2021年人教版数学中考专题训练 相交线与平行线

相交线与平行线

例1（2020•杭州市西湖区）如图，有下列3个结论：①能与

ZDEF构成内错角的角的个数是2；②能与NEFB构成同位角的

角的个数是1;③能与NC构成同旁内角的角的个数是4,以上结

论正确的是.

变式1（2020•杭州市萧山区）如图，直线AB,CD相交于

点O,射线OEJ_CD,给出下列结论：①N2和N4互为对顶角;

②N3+N2=180°；③/5与N4互补；④N5=N3—N1；其

中正确的是（填序号）.

例2(2019♦天台)如图，已知Nl+N2=180°,NACB=NAED.求证：NB=

Z3.

变式2（2020•新昌）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，已知Na=76°,

贝|JN1=()

A.28°30°

C.38°D.45°

例3（2020♦东阳）已知：如图所示，/ABD和NBDC的平分线交于E,BE交CD

于点F,Zl+Z2=90°.1«

（1）求证:AB//CD；

（2）试探究N2与N3的数量关系.F'n

例4（2020•宁波市郸州区）如图，AD〃BC,FC±CD,Z1=Z2,ZB=60°.

(1)求NBCF的度数；\------\

)-----------

(2)如果DE是NADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请/.-----

说明理由.

例5如果两个角的差的绝对值等于90°,就称这两个角互为垂角，例如：Nl=

120°,Z2=30°,|Z1-Z2|=9O°,则N1和N2互为垂角.(本题中所有角都是指

大于0°且小于180°的角)

(1)如图1所示，O为直线AB上一点，OC_LAB,OE1OD,图中哪些角互为垂

角？(写出所有情况)

(2)如图2所示，O为直线AB上一点，ZAOC=60°,将NAOC绕点O顺时针

旋转n。(0<n<120),OA旋转得到OAJOC旋转得到OC,当n为何值时，Z

AOC'与NBOA，互为垂角？

巩固练习

一、选择题

1.（2020•东阳）下列图形中N1与N2不是同位角的是（）

2.（2020•杭州市萧山区）如图，△ABC沿BC所在的直线平移到4DEF的位置,

且C点是线段BE的中点，若AB=5,BC=2,AC=4,则AD的长是（）

A.5B.4C.3D.2

第2题图第3题图第4题图

3.（2020•余姚）如图所示，将一把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=

40°,则N2的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.（2020•绍兴市越城区）如图，已知直线a,b被直线c所截，且a〃b,Nl=48°,

那么N2的度数为（）

A.42°B.48°C.52°D.132°

.5.（2020•杭州市萧山区）如图,AB/7CD,EF±CD,Zl=60°,则N2等于

（）

A.60°B.40°C.30°D.35°

第5题图第6题图

.6.(2020•杭州市西湖区)如图，直线AB〃CD,点F在直线AB上，点N在直线CD

上，ZEFA=25°,ZFGH=90",ZHMN=25°,NCNP=30°,则NGHM=

()

A.45°B.50°C.55D.60°

二、填空题

7.（2020•丽水）如图，已知AB〃CD,Zl=55°,则N3的度数是

第7题图第8题图

8.（2020•衢州）已知：如图,在四边形ABCD中,AB1AC,垂足为A.如果NB=

ZD=50°,ZCAD=40°,那么NBCD=度.

9.（2019•临海）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O,AB

//OC,DC与OB交于点E,则NDEO的度数为.

\\,八

第9题图第10题图第11题图

.10.（2020•宁波市邺州区）如图，在直角^ABC中，NC=90°,AC=4,WAABC

沿CB向右平移得到ADEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于.

.11.(2020•东阳)已知直线AB〃CD,点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线

PB按顺时针方向以每秒4。的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线

QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转.

(1)若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转30秒时，PB'与Q。的位置关系为

________»

(2)若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为

秒时，PB'〃QC'.

三、解答题

12.(2020•绍兴市越城区)如图，点E在直线AB上，点F在直线CD上，若Nl=

N2,ZC=ZB,则N3=N4,请说明理由.\\

/

,/-—»----

第12题图

13.(2020•杭州市余杭区)如图，在三角形ABC中，D,E,F分别是三边上的点,

且DE平分NADF,ZADF=2ZDFB.

(1)判断DE与BC是否平行，并说明理由;

(2)若EF〃AB,NDFE=3NCFE,求NADE的度数.第13题图

.14.(2020•义乌)在正方形网格中，每个小正方形的边长均

为1个单位长度，△ABC的三个顶点A,B,C都在格点(正

方形网格的交点称为格点)上.现将AABC平移，使点A平

移到点D,点E,F分别是B,C的对应点.

(1)请在图中画出平移后的aDEF；第14题图

(2)ADEF的面积为；

(3)在网格中画出一个格点P,使得SABCP=：SADEF.(画尽可能多)

.15.(2020•宁波市北仑区)宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设

置两座可以旋转的射灯.如图1,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,

灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射.若灯A转动

的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即PQ〃MN,

且NBAM：ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=°；

(2)若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯

A转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点

C,过点C作NACD交PQ于点D,且NACD=120°,请探究：在转动过程中，Z

BAC与NBCD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变,

请说明理由.

第15题图

参考答案

例题精选

例1①②

变式11①②④

例2VZ1+ZDF£=18O°,Zl+Z2=180°,:.NDFE=N2,：.AB//EF,

：.Z3=ZADE,,：ZACB=ZAED,：.DE//BC,：.ZB=ZADE,.*.ZB=Z3.

变式2:A

例3(1)证明："；BE、DE分别平分/AB。、NBDC,/.Zl=|ZABD,Z2=1

ZBDC,VZ1+Z2=9O°,AZABD+ZB£>C=180°,.•.A5〃C£)(同旁内角互补，

两直线平行)；

(2)：。£平分/5。0AZ2=ZFDE.VZ1+Z2=90°,/.ZBEZ)=180°-(Zl

+Z2)=ZD£F=90°,.•.N3+NFQE=90°,.,.Z2+Z3=90°.

例4(\\：AD//BC,，Nl=N8=60°,又；N1=N2,AZ2=60°,又

'：FC±CD,；.NBCF=90°-60°=30°；(2)OE〃AB.证明：".,AD//BC,Z2=60°,

.*.ZADC=120°,又是NADC的平分线，.,.NADE=60°,又；N1=6O°,工

Z1=ZADE,J.DE//AB.

例5(1)互为垂角的角有4对：NEOB与NDOB,/EOB与/EOC,/A。。与

ACOD,NA。。与NAOE；

(2)如图：•.•/AOC=60°,将NAOC绕点。顺时针旋转/,...NAOC'=60°

+n0,ABOA'=180°~n,A|(60°+n°)-(180°~n)|=90°,：.2n-120°

=±90°,，〃=15或〃=105,将NAOC绕点。顺时针旋转15°或105。时，ZAOC'

与NBOA互为垂角.

巩固练习

一、选择题

1.D2,B3.B4.B5.C

第6题图

6.D

二、填空题

7.55°8.1309.75°10.8

11.(1)PB'±QC'(2)15或63或135

三、解答题

12.理由是：VZ1=Z2,N2=N5,，N1=N5,：.AF//DE,.\N3+NA=

180°,•;NC=NB,：.AB//CD,AZ4+ZA=180°,.\Z3=Z4.

第13题图

13.(1)£)E〃BC.理由：平分/4。尸，:.NADF=2NEDF,XVZADF=

2ADFB,:.NEDF=NDFB,：.DE//BC；(2)设N£FC=a,则ND尸E=3NCFE=

3a,'：EF//AB,：.NB=NEFC=a,XVDE//BC,:.NADE=NB=a,平分

ZADF,DE//BC,:.NDFB=NEDF=NADE=a,'：ZDFB+ZDFE+ZCFE=

180°,a+3a+a=180°,解得a=36°,：.ZADE=36°.

14.(1)如图所示，△/)£/即为所求；(2)Z\D£b的面积为：4X4—gx2X3—3

X1X4-|X2X4=7；(3)如图所示，点P即为所求

第14题图

15.(1)60；(2)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行，①当0Vf<90时，