教案4-不定积分new

PAGEPAGE18第四章不定积分第四章不定积分§4。1不定积分概念微分学的基本问题是:已知一个函数,求它的导数。但是,在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数,由此产生了积分学。“积分”是“微分”的逆运算。原函数原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间变化的规律为,那么，在任意时刻物体运动的速度为。现在提出相反的问题：已知某物体运动的速度随时间变化的规律为，要求该物体运动的路程随时间变化的规律。显然，这个问题就是在关系式中，当为已知时，要求的问题.已知曲线上任意点处的切线的斜率为，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式，求出曲线。从数学的角度来说，这类问题是在关系式中，当函数已知时，求出函数。由此引出原函数的概念.定义4。1:设是定义在某区间I内的已知函数，如果存在一个函数，对于每一点,都有：或则称函数为已知函数在区间I内的一个原函数。例如，由于，所以在内，是的一个原函数；又因为，所以在内，是的一个原函数;更进一步,对任意常数，有，所以在内，都是的原函数。原函数性质(1)如果函数在区间内连续,则在区间内一定有原函数;（2）若，则对于任意常数，都是的原函数.即如果在上有原函数,则它有无穷多个原函数；(3）若和都是的原函数,则，（为任意常数）。即任意两个原函数只相差一个常数。不定积分不定积分定义定义4。2：若是在区间内的一个原函数，则称(为任意常数)为在区间内的不定积分,记为，即.其中：-—为积分号，—-被积函数,——被积表达式，——积分变量，-—积分常数。由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时,就归结为“求出被积函数的一个原函数再加上任意的常数”即可。例1计算下列不定积分。（1）； (2）； （3)。解(1)因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知:。(2）因为，所以是的一个原函数,由不定积分的定义知。（3）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知。例2求。解：①当时,∵，即是的一个原函数∴②当时，∵，∴两式合并，当时，有：.由上述例题可以看出,求不定积分就是求被积函数的全体原函数,这个“全体”就体现在任意常数C上,因此，求不定积分时,积分常数不能丢。由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，看他是否等于被积函数。不定积分性质由不定积分的定义，有：性质⑴：先积分后微分，两种互逆运算相抵消.；性质⑵：先微分后积分,两种互逆运算抵消后，相差常数.或。由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互逆的.例3利用性质求下列不定积分。（1）； （2）。解（1）利用“先积后微,结果等于被积函数"得：(2）利用“先微后积，结果等于被积函数+”得：此处绘图图4-1此处绘图图4-1不定积分的图形是由所表示的无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。（如图5—1所示）每一条积分曲线对应于同一横坐标处的切线互相平行。不定积分几何意义：不定积分表示的一簇积分曲线，而正是积分曲线的切线的斜率.例4求过点，且其切线的斜率为的曲线方程。解：由得：的曲线簇将代入得:∴为过点且其切线的斜率为的曲线方程。由图5-2可以看出：表示无穷多条抛物线,这些抛物线就构成一条关于的积分曲线簇。簇中每一条曲线对应于同一横坐标处有相同的斜率。故对应处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数。故确定一条曲线，其它各曲线便可由沿轴方向上、下移动而得到。§4.2基本积分公式基本积分公式（背！)由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。为了计算方便,下面列出基本积分公式：（8）；（9）；（10）； （8）；（9）；（10）； （11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！不定积分运算法则法则⑴:函数代数和的积分等于函数积分的代数和。；推广：法则⑵：被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。（）。现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。例1计算下列不定积分：（1）; (2）；(3）； (4）.解（1）；（2）；（3）。(4）。注意：检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。直接积分法所谓直接积分法，就是利用不定积分的基本积分公式和法则，来求一些简单函数的不定积分.例2计算下列不定积分。（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：当被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公式的形式，再求积分即可。例3计算下列不定积分：（1)； （2）；(3)；解(1);（利用三角恒等变形：）（2）。（利用三角函数降幂公式:）（3）（利用三角函数降幂公式：)§4。3换元积分法第一类换元法（凑微分法)前面已经学习了直接积分法，但是仅利用基本积分公式和不定积分的性质所能计算的积分是非常有限的。例如计算不定积分：,这个积分看上去很简单，与基本积分公式相似,但不能用直接积分法。区别在于中的被积函数是由复合而成的。如何求出这类复合函数的积分呢?利用复合函数的求导法则可推导出计算不定积分的一种常用方法——凑微分法.先看一例子：例如:求解：上述例题中求积分的方法就是换元法。此法关键：被积函数具有形式，设法将其凑成的形式。故此类换元法又称为“凑微分法”。定理：设是的一个原函数且可导，则。凑微分法的名称来源于把被积函数分为复合函数与中间变量的导数两部分，再把凑成。第一类换元法常做如下描述：例1求解:例2求解：由上述例题看出,第一类换元法关键是:如何将凑成微分注:熟练以后，可以省去分析过程和设新变量的过程,而可以直接“凑”成基本公式形式,求出最后结果即可。例3计算下列不定积分（直接凑微分）（1）； （2);（3）；(4)。解：当运算熟练之后，可以不写出中间变量，直接计算。（1)(2）(3)（4)。例4计算不定积分解法一：解法二：解法三：此题三个结果均为的原函数。注:检验积分结果正确与否,只要把结果求导,如果倒数等于被积函数，则说明结果正确！说明同一道不定积分题可出现不同结果。例5计算不定积分(1）；（2）解：(1）；=（2）注：①当被积函数是三角函数乘积时，一般拆开“奇次项”去凑微分;②当被积函数是三角函数偶数次幂时，常用半角公式通过降幂的方式来计算。有些积分，需要先将被积函数进行“恒等变形”，然后再用“凑微分”法求积分。例6计算下列不定积分：（1）； （2）。解（1)；(2）由此例题得两公式如下:；。例7求解：由此例题得公式如下：凑微分法在积分学中是经常用的，这种方法的特点是“凑微分”，要掌握这种方法,需要熟记一些函数的微分公式，为了做题方便，下面列出一些常用的凑微分格式:(1）（为常数，且）;(2）； (3）；（4）； （5）;（6）； (7）；（8）; （9）；（10）； （11）;（12）;（12）。例8计算下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）；（2）；（3）(4）(用到“诱导公式”：名称变余函数，符号看象限）补充积分公式⒈；⒈；⒉；⒊；⒋；⒌；⒍；7.；8.。例9计算下列不定积分（利用补充公式直接求解）（1）； （2）（3)解:（1）；(2)；（3)第二类换元法第二类换元法中，是“引入新变量，将表示为的一个连续函数”，从而简化积分计算的。例8求。解：积分中含有根式,无法用凑微分法,故用第二类换元法。令,则。于是。注意当被积函数中含有根式时，通常作变量代换消去根式，便于计算。第二类换元法常做如下描述：例1求。解:令,即，则。于是例2求解：令，即，则:，有:§4。4分部积分法应用两个函数乘积的求导法则可推出分部积分法.分部积分法设，都是的可导函数，由乘积的微分法则，有：移项：两边积分:即：定理：设函数及具有连续导数,则。分部积分公式用法此公式作用：在于把求的问题转化为求的问题,即：较之容易求得。分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，如被积函数是幂函数与指数函数（或对数函数、三角函数、反三角函数等）的乘积,三角函数与指数函数的乘积等。例1求。解被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法。设,于是若选取，则.于是（结果比原积分还难求解，不可取）所以，在使用分部积分法时要特别注意和的选取,关键是：恰当地选取和。选取和原则:①要容易求得，②且使比易积出。例2求。解被积函数是幂函数与指数函数的乘积，用分部积分法。设，则。于是小结：①当被积函数是幂函数与指数函数乘积或幂函数与三角函