCB=!(ZABC+ZDCB)=90°,

2

，/BGC=180°-(NEBC+NFCB)=90°,

：.BE±CF；

(2)证明：在平行四边形ABC。中，

：.AD//BC,AB=DC,

：.NAEB=NEBC,

,:BE平分NABC,

NABE=NEBC,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

同理可得：DC=DF,

：.AE=DF,

：.AE-FE=DF-FE,

BPAF=DE.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是

掌握平行四边形的性质.

22.（2021•安州区校级模拟）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销

售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当

的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润.经市场调查发现，如果每件童

装降价1元，那么平均可多售出2件.

（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2%）件,每件盈利（40-x）元:

（用x的代数式表示）

（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元;

（3）平均每天盈利1200元是最大日盈利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出

平均日盈利的最大值.

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价

-进价，列式即可；

（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润=每件利润X销售数

量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；

（3）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2#件，根据总利润=每件利润X销售数

量，列式表示出总利润，根据二次函数的性质即可得出平均日盈利的最大值.

【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）

元，

故答案为:（20+2x）,（40-x）；

（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，

根据题意得：（120-80-%）（20+2%）=1200,

整理得：?-30x+200=0,

解得：xi=10,X2—20.

;为了扩大销售量，尽快减少库存，

，x=20.

答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；

（3）1200元不是最大日盈利.

设每件童装降价X元，则销售量为(20+2X)件，

根据题意得：(120-80-%)(20+2%)=(20+2%)(40-x)=-2?+60x+800=-2(%-

15)2+1250,

所以平均日盈利的最大值为1250元.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目

蕴含的等量关系是列方程求解的关键.

23.(2020春•嘉兴期末)如图，将矩形4BCO绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

使点B落在4。边上的点E处，连接BG交CE于点H,连接8E.

(1)求证：BE平分NAEC；

(2)取BC中点P,连接PH,求证：PH//CG-,

(3)若BC=248=2,求BG的长.

【考点】旋转的性质；角平分线的性质；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】S)根据旋转的性质得到CB=CE,求得NEBC=NBEC,根据平行线的性质得

到于是得到结论；

(2)如图1,过点8作CE的垂线BQ,根据角平分线的性质得到求得CG=

BQ,根据全等三角形的性质得到8H=G”，根据三角形的中位线定理即可得到结论；

(3)如图2,过点G作8c的垂线GM,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1),••矩形A8CD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

：.CB=CE,

:.NEBC=NBEC,

又YAD//BC,

：.ZEBC=4BEA,

:.NBEA=NBEC,

・・・3E平分NAEC；

(2)如图1,过点3作CE的垂线BQ,

〈BE平分N4EC,BALAE,BQA.CE,

：.AB=BQf

：.CG=BQ,

•：ZBQH=ZGCH=90°,BQ=AB=CG,/BHQ=NGHC,

：./\BHQ^/\GHC(AAS),

：.BH=GH,

即点”是3G中点，

又・・,点P是BC中点,

：.PH//CG；

(3)如图2,过点G作8c的垂线GM,

■:BC=2AB=2,

：.BQ=\f

：.ZBCQ=30°,

VZ£CG=90°,

・・・NGCM=60°,

,GM亭CM=|>

***BG=^/Y*

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中

位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

考点卡片

1.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①心0（双重非负性）.

②（g）2=aQ20）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

'a（a>0）

③、口=同=10（a=0）（算术平方根的意义）

|-a（a<0）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=Va,Vb（心0,后°）苧=干（心0,b>0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被

开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一

个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

3.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

例如：①1=4=遍:②1=G瓜=遍瓜

VaVaaVaWb（VaWb）（Va-Vb）a-b

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为

有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如：加-遂的有理化因式可以是加+如，也可以是a（加+“），这里的。可以是任意

有理数.

4.同类二次根式

同类二次根式的定义：

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个

二次根式叫做同类二次根式.

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类

二次根式.

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项.

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看

被开方数是否相同.

5.二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

6.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式a^+bx+c^O

(a#0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.

其中叫做二次项，。叫做二次项系数；以叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数匕和

常数项c可取任意实数，二次项系数。是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就

没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

7.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,也是一元二次方程o?+bx+c

=0(«^0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axr+bxx+c—O(aWO),ax^+bxi+c—O(aWO).

8.解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成(X+加)2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为这2+嬴+C=0(。#0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数,

则判定此方程无实数解.

9.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式

分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

10.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为“，十位数是从则这个两位数表示为10匕+”.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是①每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为“（1+尤）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

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