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文档简介
上海市徐汇区市级名校2025届数学高二上期末统考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,已知四棱锥,底面ABCD是边长为4的菱形,且,E为AD的中点,,则异面直线PC与BE所成角的余弦值为()A. B.C. D.2.“”是“函数在上有极值”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若方程表示圆,则实数m的取值范围为()A B.C. D.4.《莱茵德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把93个面包分给5个人,使每个人所得面包个数成等比数列,且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三,则最大的一份是()个A.12 B.24C.36 D.485.已知直线在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A或1 B.或C. D.16.在区间内随机取一个数则该数满足的概率为()A. B.C. D.7.在直三棱柱中,,M,N分别是,的中点,,则AN与BM所成角的余弦值为()A. B.C. D.8.已知,,,,则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.9.在棱长为2的正方体中,是棱上一动点,点是面的中心,则的值为()A.4 B.C.2 D.不确定10.展开式的第项为()A. B.C. D.11.若命题“,”是假命题,则实数的取值范围为()A. B.C. D.12.在等差数列中,,且构成等比数列,则公差等于()A.0 B.3C. D.0或3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若不等式的解集为,则________14.设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点,则的最大值为_____15.写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________16.已知四面体中,,分别在,上,且,,若,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,是平行四边形,已知,,平面平面.(1)证明:;(2)若,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值18.(12分)已知函数在处有极值.(1)求常数a,b的值;(2)求函数在上的最值.19.(12分)已知函数.(1)求的导数;(2)求函数的图象在点处的切线方程.20.(12分)如图,在三棱柱中,点在底面内的射影恰好是点,是的中点,且满足(1)求证:平面;(2)已知,直线与底面所成角的大小为,求二面角的大小21.(12分)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置,如图2所示,并使得平面BDC′⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=.图1图2(1)求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值;(2)在线段AD上是否存在一点M,使得⊥平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.22.(10分)设数列的前项和,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)记数列前项和,求使成立的的最小值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据异面直线的定义找出角即为所求,再利用余弦定理解三角形即可得出.【详解】分别取BC,PB的中点F,G,连接DF,FG,DG,如图,因为E为AD的中点,四边形ABCD是菱形,所以,所以(其补角)是异面直线PC与BE所成的角因为底面ABCD是边长为4菱形,且,,由余弦定理可知,所以,所以,所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为,故选:B2、B【解析】对求导,取得函数在上有极值的等价条件,再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解:,则,令,可得,当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,所以,函数在处取得极小值,若函数在上有极值,则,,因为,但是由推不出,因此是函数在上有极值的必要不充分条件故选:B3、D【解析】根据,解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆,则,解得.所以实数m的取值范围为.故选:D4、D【解析】设等比数列的首项为,公比,根据题意,由求解.【详解】设等比数列的首项为,公比,由题意得:,即,解得,所以,故选:D5、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时,直线过原点,;当截距不为零时,,.综上:或.故选:A.6、C【解析】求解不等式,利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】求解不等式可得:,由几何概型的概率计算公式可得:在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选:.7、D【解析】构建空间直角坐标系,根据已知条件求AN与BM对应的方向向量,应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系,∴,,,,∴,,∴,所以AN与BM所成角的余弦值为.故选:D8、C【解析】不等式性质相关的题型,可以通过举反例的方式判断正误.【详解】若、均为负数,因为,则,故A错.若、,则,故B错.由不等式的性质可知,因为,所以,故C对.若,因为,所以,故D错.故选:C.9、A【解析】画出图形,建立空间直角坐标系,用向量法求解即可【详解】如图,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,因为正方体棱长为2,点是面的中心,是棱上一动点,所以,,,故选:A10、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为,所以展开式的第项为,故选:B11、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假,写出该命题的否定命题,再求实数的取值范围【详解】解:命题“,”是假命题,则它的否定命题“,”是真命题,时,不等式为,显然成立;时,应满足,解得,所以实数的取值范围是故选:A12、D【解析】根据,且构成等比数列,利用“”求解.【详解】设等差数列的公差为d,因为,且构成等比数列,所以,解得,故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、11【解析】根据题意得到2与3是方程的两个根,再根据两根之和与两根之积求出,进而求出答案.【详解】由题意得:2与3是方程的两个根,则,,所以.故答案为:1114、4【解析】设,写出、的坐标,利用向量数量积的坐标表示有,根据椭圆的有界性即可求的最大值.【详解】由题意知:,,若,∴,,∴,而,则,而,∴当时,.故答案为:【点睛】关键点点睛:利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.15、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令双曲线为,根据离心率可得,结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程,进而写出对应的渐近线方程.【详解】由题设,可令双曲线为且,∴,则,故为其中一个标准方程,此时渐近线方程为.故答案为:,(答案不唯一).16、【解析】连接,根据题意,结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解:连接∵四面体中,,分别在,上,且,∴∴∴.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】(1)推导出,取BC的中点F,连结EF,可推出,从而平面,进而,由此得到平面,从而;(2)以为坐标原点,,所在直线分别为,轴,以过点且与平行的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【详解】(1)∵是平行四边形,且∴,故,即取BC的中点F,连结EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面,∵平面∴(2)∵,由(Ⅰ)得以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图),则∴设平面的法向量为,则,即得平面一个法向量为由(1)知平面,所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为,则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点(1)建立坐标系时要确保条件具备,即要证明得到两两垂直的三条直线,建系后要准确求得所需点的坐标(2)用平面的法向量求二面角的大小时,要注意向量的夹角与二面角大小间的关系,这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角,然后作出正确的结论18、(1);(2)最大值为-1,最值为-5.【解析】(1)根据给定条件结合函数的导数建立方程,求解方程并验证作答.(2)利用导数探讨函数在上的单调性即可计算作答.【小问1详解】依题意:,则,解得:,当时,,当时,,当时,,则函数在处有极值,所以.【小问2详解】由(1)知:,,,当时,,当时,,因此,在上单调递增,在上单调递减,于是得,而,,则,所以函数在上的最大值为-1,最值为-5.19、(1);(2).【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数定义域为,所以函数.【小问2详解】由(1)知,,而,于是得,即,所以函数的图象在点处的切线方程是.20、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)分别证明出和,利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)以C为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,用向量法求二面角的平面角.【小问1详解】因为点在底面内的射影恰好是点,所以面.因为面,所以.因为是的中点,且满足.所以,所以.因为,所以,即,所以.因为,面,面,所以平面.【小问2详解】∵面,∴直线与底面所成角为,即.因为,所以由(1)知,,因,所以,.如图示,以C为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以,设,由得,,即.则.设平面BDC1的一个法向量为,则,不妨令,则.因为面,所以面的一个法向量为记二面角的平面角为,由图知,为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21、(1)(2)不存在,理由见解析【解析】(1)利用垂直关系,以点为原点,建立空间直角坐标系,分别求平面和平面的法向量和,利用公式,即可求解;(2)若满足条件,,利用向量的坐标表示,判断是否存在点满足.【小问1详解】∵,E为BD的中点∴CE⊥BD,又∵平面⊥平面ABD,平面平面,⊥平面,∴⊥平面ABD,如图以E原点,分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),(0,0,),∴=(-1,-,2),=(-1,0,),=(1,,0),设平面的法向量为=(x,y,z),则,取z=1,得平面的一个法向量=(,1,1),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),则取b=1,得平面FBA的一个法向量为=(-,1,0),∴设平面ABD与平面的夹角为θ,则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得平面,设(0≤λ≤1),则(x,y+,z)=(-1,,0),即(x,y+,z)=(-λ,,0),∴,,z=0,∴,是平面的一个法向量由∥,得,此方程无解.
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