高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：等差型 2题型二：无理型 5题型三：指数型 8题型四：通项裂项为“”型 11三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练 13一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）类型二：无理型=1\*GB3①如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和．例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列的前n项和．题型二：无理型例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前99项和.例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．题型三：指数型例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：.题型四：通项裂项为“”型例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前20项和.例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)令，求的前n项和.例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列的前n项和为，且，令，则（

）A．7 B．8 C．17 D．184．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（

）A．9069 B．9079 C．9089 D．90997．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C． D．9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1三、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，且，则数列的前n项和.11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和.12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，其前n项和为，则．四、解答题13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；(2)若数列的前项和为，证明：.14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．．

专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 题型一：等差型 题型二：无理型 5题型三：指数型 8题型四：通项裂项为“+”型 11三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练 13一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①1n(n+k)=1特别注意k=1,②1如：14n−类型二：无理型=1\*GB3①1n+k+n如：1类型三：指数型①(a如：n类型四：通项裂项为“+”型如：①−②(本类模型典型标志在通项中含有(−二、典型题型题型一：等差型例题1．（03秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列an的前n项和为(1)求数列an()设bn=1anan+1【答案】(1)a()T【详解】（1）设等差数列an的公差为d，因为a所以a1+d=34所以an所以数列an的通项公式为（）因为bn所以Tn所以数列bn的前n项和T例题．（03秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，a=13，②(1)已知数列an的前n项和为Sn，______，求()数列bn满足bn=an⋅a【答案】(1)答案详见解析()答案详见解析【详解】（1）选条件①：，a=1解法一：由，a=13，得aa当n≥时，an所以，又a1=1也符合，所以．解法二：由，得n+1an+1所以数列n−1a所以n−1a所以．选条件②，Sn=n+1，又a1=S（）选条件①：bn所以Tn因此bn所以Tn选条件②，bn当n≥时，Tn又T1=6，符合，所以．例题3．（03秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列an满足a1>0(1)判断数列an−1()若数列an的前10项和为361，记，数列bn的前n项和为Tn，求证：【答案】(1)数列an−1()证明见解析【详解】（1）数列an−1根据得，an+1∵a1>0，∴an−1（）由（1）得，an−1=a故S=341a由S10=361，得令f(x)=341x+5log当x>0时，f(x)=341x+5logx+30单调递增，且故a1=1，an+1，T1=当n≥时，b∴=1综上，知T例题4．（03秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列an的前n项和为Sn，已知S5(1)求an和S()设bn=5anan+1【答案】(1)an=6n−1()n【详解】（1）设an的公差为+d（d>0因为S5=5(由a6=7a1得所以a1+1=17，得所以anSn（）由（1）得，bn所以T=5题型二：无理型例题1．（03·河南·校联考模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，且a，(1)求数列an()当数列an的公差不为0时，记数列1Sn−1Sn+1的前n【答案】(1)an=1()证明见解析【详解】（1）设数列an的公差为+d由a，a5，a14成等比数列，得即1+4d=即d−d=0，解得d=0或d=当d=0时，an当d=时，an综上所述，an=1或（）由（1）可知，当数列an的公差不为0时，∵∴Sn=∴1所以T=1又n∈N∗，所以例题．（03秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列an中，，且a1(1)求数列an()记，数列bn的前n项和为Tn，求不等式T【答案】(1)a()1,,3,4,5【详解】（1）解：设数列an的公比为q因为a1,a3+1,又因为，则，即，解得q=，所以数列an的通项公式为a（）解：由an=n所以T=又由Tn<10，可得，即n+1即n+1<1,n∈N∗，所以n=1,,3,4,5例题3．（03秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列an的前n项和为，且对于任意n∈N∗，满足(1)求数列an()设bn=1【答案】(1)a()9【详解】（1）由题知.当n=1时，a1当n≥,n∈N∗时，an所以数列an−1是首项为1，公差为的等差数列，数列a则an−1所以an（）由（1）得，bn即b1例题4．（03·重庆·统考三模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a4(1)求an()设，数列bn的前n项和为Tn，证明：当n≥3时，．【答案】(1)a()证明见解析【详解】（1）设公差为d，则a1+3d+a1+6d=0所以.（）=n+3=(所以T==1所以Tn所以Tn当n≥3时，n+3−所以当n≥3时，.题型三：指数型例题1．（03秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列an为等差数列，且a+a(1)求an()数列bn满足bn=n+13n+1an⋅【答案】(1)a()证明见解析【详解】（1）设等差数列an的公差为d则a+a4∴a（）由（1）得：bn∴S∵18n+43例题．（03秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列an的前n项和为S(1)求数列an()设，数列bn的前n项和为Tn，证明：3【答案】(1)a()证明见解析【详解】（1）当n=1时，S1=a当n≥时，Sn−1则Snan=an−得ann−an−1ann=1+所以数列an的通项公式a（）bn即bnTn=1即Tn=1−1n+1−1所以Tn的最小值为T1=3，随着所以3≤例题3．（03秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列an满足a(1)求数列an()设bn=logan−n，数列【答案】(1)a()证明见解析【详解】（1）由已知a1所以an当n=1时，满足条件，所以an=（）由于bn所以bn+3所以Sn所以Sn=11×−1n+1n+1，显然所以38综上，an例题4．（03·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列an满足a1+a+⋯+an−1(1)求数列an()设数列nan−1an+1−1的前【答案】(1)a()证明见解析【详解】（1）因为a1+a两式相减得an+1当n=时，a1−a=−，又所以an+1所以an是首项为，公比为的等比数列，所以；（）因为na所以Tn因为n+1−1≥−1>0，所以题型四：通项裂项为“+”型例题1．（03·浙江嘉兴·统考模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，且a1(1)求数列an()设bn=−1n+1⋅an【答案】(1)a()T【详解】（1）因为Sn=na两式相减得an+1整理得an+1−a所以an（）由（1）可得：bn则T=−−1所以Tn例题．（03春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足a(1)求an()若bn=−1n+1a【答案】(1)an()T0【详解】（1）由nSn+1−n+1S因此数列{Snn}是以1为首项，1为公差的等差数列，当n≥时，an=S所以an（）由（1）知，Sn=n因此bn所以T0例题3．（03秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列an满足：a1=1(1)证明：an+1是等比数列，并求()令bn=(−1)n(3n+3)n(n+1)【答案】(1)证明见解析，a()S【详解】（1）证明：由an所以an所以{an+1}所以an+1=（）由（1）知：an+1+1=n+1又bn所以=例题4．（03·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列an的前n项和为Sn，已知，且a(1)求an()若bn=(−1)n⋅na【答案】(1)an()T【详解】（1）因为an+1=4S所以n≥时，4S由①−②，得4an=因为an各项均为正数，所以an+1=因为，所以a3=4a1+a+9，a=4所以数列an所以．（）由（1）得bn当n为偶数时，T=1当n为奇数时，T=1所以T三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练一、单选题1．（03春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n+3nA．0103 B．003 C．0305【答案】C【详解】由题意得n则b即1b故1b故选:C．．（03秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列an中，a1=,q=，数列bn=anan+1−1an−1A．6 B．7 C．8 +D．9【答案】A【详解】由题意得an=n所以Tn令1−1n+1−1>99故选：A.3．（03·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数fx=x，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=1A．7 B．8 C．17 +D．18【答案】B【详解】当n=1时，S1解得a1由an可得Sn所以Sn+S所以数列Sn故Sn=1+(n−1)×1=n，即所以bn所以b=1由11<101+<1所以68故b1故选：B4．（03春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数fx=nx+lnxn∈N∗的图象在点1n,f1nA．1n+1 B．3n+5nn+1n+3 【答案】C【详解】f'x=n+所以1a所以Sn故选：D.5．（03秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列an是公差不为0的等差数列，a1，a，a4成等比数列.若k=141A．169 B．916 C．43【答案】A【详解】设正项等差数列an的公差为d，且∵a1，a，∴a=a整理得，d=a1d，∵=k=1即1a15∵a∴a故选：．6．（03·全国·高三专题练习）等差数列an各项均为正数，首项与公差相等，k=1151akA．9069 B．9079 C．9089 +D．9099【答案】+D【详解】设等差数列an的公差为d，因为首项a1与公差d相等，所以因为1ak所以k=1151所以a0故选：+D．7．（03秋·江苏·高二专题练习）记数列an前n项和为Sn，若1，an，Sn成等差数列，且数列an+1an+1−1an+3−1的前nA．−∞,16 B．−∞,1 C．−∞,【答案】C【详解】数列an前n项和为Sn，若1，an所以an当n=1时，a1当n≥时，an−1①﹣②得an−a所以数列an所以an所以an+1则Tn由于对任意的n∈N∗都有所以Tn即Tn当n=1时，Tn所以53≥λ，解得所以λ∈故选：D二、多选题8．（03春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列an的前n项和Sn满足Sn=3an−n，n∈N∗，且bnA．数列an+1是等比数列 B．数列C．Sn=3【答案】A+D【详解】对于A项，由Sn=3两式相减，得an+1=3an+1对于B项，当n=1时，a1=S1=所以数列an+1是首项为3，公比为3的等比数列，所以所以an=3n−1对于C项，由B知，an=3对于+D项，bn所以Tn故选：A+D.9．（03春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列an满足，，Sn为数列bn的前n项和.若对任意实数λ，都有Sn<λ成立.则实数λA．4 B．3 C． +D．1【答案】AC【