【二次型在代数学的探析、解析几何方面的应用（论文）5400字】

二次型在代数学的分析、解析几何方面的应用摘要在代数学研究不断发展的历史进程中，关于二次型的研究起着至关重要的主导作用。一般来说我们为了更为简便地快速解决二次型问题，往往会将二次型转化为标准形，因此本文主要总结了几种常见的化二次型为标准形的方法及它们的解题步骤。这些方法分别应用了二次型不同的性质。在求解这类问题时，我们可以根据题目特点选择最适合的方法。二次型理论应用领域非常广泛，不单单在代数学领域，在其他学科的分支如管理、经济、社会科学中也有涉及。本文介绍了二次型在代数学的分析、解析几何方面的应用，如应用二次型的正定性求解多元函数极值问题，利用正定、半正定矩阵的充要条件证明不等式成立，通过将二次曲面的一般方程化为标准方程来判断该二次曲面的类型。关键词：二次型；标准形；线性变换；二次曲面；应用目录第1章引言 [14]阶实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件是它的顺序主子式均大于0。例9求证（其中为不全为零的实数）。证明：设二次型，则的矩阵为，此时矩阵的一阶主子式为：；二阶主子式为：；三阶顺序主子式为：。所以为正定矩阵，根据定理，二次型为正定二次型。即（其中为不全为零的实数）。结论得证。例10设为三角形的三个内角，求证对任意的实数，下式成立。证明：记，其中，并且根据题目已知，此时矩阵进行初等行变换：，则的特征值为，是半正定的。即对于任意实数，结论得证。例11设都是实数，证明成立。证明：设，则，是半正定二次型。根据定理，则所有主子式均。该二次型的矩阵为，所以，则题目中不等式成立，结论得证。4.3二次曲面中的应用二次曲面的一般方程为，（均为实数）。令。所以一般方程又可记为。其中为的特征值，为对应的单位正交向量，为对应的单位特征向量。如果想要通过二次曲面的方程确定它的类型，需要将一般方程转换为标准方程，步骤如下。首先，利用正交变换将方程化为的形式。此处，，，。其次，用配方的方法作平移变换，下面根据的值进行分类讨论。（一）.时，配方得。可简化为，其中。（）均与同号，方程可得，令，故有，该二次曲面为椭球面。（）中有一个与异号，方程可得，该二次曲面为单叶双曲面。（）中有两个与异号，方程可得，该二次曲面为双叶双曲面。（二）.中有一个为0，设。配方得。可简化为，其中，下面对（2）中方程进行讨论。（）同号，该二次曲面为椭圆抛物面。（）异号，该二次曲面为双曲抛物面。（三）.中有两个为0，设。配方得，作变换变为的形式（），为抛物柱面。（），此时为的形式。异号则为一组平行平面，同号则为虚平行平面，为0则是重合的平面。例12判断的二次曲面类型解：设，矩阵，，解得特征值为，，根据上述步骤，符合中有一个与异号的条件，且标准方程为，故为单叶双曲面。例13判断的二次曲面类型。解：设，矩阵，，解得特征值为，对应的特征向量矩阵，作正交变换，原方程化为，配方后，替换后得标准形为，所以是椭圆抛物面。

第5章总结本文总结了五种化二次型为标准形的方法，这些方法的解题原理来源于二次型不同的定义及相关性质，本质是通过线性变换完成化为标准形的过程。如今，我们已经在探索二次型的应用问题中取得了不少的进步，二次型的性质可以应用到多元函数求解极值的问题，不等式证明成立问题和判断二次曲面的类别。相信以后二次型问题能够应用到更多的实际场景，帮助我们更快的发展。参考文献丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2002.陈惠汝,刘红超.浅谈二次型化标准形的两种方法[J].长春师范学院学报,2004(05):13-15.孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院学报,2010,10(06):28-29.李五明,张永金,张栋春.实二次型化成标准形的几种方法[J].和田师范专科学校学报,2007(05):165-167.胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J].工科数学,1998(01):162-164.郭佑镇.实二次型的化简及应用[J].渭南师专学报,2000(02):3-6.黄健.化二次型为标准形几种方法的比较及技巧[J].科教导刊(下旬),2019(36):25-26.王国兰,贾庆菊.二次型正定性在多元隐函数极值中的应用[J].唐山师范学院学报,2019,41(06):37-39.孙学波.基于正定二次型的一个不等式及其证明[J].鞍山科技大学学报,2004(04):256-259.李玉山.一类二次型条件最值问题的两种解法[J].电子测试,2016(12):44+34.潘伟云.探讨正定二次型的应用[J].吕梁学院学报,2014,4(02):16-17.LeeH.Dicker,MuratA.Erdogdu.Flexibleresultsforquadraticformswithapplicationstovariancecomponentsestimation[J].TheAnnalsofStatistics,2017,45(1).P.Yaskov.Varianceinequalitiesforquadraticformswithapplications[J].MathematicalMethodsofStatistics,2015,24(4).北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2007.6.同济大学数学系.线性代数[M].第六版.北京:高等教育出版社,2014.6.蒋艳,李玻.二次型的标准形及其在几何中的应用[J].数学学习与研究,2017(21):11+13.王琳.用正交变换化实二次型为标准形方