上海市徐汇区市级名校2025届数学高二上期末统考试题含解析

上海市徐汇区市级名校2025届数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的菱形，且，E为AD的中点，，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．“”是“函数在上有极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A B.C. D.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个A.12 B.24C.36 D.485．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.16．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．已知，，，，则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.9．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定10．展开式的第项为（）A. B.C. D.11．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于（）A.0 B.3C. D.0或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若不等式的解集为，则________14．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____15．写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________16．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）已知函数在处有极值.（1）求常数a，b的值；（2）求函数在上的最值.19．（12分）已知函数.（1）求的导数；（2）求函数的图象在点处的切线方程.20．（12分）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足（1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小21．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.图1图2（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.22．（10分）设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据异面直线的定义找出角即为所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【详解】分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG，如图，因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以，所以（其补角）是异面直线PC与BE所成的角因为底面ABCD是边长为4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，故选：B2、B【解析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：，则，令，可得，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在处取得极小值，若函数在上有极值，则，，因为，但是由推不出，因此是函数在上有极值的必要不充分条件故选：B3、D【解析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D4、D【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D5、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.6、C【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】求解不等式可得：，由几何概型的概率计算公式可得：在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选：.7、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D8、C【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.若、，则，故B错.由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.若，因为，所以，故D错.故选：C.9、A【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A10、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B11、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A12、D【解析】根据，且构成等比数列，利用“”求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且构成等比数列，所以，解得，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、11【解析】根据题意得到2与3是方程的两个根，再根据两根之和与两根之积求出，进而求出答案.【详解】由题意得：2与3是方程的两个根，则，，所以.故答案为：1114、4【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.【详解】由题意知：，，若，∴，，∴，而，则，而，∴当时，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.15、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令双曲线为，根据离心率可得，结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程，进而写出对应的渐近线方程.【详解】由题设，可令双曲线为且，∴，则，故为其中一个标准方程，此时渐近线方程为.故答案为：，(答案不唯一).16、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【详解】（1）∵是平行四边形，且∴，故，即取BC的中点F，连结EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴设平面的法向量为，则，即得平面一个法向量为由（1）知平面，所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论18、（1）；（2）最大值为-1，最值为-5.【解析】(1)根据给定条件结合函数的导数建立方程，求解方程并验证作答.(2)利用导数探讨函数在上的单调性即可计算作答.【小问1详解】依题意：，则，解得：，当时，，当时，，当时，，则函数在处有极值，所以.【小问2详解】由(1)知：，，，当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，于是得，而，，则，所以函数在上的最大值为-1，最值为-5.19、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数定义域为，所以函数.【小问2详解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函数的图象在点处的切线方程是.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【小问1详解】因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足．所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面,所以平面.【小问2详解】∵面，∴直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，，因，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以，设，由得，，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21、（1）（2）不存在，理由见解析【解析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.【小问1详解】∵，E为BD的中点∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如图以E原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，设平面的法向量为=(x，y，z)，则，取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，则取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，∴设平面ABD与平面的夹角为θ，则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一个法向量由∥，得，此方程无解.