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文档简介
山东省禹城市综合高中2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,从集合A中任取一点P,则点P满足约束条件的概率为()A. B.C. D.2.的展开式中的系数是()A. B.C. D.3.《九章算数》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积为3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为()A.1升 B.升C.升 D.升4.抛物线准线方程为()A. B.C. D.5.已知双曲线方程为,过点的直线与双曲线只有一个公共点,则符合题意的直线的条数共有()A.4条 B.3条C.2条 D.1条6.一质点从出发,做匀速直线运动,每秒的速度为秒后质点所处的位置为()A. B.C. D.7.已知椭圆的左焦点是,右焦点是,点P在椭圆上,如果线段的中点在y轴上,那么()A.3:5 B.3:4C.5:3 D.4:38.我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话:“河有汛,预差夫一千八百八十人筑堤,只云初日差六十五人,次日转多七人,今有三日连差三百人,问已差人几天,差人几何?”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝,第一天派出65人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人,则目前一共派出了多少天,派出了多少人?”()A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人9.从集合中任取两个不同元素,则这两个元素相差的概率为()A. B.C. D.10.方程表示椭圆的充分不必要条件可以是()A. B.C. D.11.设A=37+·35+·33+·3,B=·36+·34+·32+1,则A-B的值为()A.128 B.129C.47 D.012.已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标满足,则的最小值为()A B.C. D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该几何体的体积为________.14.设是定义在上的可导函数,且满足,则不等式解集为_______15.已知直线与之间的距离为,则__________16.无穷数列满足:只要必有,则称为“和谐递进数列”,已知为“和谐递进数列”,且前四项成等比数列,,,则__________,若数列前项和为,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.(1)设,,求这个几何体的表面积;(2)设G是弧DF的中点,设P是弧CE上的一点,且.求异面直线AG与BP所成角的大小.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知圆,点P在圆上,过点P作x轴的垂线,垂足为是的中点,当P在圆M上运动时N形成的轨迹为C(1)求C的轨迹方程;(2)若点,试问在x轴上是否存在点M,使得过点M的动直线交C于两点时,恒有?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由19.(12分)已知函数.若图象上的点处的切线斜率为(1)求a,b的值;(2)的极值20.(12分)已知抛物线的焦点到准线的距离为,过点的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程;(2)求直线的方程.21.(12分)如图,在三棱柱中,=2,且,⊥底面ABC.E为AB中点(1)求证:平面;(2)求平面与平面CEB夹角的余弦值22.(10分)已知椭圆与直线相切,点G为椭圆上任意一点,,,且的最大值为3(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线与椭圆C交于不同两点E,F,点O为坐标原点,且,当的面积取最大值时,求的取值范围
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据圆的性质,结合两条直线的位置关系、几何概型计算公式进行求解即可.【详解】,圆心坐标为,半径为,直线互相垂直,且交点为,由圆的性质可知:点P满足约束条件的概率为,故选:C2、B【解析】根据二项式定理求出答案即可.【详解】的展开式中的系数是故选:B3、B【解析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列,根据上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程,联立即可求出首项和公差,根据求出的首项和公差,利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积【详解】解:设竹子自上而下各节的容积分别为:,,,,且为等差数列,根据题意得:,,即①,②,②①得:,解得,把代入①得:,则故选:B【点睛】本题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,属于中档题4、D【解析】由抛物线的准线方程即可求解【详解】由抛物线方程得:.所以,抛物线的准线方程为故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题5、A【解析】利用双曲线渐近线的性质,结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解:双曲线的渐近线方程为,右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点;②过点平行于渐近线时,直线与双曲线只有一个公共点;③设过的切线方程为与双曲线联立,可得,由,即,解得,直线的条数为1.综上可得,直线的条数为4.故选:A,.6、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】2秒后质点所处的位置为.故选:A【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,考查了基本知识掌握的情况以及学生的综合素养,属于基础题.7、A【解析】求出椭圆的焦点坐标,再根据点在椭圆上,线段的中点在轴上,求得点坐标,进而计算,从而求解.【详解】由椭圆方程可得:,设点坐标为,线段的中点为,因为线段中点在轴上,所以,即,代入椭圆方程得或,不妨取,则,所以,故选:A.8、B【解析】根据题意,设每天派出的人数组成数列,可得数列是首项,公差数7的等差数列,解方程可得所求值【详解】解:设第天派出的人数为,则是以65为首项、7为公差的等差数列,且,,∴,,∴天则目前派出的人数为人,故选:B9、B【解析】一一列出所有基本事件,然后数出基本事件数和有利事件数,代入古典概型的概率计算公式,即可得解.【详解】解:从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种,其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.故选:B.10、D【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围,结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆,则,解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选:D.11、A【解析】先化简A-B,发现其结果为二项式展开式,然后计算即可【详解】A-B=37-·36+·35-·34+·33-·32+·3-1=故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式,然后计算出结果,属于基础题12、B【解析】由数量积的坐标运算求得,令,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解:根据题意可得,、,所以,令,由约束条件作出可行域如下图所示,由得,即,由,得,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最小,有最小值为,即,所以故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,由,求得底面半径,进而得到高,再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,所以,解得,所以,所以圆锥的体积为:,故该几何体的体积为,故答案为:14、【解析】构造函数,结合题意求得,由此判断出在上递增,由此求解出不等式的解集.【详解】令,,故函数在上单调递增,不等式可化为,则,解得:【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.15、或##或【解析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可.【详解】方程可化为:,由平行直线间距离公式得:,解得:或.故答案为:或.16、①.2②.7578【解析】根据前四项成等比数列及定义可求得,根据新定义得数列是周期数列,从而易求得【详解】∵成等比数列,,,又,为“和谐递进数列”,,,,,…,数列是周期数列,周期为4,故答案为:2,7578三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成,分别求出后相加即可;(2)先根据条件得到面,通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可【小问1详解】上下两个扇形的面积之和为:两个矩形面积之和为:4侧面圆弧段的面积为:故这个几何体的表面积为:【小问2详解】如下图,将直线平移到下底面上为由,且,,可得:面则而G是弧DF的中点,则由于上下两个平面平行且全等,则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角,即为所求,则则直线与直线的夹角为18、(1);(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)设,根据中点坐标公式用N的坐标表示P的坐标,将P的坐标代入圆M的方程化简即可得N的轨迹方程;(2)假设存在,设M为(m,0),设直线l斜率为k,表示其方程,l方程和椭圆方程联立,根据韦达定理得根与系数关系,由,得,代入根与系数的关系求k与m关系即可判断.【小问1详解】设,因为N为的中点,,又P点在圆上,,即C轨迹方程为;【小问2详解】不存在满足条件的点M,理由如下:假设存在满足条件的点M,设点M的坐标为,直线的斜率为k,则直线的方程为,由消去y并整理,得,设,则由,得,即,将代入上式并化简,得将式代入上式,有,解得,而,求得点M在椭圆外,若与椭圆无交点不满足条件,所以不存在这样的点M【点睛】本题关键是由得,将几何关系转化为代数关系进行计算.19、(1)(2)极大值为,极小值为【解析】(1)求出函数的导函数,再根据图象上的点处的切线斜率为,列出方程组,解之即可得解;(2)求出函数的导函数,根据导函数的符号求得函数的单调区间,再根据极值的定义即可得解.【小问1详解】解:,,;【小问2详解】解:由(1)得,令,得或,,-1(-1,3)3+0-0+的极大值为,极小值为.20、(1);(2)或或.【解析】(1)根据给定条件结合p的几何意义,直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程,再与抛物线C的方程联立,再讨论计算,l斜率不存在时验证作答.【小问1详解】因抛物线的焦点到准线的距离为,于是得,所以抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时,设直线为,由消去y并整理得:,当时,,点是直线与抛物线唯一公共点,因此,,直线方程为,当时,,此时直线与抛物线相切,直线方程为,当直线的斜率不存在时,y轴与抛物线有唯一公共点,直线方程为,所以直线方程为为或或.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接与交于点O,连接OE,得到,再利用线面平行的判定定理证明即可;(2)根据,底面,建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,再根据底面,得到平面一个法向量,然后由夹角公式求解.【小问1详解】如图所示:连接与交于点O,连接OE,如图,由分别为的中点所以,又平面,平面,所以平面;【小问2详解】由,底面,故底面建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,设平面的一个法向量为:,则,即,令,则,则,因为底面,所以为平面一个法向量,所以所以平面与平面CEB夹角的余弦值为.22、(1)(2)【解析】(1)设点,根据题意,得到,根据向量数量积的坐标表示,得到
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