第三章光学成像系统的频率特性

第三章光学成像系统的频率特性习题[3.1]/一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数：SKIPIF1<0式中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆形衍射屏的半径。问：这个屏的作用在什么方面像一个透镜？给出此屏的焦距的表达式。若用它做成像元件，有什么缺点？解：(1)此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：SKIPIF1<0式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变换因子SKIPIF1<0比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子SKIPIF1<0表明，该屏具有半径为SKIPIF1<0的圆形孔径。(2)把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子SKIPIF1<0作比较，便得相应的焦距，即对于SKIPIF1<0项，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，相当于会聚透镜。对于SKIPIF1<0项，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，相当于发散透镜。对于SKIPIF1<0这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为SKIPIF1<0。(3)由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远（直接透射光）。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长SKIPIF1<0成反比。若用白光作光源，则在像面上可以看到严重的色散现象。附图3.1习题[3.1]图示[3.2]试由式（3.1.10）直接导出式（3.1.11）。解：令P(x,y）=1,将式（3.1.10）积分号内各指数因子展开，利用SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0后，有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0并应用公式：SKIPIF1<0及缩放定理，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再令SKIPIF1<0即得式（3.1.11）。[3.3]/用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。透镜直径为5cm，焦距为20cm，在透镜后面10cm的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：SKIPIF1<0假定L=1cm,SKIPIF1<0,大致画出焦平面上沿x轴的强度分布，标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。解：/由附图3.2可知，物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其附图3.2习题[3.3]图示最大线度（对角线方向）为SKIPIF1<0，故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分为：SKIPIF1<0强度分布为：SKIPIF1<0这里因SKIPIF1<0，故未考虑3个SKIPIF1<0函数间的重叠。代入题设数据，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0的单位取为cm。在SKIPIF1<0轴上两个一级分量中心离原点距离为：SKIPIF1<0；零级分量第一个零点的位置为SKIPIF1<0；两个一级分量与中央亮斑的的宽度相同，都是SKIPIF1<0而其幅值只为零级分量的SKIPIF1<0。如附图3.3所示。附图3.3归一化强度分布[3.4]将面积为10mmSKIPIF1<010mm的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。用波长SKIPIF1<0的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率140线/mm以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？解：取面积为SKIPIF1<0的透射物体的对角线方向为SKIPIF1<0轴。因要求在140线/mm以下的空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径SKIPIF1<0应满足条件：SKIPIF1<0①按题意，要求：SKIPIF1<0②综合式①、②求得：SKIPIF1<0[3.5]/一菲涅耳波带片的复振幅透过率为：SKIPIF1<0如附图3.4所示。证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。SKIPIF1<0附图3.4习题[3.5]图示解：/由SKIPIF1<0函数的定义可知：SKIPIF1<0①式中SKIPIF1<0为整数。令SKIPIF1<0，显然上式是SKIPIF1<0的周期函数，周期为SKIPIF1<0，故可展成傅里叶级数：SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0遂有：SKIPIF1<0②上式表示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为：SKIPIF1<0或以直角坐标表示成：SKIPIF1<0③上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有：SKIPIF1<0④换言之，可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜，焦距由式④确定。当SKIPIF1<0偶数时（零除外），SKIPIF1<0，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中不包含SKIPIF1<0为偶数的成分。对于SKIPIF1<0为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当SKIPIF1<0取负值时，SKIPIF1<0为正，是会聚球面波，它可得到实焦点；当SKIPIF1<0取正值时，SKIPIF1<0为负，是发散球面波，它可得到虚焦点。[3.6]一物体的振幅透过率为一方波，如附图3.5所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透镜的焦距为10cm，方波的基频是1000线/cm，物距为20cm，波长为SKIPIF1<0cm。问在以下两种情况下：（1）物体用相干光照明时；（2）物体用非相干光照明时；透镜的直径最小应为多少，才会使像平面上出现强度的任何变化？附图3.5习题[3.6]图示解：按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频SKIPIF1<0。遂得：(1)相干照明时，SKIPIF1<0。由透镜定律算得SKIPIF1<0。故由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0。(2)非相干照明时，SKIPIF1<0故求得SKIPIF1<0。[3.7]一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为SKIPIF1<0的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边长为SKIPIF1<0的正方形不透明屏，试画出SKIPIF1<0的函数图像。解：由OTF的几何解释，有：SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0为光瞳面积，SKIPIF1<0为光瞳重叠面积。SKIPIF1<0，光瞳重叠面积则应分5个区间来考察，参阅附图3.6。①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0④SKIPIF1<0(见附图3.6(d))SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0这时SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0。综合上述5个区间的情况，画出SKIPIF1<0的函数图形如附图3.6(e)所示。附图3-6习题[3.7]图示[3.8]一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是直径为SKIPIF1<0的圆，在出瞳面上用不透明的半圆嵌入光瞳，求此系统的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表达式。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0[3.9]/改变一维理想透镜的光瞳函数，使它的振幅透过率从中心到边缘线性地从1减小到0，求这种透镜的光学传递函数。解：/设一维透镜的口径为SKIPIF1<0，按题设其光瞳函数可写成:SKIPIF1<0根据光学传递函数的计算式(3.4.23),得SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的计算，可以分区间进行，如下所述(参看附图3.7)。附图3.7SKIPIF1<0的计算当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0最后画出光学传递函数的曲线如附图3.8所示。附图3.8SKIPIF1<0曲线[3.10]一个正弦物体的振幅透过率为：SKIPIF1<0用相干成像系统对它成像。设物的空间频率SKIPIF1<0小于系统的截止频率，并且忽略放大和系统的总体衰减。若系统无像差，求像平面上的强度分布；证明同样的强度分布也出现在无穷多个未聚焦好的像平面上。解：（1）设用单位振幅单色平面波垂直照明，则透过物体的光场为SKIPIF1<0，由于物的空间频率SKIPIF1<0足够低，可以通过系统，且忽略放大和总体衰减，又不考虑像差，故得像平面上复振幅分布为：SKIPIF1<0强度分布为：SKIPIF1<0（2）如附图3.9所示，设在像面与离焦面之间应用菲涅耳衍射公式，则有：SKIPIF1<0附图3.9习题[3.10]图示应用卷积定理，在频域中求解上式，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0再作逆傅里叶变换，便求得离焦面的光场分布为：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,因而SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可见，同样的强度分布也出现在SKIPIF1<0处。[3.11]/一个余弦型振幅光栅的振幅透过率为：SKIPIF1<0放在一个直径为SKIPIF1<0的圆形会聚透镜（焦距为SKIPIF1<0）之前，并且用平面单色光波倾斜照明。平面波的传播方向在SKIPIF1<0平面内，与SKIPIF1<0轴夹角为SKIPIF1<0，如附图3.10所示。求通过物透射的光的振幅分布的频谱。假定SKIPIF1<0，问像平面上会出现强度变化的SKIPIF1<0角最大值是多少？假定用的倾斜角SKIPIF1<0就是这个最大值，求像平面上的强度分布。它与SKIPIF1<0时相应的强度分布比较，情况如何？附图3.10习题[3.11]图示解：/（1）倾斜单色平面光波入射，在物平面上产生的入射光场为SKIPIF1<0，则物平面的透射光场为：SKIPIF1<0其频谱为：SKIPIF1<0①由此可见，当光波以SKIPIF1<0角倾斜入射时，物频谱沿SKIPIF1<0轴整体平移了SKIPIF1<0距离。（2）物的空间频谱仅包含3个频谱分量，其中每一频谱分量代表某一特定方向的平面波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，SKIPIF1<0角才能取尽量大的值（见附图3.11）。于是要求：SKIPIF1<0附图3.11习题[3.11]图示上列两式联解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（3）当SKIPIF1<0时，只有最高的那个频谱分量不能通过系统，因而相干传递函数可写成：SKIPIF1<0故像的频谱为：SKIPIF1<0像面复振幅分布为：SKIPIF1<0光强分布为：SKIPIF1<0=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，由题设条件可知像与物的光场分布一样，故强度分布为：SKIPIF1<0=3\*GB3③比较示=2\*GB3②，=3\*GB3③可知，SKIPIF1<0时条纹对比度较差，且没有倍频成分。[3.12]如附图3.12所示，衍射受限非相干成像系统，光阑缝宽为SKIPIF1<0，透镜的焦距和成像倍率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，照明光波长为SKIPIF1<0，如果物体是振幅透过率为SKIPIF1<0的理想光栅，试求：（1）像的强度分布；（2）设光栅常数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试定性画出像强度分布图。附图3.12习题[3.12]图示解：（1）首先确定系统的光学传递函数。由式（3.4.28）知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。采用单位强度的平面波垂直照明光栅，几何光学理想像的强度分布SKIPIF1<0就等于物的强度透过率SKIPIF1<0输入的归一化强度频谱为：SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，故归一化输出频谱为：SKIPIF1<0略去常系数，像面光强分布为：