2024-2025学年上海四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

-2025学年上海四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题4分，满分24分）1．（4分）在中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角的正切值A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍2．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么等于A． B． C． D．3．（4分）如图，已知在中，，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是A． B． C． D．4．（4分）下列命题中，说法正确的是A．所有菱形都相似 B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍 D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似5．（4分）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度为A． B． C． D．6．（4分）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是A．与相似 B．与相似 C． D．二、填空题（本大题共12题，满分48分）7．（4分）如果，那么的值为．8．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且较长的线段的长等于10厘米，那么较短的线段的长为厘米．9．（4分）在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为千米．10．（4分）在中，，，，则．11．（4分）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为厘米．12．（4分）点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则．13．（4分）如图，小明沿着坡度的坡面由到直行走了13米时，他上升的高度米．14．（4分）如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，那么．15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形中，、分别是和的中点，若，，，，且过点，那么正方形的边长为．16．（4分）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶5海里到处，再从处向正东方向行驶8海里到处，此时这艘船与出发点处相距海里．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，，射线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结、，那么的值是．18．（4分）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，联结，如果，那么的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，梯形中，，点是边的中点，联结交于点，的延长线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．21．（10分）在中，，，．（1）求证：；（2）若点为的中点，，，，求的长．22．（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题测量旗杆的高度成员组长：组员：，，测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上．测量数据测量项目第一次第二次平均值的度数的度数，之间的距离任务一：两次测量，之间的距离的平均值是．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．（参考数据：，，，，，任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）23．（12分）如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．24．（12分）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边于点．（1）求证：；（2）若，求的值．25．（14分）已知，在中，，，点是射线上的动点，点是边上的动点，且，射线交射线于点．（1）如图，如果，求的值；（2）联结，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）当点在边上时，联结、，，求线段的长．

参考答案一、选择题（每题4分，满分24分）1．（4分）在中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角的正切值A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．保持不变 D．缩小4倍解：如图，在中，，则，，在中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角的正切值保持不变，故选：．2．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么等于A． B． C． D．解：，，即，．故选：．3．（4分）如图，已知在中，，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是A． B． C． D．解：、不一定等于，故符合题意；、是直角三角形，，正确，故不符合题意；、，，，，正确，故不符合题意；、是直角三角形，，正确，故不符合题意．故选：．4．（4分）下列命题中，说法正确的是A．所有菱形都相似 B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍 D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似解：、所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；故选：．5．（4分）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度为A． B． C． D．解：，，，，．．某零件的外径为，零件的厚度为：，故选：．6．（4分）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是A．与相似 B．与相似 C． D．解：，，，，，，，，，，，，故选项，，正确，故选：．二、填空题（本大题共12题，满分48分）7．（4分）如果，那么的值为．解：，，．故答案为：．8．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且较长的线段的长等于10厘米，那么较短的线段的长为厘米．解：设线段的长为，点是线段的黄金分割点，较长的线段的长等于10厘米，，解得，，较短的线段的长（厘米），故答案为：．9．（4分）在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为0.5千米．解：根据：比例尺图上距离：实际距离，设两地实际距离为厘米，得：，相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米），故答案为：0.5．10．（4分）在中，，，，则6．解：在中，，，，，，故答案为：6．11．（4分）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为3厘米．解：设另一个三角形对应边上的高为厘米，两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，，解得：，另一个三角形对应边上的高为3厘米，故答案为：3．12．（4分）点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则．解：连接交于点，，，是的重心，，是中点，，，故答案为：．13．（4分）如图，小明沿着坡度的坡面由到直行走了13米时，他上升的高度5米．解：坡度，与的比为，设米，则米，由勾股定理，得．解得．故答案为：5．14．（4分）如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，那么．解：，，，沿翻折，点恰好落在边上的点处，，，，，，，在中，，，，，，．故答案为：．15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形中，、分别是和的中点，若，，，，且过点，那么正方形的边长为300．解：、分别是和的中点，，，，，由题意可得，，，即，解得：，．故答案为：300．16．（4分）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶5海里到处，再从处向正东方向行驶8海里到处，此时这艘船与出发点处相距7海里．解：如图：，，，海里，海里，海里，（海里），（海里），故答案为：7．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，，射线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结、，那么的值是1．解：设的解析式为，，，，联立，解得，，，过点作交于点，交于点，，，，，，，，，；方法二：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，过点作，过点作，点、在反比例函数图象上，，，，，，，，，，，；故答案为：1．18．（4分）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，联结，如果，那么的长为．解：根据题意如图所示：在中，，，，，根据折叠的性质可知，，，，，平分，设，则，如图，过点作于点，于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：．20．（10分）如图，梯形中，，点是边的中点，联结交于点，的延长线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【解答】（1）证明：，△△，，点是边的中点，，，；（2）解：，△△，，由（1）知，，，设，，，，解得，（不合题意，舍去），．21．（10分）在中，，，．（1）求证：；（2）若点为的中点，，，，求的长．解：（1），，，，，，，，；（2）；，是直角三角形，，，，，，，，，，．22．（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题测量旗杆的高度成员组长：组员：，，测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上．测量数据测量项目第一次第二次平均值的度数的度数，之间的距离任务一：两次测量，之间的距离的平均值是5.5．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度．（参考数据：，，，，，任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）解：任务一：，故答案为：5.5；任务二：设，在中，，，，，在中，，，，，，，，（米，答：旗杆的高度为14.7米；任务三：没有太阳光或旗杆底部不可能到达．23．（12分）如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．【解答】证明：（1）是的角平分线，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．24．（12分）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边于点．（1）求证：；（2）若，求的值．【解答】（1）证明：，，，，是的中点，，，，，；（2）解：，，，，过点作于点，设，则，在中，，，，．2