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文档简介
2025届福建省厦门湖滨中学数学高三第一学期期末考试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.2.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.33.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离4.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线的方程为()A.或 B.或 C.或 D.5.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件6.已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为A. B. C. D.7.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在上的频率为,则估计样本在、内的数据个数共有()A. B. C. D.9.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要10.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.的展开式中的系数是-10,则实数()A.2 B.1 C.-1 D.-212.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.14.不等式的解集为________15.在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.16.已知函数的最大值为3,的图象与y轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.(1)证明:轴;(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为,,求的值.19.(12分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.20.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求证:21.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.22.(10分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.2、A【解析】
直接将两边同时乘以求出复数,再求其模即可.【详解】解:将两边同时乘以,得故选:A【点睛】考查复数的运算及其模的求法,是基础题.3、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r4、A【解析】
过作与准线垂直,垂足为,利用抛物线的定义可得,要使最大,则应最大,此时与抛物线相切,再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直,垂足为,,则当取得最大值时,最大,此时与抛物线相切,易知此时直线的斜率存在,设切线方程为,则.则,则直线的方程为.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及到抛物线的定义,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.5、A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.6、B【解析】
直线的倾斜角为,易得.设双曲线C的右焦点为E,可得中,,则,所以双曲线C的离心率为.故选B.7、C【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.8、B【解析】
计算出样本在的数据个数,再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知,样本在的数据个数为,样本在的数据个数为,因此,样本在、内的数据个数为.故选:B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.9、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。10、D【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.【详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D.【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.11、C【解析】
利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.12、B【解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由条件得到函数的对称性,从而得到结果【详解】∵f=f,∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f=±2.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性,注意对称轴必过最高点或最低点,属于基础题.14、【解析】
通过平方,将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由得,解得,所以解集是。【点睛】本题主要考查无理不等式的解法。15、【解析】
利用,解出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】,且,,,该双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程,考查了双曲线基本量的关系,考查了运算能力,属于基础题.16、【解析】,由题意,得,解得,则的周期为4,且,所以.考点:三角函数的图像与性质.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)直线过定点.【解析】
(1)设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,设出点坐标并代入切线的方程,同理将点坐标代入切线的方程,利用韦达定理求得线段中点的横坐标,由此判断出轴.(2)求得点的纵坐标,由此求得点坐标,求得直线的斜率,由此求得直线的方程,化简后可得直线过定点.【详解】(1)设切点,,,∴切线的斜率为,切线:,设,则有,化简得,同理可的.∴,是方程的两根,∴,,,∴轴.(2)∵,∴.∵,∴直线:,即,∴直线过定点.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数,即求直线的普通方程;(2)将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,韦达定理得,点在直线上,则,即可求出的值.【详解】(1)由可得,即,即,曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程(t为参数),消去得,即直线的普通方程为.(Ⅱ)点的直角坐标为,则点在直线上.将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,整理得,直线与曲线交于两点,,即.设点所对应的参数分别为,由韦达定理可得,.点在直线上,,.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用,属于中档题.19、(1),;(2).【解析】
(1)根据面积公式和数量积性质求角及最大边;(2)根据的长度求出,再根据面积比值求,从而求出.【详解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因为在中,,所以,因为(当且仅当时取等),所以长的最小值为;(2)在三角形中,因为为中线,所以,,所以,因为,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因为为角平分线,,,或2,所以,或,所以.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用,属于中档题.20、(1)(2)见解析【解析】
(1)分三种情况去绝对值,求出最大值与已知最大值相等列式可解得;(2)将所证不等式转化为2ab≥1,再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证.【详解】(1)∵,∴.∴当时,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,当且仅当时等号成立,∴.令,.则在上单调递减.∴.∴当时,.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中根据绝对值的定义,合理去掉绝对值号,及合理转化恒成立问题是解答本题的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.21、(1)当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)求出,对分类讨论,分别求出的解,即可得出结论;(2)由(1)得出有两解时的范围,以及关系,将,等价转化为证明,不妨设,令,则,即证,构造函数,只要证明对于任意恒成立即可.【详解】(1)的定义域为R,且.由,得;由,得.故当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由(1)知当时,,且.当时,;当时,.当时,直线与的图像有两个交点,实数t的取值范围是.方程有两个不等实根,,,,,,即.要证,只需证,即证,不妨设.令,则,则要证,即证.令,则.令,则,在上单调递增,.,在上单调递增,,即成立,即成立..【点睛】本题考查函数与导数的综合应用,涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明,构造函数函数是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.22、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向
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