图形变换中的重要模型之旋转模型（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题16图形变换中的重要模型之旋转模型

几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有

线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的

性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，

找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、

线段及面积问题。

模型i.三角形中的旋转模型

1）常规计算型

例1.（2020•四川绵阳•中考真题）如图，在四边形ABCD中，ADI3BC,13ABe=90。，AB=2币,

AD=2,将AABC绕点C顺时针方向旋转后得AAEC,当A的恰好经过点D时，AB'CD为

等腰三角形，若Bg=2,则A4=（）

【答案】A

【分析】过。作。EL8C于E,则ND£C="EB=9O。，根据矩形的性质得3E=AZ）=2,

DE=AB=2近,根据旋转的性质得到孝MC=?A8C90?,B'C=BC,A'C=AC,

孝1。1=都8,推出△8Q为等腰直角三角形，得到设8：匕BC=x,则

CDfx，CE=x-2,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：过。作DEJ_8C于E,

则N£)EC=N£)EB=90°,AD//BC,ZABC=9O°,:.ZDAB=ZABC=90°,

..•四边形是矩形，:.BE-AD^2,DE=AB=2近,

将AABC绕点C顺时针方向旋转后得△A9C,

\多DBC=?ABC90?,RC=BC,A!C=AC,翱6=秒CB,，△A034s483,...四=如，

B®BC

△现CD为等腰三角形，,•.△BQ为等腰直角三角形，\CD=&BK,

设既BC=x,则C£)=&x，CE=x-2,CD2=CE2+DE2.

\(75x)2=(X-2了+(2々尸，...x=4(负值舍去)，.•.8C=4,

AC=VAB2+BC2=2sf\A','——='A24VH,故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.

变式1.(2022•山西•中考真题)综合与实践

问题情境：在RfAABC中，回BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EOF中回E£)F=90°,将三

角板的直角顶点。放在R3ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点例为边AB的中点时，试判断四边形AMDV的

形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当NB=NME»B时，求

线段CN的长：

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长.

2525

【答案】(1)四边形AMEW为矩形；理由见解析；(2)CN=—；(3)AN=—.

【分析】(1)由三角形中位线定理得到MD〃AC,证明妫=0AAW=(3A〃)N=9O。，即可证明

结论；

(2)证明ANDC是等腰三角形，过点汽作可608c丁点G,证明△CG/V0AC48,利用相似

三角形的性质即可求解;(3)延长ND,使D//=QM证明△BDHEECQN,推出BH=CN,^DBH^C,

证明E1MB〃=9O。，设AM=AN=x,在放中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【详解】解：(1)四边形4W£W为矩形.理由如下：回点M为AB的中点，点。为BC的中

点，

^\MD//AC,aa4M£>+EL4=180°,0SL4=9O°,回&4河。=90°,

0fflEDF=9O°,EBA=GL4M£>=EIM£W=90。，四边形AMDV为矩形；

(2)在Rf△ABC中，04=90°,AB=6,AC=800B+@C=9O°,BC=Y/AB2+AC2=10.

回点。是BC的中点，0CD=yfiC=5.BEE。尸=90°,00A/Dfi+l31=9Oo.

a2B=0MO8,001=0C.0ND=NC.过点N作NGEI8C于点G,则EICGN=90°.

0CG=yCD=|.GE）C=I3C,E）CGN=E）CA8=90°,0ACGW3ACAZ?.

0—=—,BpjCN,0C/V=—；

C4CBl=—8

（3）延长ND至“，使£>"=£W,连接M”，NM,BH,

SMD^HN,S\MN=MH,回。是8c中点，图BD=DC,

又aa8£W=EICOMWDH^CDN,⑦BH=CN,1308/7=团C,

0384090°,EBC+a4BC=90°,WDBH+BABC=90°,WMBH=90",

®AM=AN=x,则8M=6-x,BH=CN=S-x,MN=MH=^2x,

2575

在心回BMH中，BM2+BH2=MH2,团（6-疗+（8-疗=（拒疗，解得x=亍，（3线段AN的长为亍.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾

股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

2）最值（范围）型

例1.（2022•江苏常州•一模）如图，在RWBC和R/0CDE中，0BAC=0DC£=9O°,AB=AC

=4,CD=CE=2,以A8、为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.若将回CQE绕点C旋

转一周，则线段AF的最小值是.

【答案】40-2

【分析】证明当。，E,F共线时，为等腰直角：角形，可得AF=^AO,当A。有

最小值时，AF最小，由此可得C0=V5，AO=4-42AF=y/2AO=4y[2-2-

【详解】解：当。，E,F共线时，AF最小，如图所示，

S48=AC,AB=DF,EL4C=DF,又EEF£>C=a4CO=45°,SDO=OC,SOA=OF,

130Ao尸=90°®4尸=0/10,当AO有最小值时，AF最小，即当。在AC上时，此时。，E,F

共线，

13co=2,13co=正，&40=4-夜财尸=/4。=0x(4-应)=4四-2故答案为：4近一2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，

寻找4尸最小时

的图形的位置是解题的关键.

变式1.(2021•四川成都•中考真题)在RtABC中，ZACB=900,AB=5,BC=3,将ABC绕

点8顺时针旋转得到△A8U,其中点A,C的对应点分别为点A,C.

图1图2图3

(1)如图1,当点A落在AC的延长线上时，求AV的长；

(2)如图2,当点C'落在A8的延长线上时，连接CC',交A8于点例，求BM的长：

(3)如图3,连接AA',CC',直线CC'交A4'于点。，点E为AC的中点，连接。E.在旋

转过程中，OE是否存在最小值？若存在，求出OE的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴41=8；(2)端；(3)存在，最小值为1

【分析】(1)根据题意利用勾股定理可求出AC长为4.再根据旋转的性质可知=

最后由等腰三角形的性质即可求出AA的长.

(2)作COLAC交4C'于点。，作CE〃A'B交AC'于点£由旋转可得NA'BC'=NABC,

BC=BC'=3.再由平行线的性质可知NCEB=NA'BC,即可推出NCE5=NABC,从而间

接求出C£=8C=3C=3,DE=DB.由三角形面积公式可求出C。=?.再利用勾股定理

即可求出8E=《，进而求出C£=可.最后利用平行线分线段成比例即可求出8M的长.

(3)作AP//A'C'且交CZ>延长线于点P,连接AC.由题意易证明NBCC'=/BC'C,

ZACP=90°-ZBCC,ZA'CD=9Q°-ZBC'C,即得出NACP=N4'CZ).再由平行线性质

可知NAPC=ZA'CZ>,即得出NACP=NAPC,即可证明AP=AC=A'C,由此即易证

APD=A'C'D(AAS),得IHAD=A'3,即点。为AA中点.从而证明QE为‘AC4'的中位

线，即。E=；AC.即要使OE最小，AC最小即可.根据三角形三边关系可得当点A、C、B

三点共线时A'C最小，且最小值即为A'C=A'B-BC,由此即可求出£>E的最小值.

【详解】(1)在RJABC中，AC=V/W2-BC2=V52-32=4-

根据旋转性质可知AB=A'B,即△的'为等腰三角形.

0Z4Cfi=9O°,BPBC1AA，回A'C=AC=4,回A4'=8.

(2)如图，作COLAC'交AC'于点。，作CE〃A'8交AC'于点E.

由旋转可得Z4'BC'=NABC,BC=BC'=3.

^CEUAB,^ZCEB=ZA'BC,SZCEB=ZABC,SCE=BC=BC=3,DE=DB.

11I?

ABC^B-CD=-AC-BC,即5xCO=4x3,0C£>=y.

i-------------Qi«33

在RtABCD中，DB=yJBC2-CD2=-,^BE=—.aCE=BE+BC，=《.

BMBCBM=315

0CE//AB.0-----=—■—,即333,13BM=—

CEC'Ey11

(3)如图，作API/AC且交CZ>延长线于点P,连接A'C.^\BC=BC',SiNfiCC'=ZBC'C.

0ZACP=180°—ZAG?—ZBCC,即ZACP=90°-NBCC',

又国ZA'C'£>=90°—NBC'C,回ZACP=ZA'C'D.E1AP//AC',回ZAPC=ZA'C7),

ZADP=ZA'DC

0ZACP=ZAPC,回AP=AC,^AP=A'C.团在和aA,CO中，NAPO=NA'C'£),

AP=A'C'

0APD^.A'C'D(AAS),ElAO=40,即点。为A4'中点.

回点E为AC中点，回DE为&AC4'的中位线，®OE=gAC,即要使QE最小，A'C最小即可.

根据图可知A'C2A'3-BC,即当点A'、C、B三点共线时AC最小，且最小值为

A'C=A'B-BC=5-3=2.

回此时DE=LA'C=1,即OE最小值为1.

2

【点睛】本题为旋转综合题.考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行

线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角

形三边关系，综合性强，为困难题.正确的作出辅助线为难点也是解题关键.

3)综合证明型

例1.(2021•黑龙江•中考真题)在等腰A4DE中，AE=DE,△钻C是直角三角形，ZC4B=90°,

/A8C=；/AEZ),连接CZX3。，点尸是8。的中点，连接EF.

(1)当NE4£>=45。，点B在边AE上时，如图①所示，求证：所=38.(2)当NE4£>=45。，

把AA3C绕点A逆时针旋转，顶点B落在边A。上时，如图②所示，当NE4D=60。，点B

在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段E尸和C。又有怎样的数量关系？请直

接写出你的猜想，不需证明.

【答案】(1)见详解；(2)图②中EF=；CD,图③中功=迫。，理由见详解.

【分析】(1)由题意易得/4£亚=/£4£>=45。，则有44皮>=90。，然后可得NABO45。，

EF=—D,进而可得AO垂直平分8C,则CD=BQ,最后问题可求证；

(2)取CO的中点“，连接A"、EH、FH,如图②，由题意易得FH〃BC,AH=DH,则

有EH垂直平分AC,EI/mi=f3C54=45°,进而可得回£77/三回EA尸=45。，然后可得点A、E、F、

”四点共圆，则根据圆的基本性质可求解；如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使

得GM=CD,连接DW、EM、EG,AG,则有四边形CGM£)是平行四边形，DM=CG=AC,

进而可得0ACZ)0aoME,则有CD=EM,&EMD=^DCA,然后可得日EMG是等边二角形，最后

问题可求解.

【详解】(1)证明：^SAE=DE,/E4£)=45°,0ZADE=ZE4D=45°,0ZA££>=90°,

回点户是80的中点，0EF--BD,^\AABC=-ZAED,E)/ABC=45°,

22

0ZC4B-9O0,豳AC8是等腰直角三角形，

SZBAD=ZCAD=45°,财。垂直平分BC,BCD=BD,^EF=^CD-

(2)解：图②中EF=；CD,图③中EF=*CD,理由如下：

图②：取CQ的中点从连接A4、EH.FH,如图②，

^AE=DE.NE4£>=45°,0ZADE=ZE4D=45°,0ZAED=9O°,

0ZABC=-ZAED,0^A8C=45°,回点尸是3。的中点，0FH//BC,AH=DH=-CD,

22

I3EH垂直平分4。，回月月1=（3。区4=45°,03EHF=OEAF=45°,团点4、E、F、〃四点共圆，

00//M=E）£AF=45°,^AH=EF.0EF=^C£>：

图③：如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使得GM=CD,连接。M、EM、EG,

AG,

SAE^DE,NE4£>=60。，EB4DE是等边三角形，ElNAED=ZACE=60°,

回N4BC=工NAE。，回ZABC=30°,仅NC4B=90°,13NC4Q=30°,ZAC8=60°,团ZAGB=90。，

2

SAG=CG,aMGC是等边三角形，QAC=CG,13点尸是8。的中点，0GM//CD,

国四边形CGMD是平行四边形，0AC=CG=DM,CGHDM,^GCD^DMG,

0ZG£>M=ZAGB=9O0,回NED例=30°,^ZCAD=ZMDE,

^AD=DE,E0ACOEI犯ME(SAS),SCD=EM,SEMD=SDCA,

⑦ZACB+NGCD=NDMG+ZEMG,ZACB=ZEMG=60°,0OEMG是等边三角形，

回点尸是8。的中点，^BF^DF-SBC//DM,&ZGBF=ZMDF,

田NGFB=NMFD,MFD(ASA),SGF=MF,SEF^GM,

SEF=EMsin/LEMG=—EM=—CD.

22

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判

定及三角函数、圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行

四边形的性质与判定及三角函数、圆的基本性质是解题的关键.

变式1.(2021•山东潍坊・中考真题)如图1,在EL4BC中，0C=9O°,S4BC=30。，AC=1,。为

MBC内部的一动点(不在边上)，连接8£>,将线段BO绕点。逆时针旋转60。，使点B到

达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60。，使点A到达点E的位置，连接AO,CD,

AE,AF,BF,EF.

(1)求证：^BDA^BFE-,(2)①CD+DF+FE的最小值为；②当CD+DF+FE取得

最小值时，求证：ADSiBF.(3)如图2,M,N,P分别是。凡AF,AE的中点，连接MP,

NP,在点。运动的过程中，请判断回MPN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，

请说明理由.

【答案】(1)见解答；(2)①近；②见解答；(3)是，回MPN=30。.

【分析】(1)由旋转60。知,0ABA2EBF、AB=AE.BD=BF,故由SAS证出全等即可；

(2)①由两点之间，线段最短知C、D、F、£共线时CO+CF+FE最小，且CQ+OF+FE最

小值为CE,再由S4cB=9CT,EL4BC=3(r,AC=：L求出BC和42,再由旋转知A2=BE,(3CBE=90。，

最后根据勾股定理求出CE即可；②先由姐。尸为等边三角形得自8/75=60。，再由C、。、F、

E共线时CQ+DF+FE最小，团BFE=12(r=EI8CA,最后4。/=酎£>8々2。尸=120。-60°=60°,即证；

(3)由中位线定理知道A/Aa4D且再设I3BEF=回区4£>=a,团啊N邛，则回尸N尸=60--a+夕,

0F7VM=0MD=6O°+a-^,得1apMW=120°.

【详解】解：(1)证明：00£>BF=a4B£=6O°,^SDBF-^ABF^BE-^ABF,0EL4BD=0£BF,

BD=BF

在I38D4与回8尸E中，,NABD=NEBF,WBDA^EBFE(SA5)；

AB=BE

(2)①团两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+OF+FE最小,

mC£»+£>f+FE最小值为CE,0EACB=9O0,a4BC=30°,AC=1,

⑦BE=AB=2,BC=yjAB2-AC2=>/3-雷C8E=S4BC+a48E=90。，

®CE=dBE2+BC?=B故答案为：疗；

②证明：EIBZX2F,aD8F=60°,00BZ)F为等边三角形，即回BED=60。，

EIC、D、F、E共线时CD+O尸+FE最小，0EBFE=12O°,

00BD/K30BFE,03804=120°,^EADF=^ADB-^BDF=120°-60°=60°,

0a4DF=@fiFD,0AD0BF；

(3)0MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN,

&W,N,P分别是。凡AF,AE的中点，EIMMM。且尸，

a4B=8E且EL4BE=60°,EH4BE为等边三角形，

T&QBEF=aBAD=a,回B4N=Q,则0AEF=EWPN=6O°-a,QEAD=60Q+a,

EBPNF=60--a+£,0FW=0MD=6O°+ct-/f,EBPNM=EI/WF+E]FNM=60--a+£+60°+a/=120°,

a38£>Aa38F£IWN=；AO=；FE=PN,限MPN=；(180°-E)PNM)=30°.

【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与

性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是

解题关键.

模型2.平行四边形中的旋转模型

1)常规计算型

例L(2022•浙江宁波•一模)如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=y[6,顶点E重合，

将一短EC绕其顶点E旋转，如图2,在旋转过程中，当NA££>=75。，连接AE>,BC,此时

四边形A8C。的面积是

AI)AD

图I

【答案】26+3

【分析】延长CE交AB于点F,先根据特殊直角三角形的性质和附ED=75。，推出A8回CD,

从而可证四边形A8CD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出

CF长，最后计算平行四边形A8CD的面积即可.

【详解】解：如图2,延长CE交A8于点F,

0ZA£D=75°,0ZE4D+ZA£)E=180°-ZAED=105°,

又N34E+NCZ)E'=450+30°=75°,团

ZBAD+ZCDA=ZBAE+ZCDE+ZEAD+ZADE=180°,EWB0CD,

SAB^CD,团四边形是ABC。平行四边形，0C£1C£>,&CE1AB,即EFLAB,

^EF=-AB=—,EC=—CD=y/2,^CF=EC+EF=+,

2232

回S四边形A8c。=48>CF-瓜+：近>屈=+3■故答案为：2->/3+3.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边

形ABCD是平行四边形是解题的关键.

变式1.(2022•广东广州•一模)如图，将0ABC£>绕点A逆时针旋转到S49czy的位置，使点

夕落在8c上，B，C与CD交于点、E.若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为.

【分析】过点A作AM08C于点M,过点8作9于点N,过点E作EG08C,交BC的

延长线于点G.3M="M=:，由勾股定理可得，AM二叵,由等面积法可得，BN=叵,

226

[*74A，r**x~r

由勾股定理可得，AN=—,由题可得，S4M8EBEGC,MNfiHmGE,则丝-=，一=庄，

6BMCG

==设CG=4,贝！|EG=6?a,B'G=3+a,则=解得最

BNLU，35735cl73516

后由勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过点A作于点M,过点8作于点N,过点E作EG^BC,

E1B8'=1,E18M=B'M=；,0AM==苧,

^S^ABB=-AMBB'^-BNAB',国画xl=1・8Nx3,则BN=返，

222226

B4N=JAB?-BN?=卜-（卓］=*，M8//DC,00ECG=EL4BC,

屈

团［MM8=(Z1EGC=9O。，00A/WB00EGC,0—=—=-^-=>/35,设CG=m则£^=屈

BMCG1

2

^ABB,^^AB,B^BAB,=180°,勖5'8+加8'。'+团C5'C=180°,

又田财8£=财8'8=aA£C,mBAB'=^CB'C.

17

ANB'GT17

回MN3=mEGC=90°,WANB^^GJ^—=,

~T~

3+。173

团8C=4,BB'=1,aB'C=3,B'G—3+a,同r—=r—,解得ci——-.

,35〃V3516

团CG=3，EG=J屈，0EC=^CG2+EG2=1(—)2+(—y/35)2=-.故答案为：-.

1616V161688

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一,相似三角形的性质与判定,

解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键.

2)最值(范围)型

例1.(2022•广东•深圳九年级阶段练习)如图，在平行四边形ABC。中，AB=2日MBC

=45。，点E为射线AO上一动点，连接BE,将BE绕点、8逆时针旋转60。得到BF,连接AF,

【答案］6+、

【分析】以AB为边向下作等边财8K,连接EK,在EK上取一点7,使得AT=7K.证明

EL4BF0E1KBE(SAS),推出AGEK,根据垂线段最短可知，当KEEL4。时，KE的值最小，解

直角三角形求出EK即可解决问题.

【详解】解：如图，以A8为边向下作等边M2K,连接EK,在EK上取一点7,使得AT=

TK.

Ft

K

OBE=BF,BK=BA,SEBF=^ABK=60°,

WABF^KBE,WABF^KBE(SAS),SAF=EK,

根据垂线段最短可知，当KfiELAD时，KE的值最小，

国四边形ABCO是平行四边形，S4O〃BC,

0a4BC=45°,00BAD=18O°-EL4BC=135°,

03R4K=6O°,03E4K=75°,E0AEK=9O°,0a4KE=15°,

^IA=TK,EB7MK=a4KT=15°,0&47'E=^1AK+^AKT=30°,

设AE=m则47=»=2。，ET=ga,在RtSAEK中，^AK2=AE2+EK2,

0a2+(2a+73a)2=4,由=#-&,回EK=2a+Ja=几+&,

22

MF的最小值为：®2g.故答案为：小型.

22

【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定

和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三

角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.

变式1.(2022•河南洛阳•一模)如图，在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=10,N3=60。，

点E在线段BC上运动(含3、C两点).连接AE,以点A为中心，将线段AE逆时针旋转

60。得到AF,连接。尸，则线段。尸长度的最小值为.

【答案】26

【分析】以48为边向右作等边△A8G,作射线G尸交4。于点”，过点。作DMLGH于例.利

用全等三角形的性质证明NAGF=60°,得出点F在平行于A8的射线G"上运动，求出

DM即可.

【详解】解:如图，以AB为边向右作等边△ABG,作射线GF交AD于点”，过点。作DMLGH

于M.

M

•四边形ABC。是平行四边形，ZB=60°,0ZBAD=12O°,

「△ABG是等边三角形，.'.NA4G=NE4/=60°,BA^GA,EA=FA,

:.NBAE=NFAG,：./\BAE^/\GAF（SAS）,/B=NAG尸=60°,

...点F在在平行于A8的射线GH上运动，

；NHAG=/AGF=60°,，ZsAHG是等边三角形，.•.AB=AG=4”=6,：.DH^AD-AH

=4,

"：ZDHM=ZAHG=60a,，DM=DH・sin60°=4x且=2百，

2

根据垂线段最短可知，当点「与例重合时，〃尸的值最小，最小值为26，故答案为：26.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定

和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题.

3）分类讨论型

例1.（2022•江西•寻乌县二模）如图，在平行四边形ABCD中，45=10,8c=15,

4

tanZA=§.点户为A。边上任意一点，连接PB,将PB绕点、尸逆时针旋转90°得到线段PQ.若

点。恰好落在平行四边形AB8的边所在的直线上，则8Q的长为.

【答案】16或4加或8&

【分析】如图1中，当点。落在直线8C上时，作3E_LAL＞于E,PFLBCFF.则四边

形BEPF是矩形.解直角三角形得到BE=8,AE=6,求得PF=BE=8,根据等腰直角三

角形的性质得到尸产=8尸=FQ=8,即可求出BQ的长度；②如图2中，当点。落在8上

时，作于E,QFLA。交AO的延长线于尸.设PE=x.根据全等三角形的性质

得到PE=QF=x,EB=PF=8,根据平行线的性质得到NFDQ=4,根据三角函数的定

义得到庄=4,根据勾股定理得到=毛=4石，即可求出8。的长度；③如图3中，

当点。落在AO上时，易知P8=PQ=8,即可求出8。的长度.

【详解】如图1中，当点。落在直线8C匕时，作8EJ_4）于E,PF工BC于F.则四边

形BEPF是矩形.

图1图2

nC

图3

BE4

在RtAAEB中，tanA==—,AB=10,/.BE=8，AE=6,/.PF=BE=8，

AE3

MPQ是等腰直角三角形，PF工BQ,;.PF=BF=FQ=8,，BQ=16；

如图2中，、4点Q落在CD上时，作8石_1AD于E，。尸1A。交的延长线于。设PE=x.

:.ZQFP=ZPEB=90,N3PQ=90,二/FPQ+NBPE=9。,NFPQ+NPQF=90,

/QFP=/PEB

；,/BPE=/PQF,在△P3E和ZXQP/中，\^BPE=ZPQF9:^PBE=..QPF(AAS),

PQ=PB

:.PE=QF=x,EB=PF=8,：.DF=AE+PE+PF-AD=X-\,

4F,OxA-

CD//AB./.ZFDQ=ZA,/.tanZ.FDQ=tan=-=—,/.——=一，/.x=4,..PE=4,

3DFx-13

在Rt△尸E8中，PBuJd+g=4后,BQ=4y/i0-.

如图3中，当点。落在AD上时，PB=PQ=8,；.BQ=86；

综上所述，BQ的长为16或4J访或80.

【点睛】本题考查/平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学

会用分类讨论的思想思考问题.

变式1.(2022•江苏•九年级专题练习)在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,高AH=4,

点E是边4。上任意一点，现将点B绕着点E逆时针旋转90。到点8',若点8’恰好在平行四

边形的边上，则AE=.

【答案】1或£

【分析】分两种情况计算，当9点在边8c上时，过点8作M，A。，交D4的延长线于点

F,根据勾股定理可求得4尸，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，可证得

BF=EF=4,即可求得4F；当B'点在边。C上时，过点斤作aGLAD于点G,可证得

BFE四一EGB,可得G9=3+AE,DG=6-AE,再由3E£sJ?，GZ）即可求得.

【详解】解：当8'点在边8C上时，如图：过点8作防，4）,交D4的延长线于点凡

：.BF=AH=4,

在阳AF8中，AF7ABz—BF。=6-4?=3,

BE=8E,NBE斤=90。，是等腰直角三角形，.•.N£B8'=45。，

四边形ABCD是平行四边形，..AD//BC,ZAEB=ZEBB=45°,

:.BF=EFM,.-.AE=EF-AF=4-3=1；

当B'点在边QC上时，如图：过点8作BFLAD,交DA的延长线于点F,过点8'作B'G^AD

于点G,

ABFE=ZEGB'=90°,AGES'+ZGffE=90°,

NBEB^O。,:.ZGEB'+ZFEB=90°,:.NFEB=NGBE,

Z.BFE=ZEGB'

在丛BFE与_EGB，中，.NFEB=ZGB'EBFE空EGB',

BE=B'E

：.BF=EG=4,EF^GB'=AF+AE=3+AE,：.DG=AD-AE-EG=10-AE-4=6-AE,

.四边形A8CQ是平行四边形，.•.AB〃CD,.•.NFEB=ND,身芯s_/G。，

：黑=票,呜=11箓解得=*综上，AE的长为1或（

AFDG36-AE77

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质，勾股定理，是综合性较强的题，作出辅助线是解决本题的关键.

4）综合证明型

例1.（2022•广西•九年级期中）如图，在YABCQ中，ZBAP=60°,将YABCD绕顶点A

逆时针旋转至YAEFG,此时点。在AE上，连接AC、AF,CF、EB,线段EB分别交

CD、AC于点H、K,则下列四个结论中：①NC4尸=60。；②△£«〃是等边三角形；③

2AD=3HK；④当A8=2A£＞时，45^=75ABCD.正确的是（）

F

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【答案】A

【分析】①由YABCO绕顶点A逆时针旋转至YAEFG,得到AAE/函48C,乂由084。=60。,

即可证明：②由A8「C£>,得到团ECH=I3D48=60。，又由AO「8C,得到HAEF=120°,进

一步得图£>£旧=60。，QHE=60。，结论得证；③过点H作HM.AD交AB于点M,连接DM,

证明△8"C、△QMH和是等边三角形，得至"DH=HM=BH=CH=BC=AD,点H为

CD的中点，再证明△CKM3EWKB,进一步得到AO=3HK；④过点C作CWB的延长线于

点M分别用A£>表示出“CF和YABC。的面积，即可得到结论.

【详解】解：①回将YABCO绕顶点4逆时针旋转至YAEFG,

HS/lEEa2ABC,EEEAF=B1BAC,

EEBAO=60°,tmiCAF=BEAF+^CAD=BBAC+SCAD=^BAD=60°,故①正确；

@SABI；CD,通EO，=ffl£)AB=60°,EL4DBC,^AEF=^ABC^180°120°,

WDEH=1800-a4EF=60°,SBDHE=180°-&EDHSDEH=60°,

00D//£=0ED//=0DE/f=6Oo,EEIDEH是等边三角形，故②正确：

③过点4作”M，4。交A3于点M,连接DW,如图1,

EBEDH是等边三角形，038HC=l3E”n=6O°,

EL4D.BCHM,国BC4=l3E£>”=60°,回£WM=MC4=60°,

00CB/7=180°-WCH~^BHC=60°,^BHM=180°~^DHMSBCH=60°,EEB//C是等边三

角形，

SHMAD,BC,WDHM=SBCH=60°,^DMH=^BHM=60",

0EOWH和都是等边三角形，

SDH=HM=BH=CH=BC=AD,团点”为CO的中点，

EBCKH=a4KB,团CHK=B1ABK,E0CKHEEL4K8,

HKCHCH1iii

0——=——=—=-,^HK=-BK=-BH=-AD,&AD=3HK,I324O=3，K错误，故③

BKABCD2233

错误;

FF

图1图2

④过点C作CWS4B的延长线于点N,如图2,则奶NC=90。，

EL4BaCD,aSDCN=180--®8NC=90°,瓯8c£）=60°,038677=30°,

⑦BN=WBC=GAD,CN=BBC=BAD,^AN=AB-\-BN^2AD+^-AD=-AD,

222222

女=J4V2+W=近A£>,由①可知，回C4F==60。，AC^AF,03AC尸是等边三角形，

2

回等边三角形财CF的高为34C=应AO,0SA.Cf=—AD,

22c224

nn

回的边上的高2

YA8COA8=CN=2"A。，13s/.toKCrf^yABxCN=2ADx2^AD=y/3AD,

04SA4CF=7SABCD,故④正确，综上，①②④正确，故选：A.

【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、图形的旋转、平行四边形的性质、勾股

定理、相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键.

变式1.（2022•山西阳泉•一模）综合与实践

【问题背景】如图1,平行四边形A8CQ中，回B=60。，AB=6,AD=8.点、E、G分别是A。

和QC边的中点，过点E、G分别作OC和AO的平行线，两线交于点F,显然，四边形。所G

是平行四边形.

【独立思考】⑴线段AE和线段CG的数量关系是：.（2）将平行四边形DEFG绕点。

逆时针旋转，当。E落在。C边上时，如图2,连接AE和CG.①求AE的长；②猜想AE

与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；【问题解决】⑶将平行四边形。EFG继续绕点

。逆时针旋转，当A,E,/三点在同一直线上时（如图3）,AE与CG交于点P,请直接写

出线段CG的长和S4PC的度数.

43AE4

【答案】⑴3AE=4CG或AE=-CG或;AE=CG或一二一等

34CG3

(2)①AE=46，②3AE=4CG,或4E=g=CG,或《AE=CG等，证明见解析：

(3)CG=+3,MPC=60。

2

【分析】(1)根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；(2)①利用三角函数值求线段

长，再根据勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；(3)利用

三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用"8"字形的两个三

角形角度关系得到ZADH=NCPH即可求解.

(1)解：・点、E、G分别是和ZJC边的中点，

:.AE=DE=^AD,CG=DG=^CD,

■在平行四边形A8C。中，a4DC=0B=6O<>,CD=AB=6,AD=8,

4

/.AE=DE=^CG=DG=3,

CG3

43AE4

故答案为：3AE=4CG或AE二一CG或一AE=CG或一二一等

34CG3

(2)解：①如图，过点E作于点”，

^EH=DE-sinAADE=4xsin60°=2^,^AH=AD-HD=8~2=6,

在RtQAHE中，根据勾股定理可得AE=JAH'+EH'=心+（2⑹°=：

-44AF4

②3AE=4CG或AE=—=CG或-AE=CG或——=彳等，

34CG3

证明如下：由题可知：EL4Z）C—0CDG=6O°,——=――=—,即——=，

ADDC2DG