第1章 离散时间信号与系统课件

第一章离散时间信号与系统《数字信号处理》1第1章离散时间信号与系统

重点、难点周期序列线性时不变系统序列卷积，序列相关系统稳定性，系统因果性2第1章离散时间信号与系统内容：

$1.0引言$1.1离散时间信号$1.2离散时间系统$1.3线性常系数差分方程$1.4连续时间信号的数字处理3第1章离散时间信号与系统$1.0引言（Introduction）1、信号分类：

幅度

时间连续

离散连续模拟信号量化信号离散抽样信号数字信号4第1章离散时间信号与系统(1).信号信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。如，f(x);f(t);f(x,y)等。(2).连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。5第1章离散时间信号与系统6第1章离散时间信号与系统(3).离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。7第1章离散时间信号与系统（4）确定信号和随机信号nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10128第1章离散时间信号与系统2.系统基本概念

系统可以看着是函数或对信号进行操作

系统可以分为连续时间系统（模拟系统）；

离散时间系统（数字系统）：对幅度和时间都离散的信号进行变换。

9第1章离散时间信号与系统$1.1离散时间信号－序列（Sequence）

离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就表示一序列数,即序列：﹛x(n)﹜。为了方便，通常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜。一、序列

10第1章离散时间信号与系统二.序列的时域表示

1、枚举表示

11第1章离散时间信号与系统2、公式表示

x(n)的全部用集合{x(n)}或用x(n)表示。

12第1章离散时间信号与系统3、图形表示

13第1章离散时间信号与系统14第1章离散时间信号与系统15第1章离散时间信号与系统三、序列的运算（一）序列的加减

序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，

16第1章离散时间信号与系统17第1章离散时间信号与系统18第1章离散时间信号与系统（二）序列的乘积

序列的乘积指将两序列序号相同的数值相乘积19第1章离散时间信号与系统20第1章离散时间信号与系统21第1章离散时间信号与系统是将序列的全体在时间轴上进行移动。（三）序列的时延

22第1章离散时间信号与系统（四）序列乘常数

即幅度发生了改变

23第1章离散时间信号与系统（五）序列反褶

以n=0为对称轴进行对褶如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列24第1章离散时间信号与系统例：...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n25第1章离散时间信号与系统（六）序列的差分运算

指同一序列相邻的两个样点之差，分前向差分和后向差分：前向差分：后向差分：关系：26第1章离散时间信号与系统（七）尺度变换（序列的抽取与插值）

（1）抽取：将原来序列每M个抽取一个点组成新序列：27第1章离散时间信号与系统

（1）抽取：x(n)x(mn),m为正整数。例如，

m=2，

x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n28第1章离散时间信号与系统（2）插值：将原来的序列每个序列点之间插入L个样点，形成新序列：29第1章离散时间信号与系统（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，

m=2，

x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。30第1章离散时间信号与系统（八）移位

当m为正时，

x(n-m)表示依次右移m位；（时延）

x(n+m)表示依次左移m位。31第1章离散时间信号与系统-1012x(n)11/21/41/8...-2n例：32第1章离散时间信号与系统1/21/41/81x(n+1)n0-1-2133第1章离散时间信号与系统（九）

累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列

y(n)定义为即表示n以前的所有x(n)的和。34第1章离散时间信号与系统（十）卷积（和）设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为

35第1章离散时间信号与系统卷积的性质

A．交换律

B．结合律

36第1章离散时间信号与系统C.对加法的分配律

37第1章离散时间信号与系统卷积（和）计算分四步：（1）折迭(翻褶)（2）位移（3）相乘（4）相加38第1章离散时间信号与系统例：求：39第1章离散时间信号与系统解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折迭h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

40第1章离散时间信号与系统x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)41第1章离散时间信号与系统01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘，逐个相加。42第1章离散时间信号与系统43第1章离散时间信号与系统-1012345y(n)n1/23/235/23/244第1章离散时间信号与系统解法二（分段）：

45第1章离散时间信号与系统46第1章离散时间信号与系统47第1章离散时间信号与系统（十一）序列线性相关

1、定义设序列x(n)和y(n),它们的线性相关(互相关)序列定义为

（1）x(n)和y(n)的线性互线关

（2）y(n)和x(n)的线性互线关

48第1章离散时间信号与系统2、线性相关(互相关)序列特点

（1）不满足交换律

49第1章离散时间信号与系统（2）自相关50第1章离散时间信号与系统（3）计算步骤：移位、相乘、相加

例：

51第1章离散时间信号与系统52第1章离散时间信号与系统53第1章离散时间信号与系统（4）线性相关与卷积的关系

54第1章离散时间信号与系统1.单位抽样序列(单位冲激)1-2-1012n1-2-101mn四．常见序列

55第1章离散时间信号与系统2.单位阶跃序列u（n）...0123-1nu(n)56第1章离散时间信号与系统3.矩形序列第1章离散时间信号与系统4.实指数序列

a为实数，当58第1章离散时间信号与系统5.复指数序列59第1章离散时间信号与系统6.正弦型序列其中，ω0为数字频率。60第1章离散时间信号与系统五.序列的周期性

如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期性序列,N为周期。61第1章离散时间信号与系统例：求序列的周期

解：假设序列周期为N，则满足对于任意的n都成立，则必须：根据序列周期的定义，N若存在最小正整数，则N为序列周期。显然，当k=2时，取得最小正整数N=3。所以所求序列的周期为362第1章离散时间信号与系统63第1章离散时间信号与系统六.用单位抽样序列表示任意序列1.任意序列可表示成单位抽样序列的移位加权和.64第1章离散时间信号与系统例：

265第1章离散时间信号与系统可以表示为：66第1章离散时间信号与系统如：

67第1章离散时间信号与系统m01m0x(m)2.x(n)亦可看成x(n)和δ(n)的卷积和68第1章离散时间信号与系统七.序列的能量（Energyofsequence）与功率

有界信号x(n)的能量定义为

1、有界信号3、当E有界时，称信号为能量有限信号4、若序列长度有限，则有限信号能量就是有限的2、若信号x(n)有界，则不能保证E是有限的69第1章离散时间信号与系统信号功率对于非周期序列x(n),若序列为无限长，其平均功率为：当信号能量为无限，而平均功率为有限值，称信号为功率信号

当信号能量为有限，而平均功率等于零的信号，称能量信号

70第1章离散时间信号与系统1-2线性移不变系统$1.2.1线性时不变系统（Linearshift-invariantsystems）

一.线性系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即x(n)离散时间系统

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]71第1章离散时间信号与系统

设系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。72第1章离散时间信号与系统例：判断系统是否为线性系统73第1章离散时间信号与系统根据线性系统的定义，可知该系统为线性系统74第1章离散时间信号与系统二.移不变系统如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。

*移（时）不变75第1章离散时间信号与系统例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统.解：因为T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不变系统.

*系统操作=函数操作76第1章离散时间信号与系统三.单位脉冲响应与线性时不变系统的卷积表示

1.单位抽样响应h(n)

当线性移不变系统的输入为δ(n)，

其输出h(n)称为单位抽样响应，即

h(n)=T[δ(n)](n)h(n)T[δ(n)]77第1章离散时间信号与系统线性移不变系统

h(n)x(n)y(n)2.系统输出

y(n)=x(n)*h(n)78第1章离散时间信号与系统79第1章离散时间信号与系统四.线性移不变系统的性质1.交换律

2.结合律80第1章离散时间信号与系统3.对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)81第1章离散时间信号与系统[例]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n)

时，求输出。[解]：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)82第1章离散时间信号与系统$1.2.2线性时不变系统的基本元件

（1）加法器

用于表示系统结构83第1章离散时间信号与系统（2）系数乘法器

84第1章离散时间信号与系统（3）延时器

85第1章离散时间信号与系统一个简单的线性时不变系统

86第1章离散时间信号与系统⊕x(n)

b0

-a1y(n-1)y(n)-a1y(n-1)b0

x(n)-a1y(n-1)b0

x(n)例：差分方程y(n)=b0

x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：87第1章离散时间信号与系统$1.2.3系统的稳定性和因果性

一.因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*实际系统一般是因果系统；*

y(n)=x(-n)是非因果系统,因n<0的输出决定

n>0的输入.

线性移不变因果系统的充要条件为

h(n)=0，n<0。88第1章离散时间信号与系统二.稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。

线性移不变稳定系统的充要条件是89第1章离散时间信号与系统例：若系统的单位脉冲响应为

判断系统稳定性与因果性

90第1章离散时间信号与系统1-3常系数线性差分方程线性时不变系统表示为：

离散时间线性移不变系统(n)y(n)1.离散时间线性移不变系统常用以下的差分方程表示91第1章离散时间信号与系统

*常系数：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常数（不含n）.*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.*线性：y(n-k),x(n-m)等各项只有一次幂,不含它们的乘积项。92第1章离散时间信号与系统2.求解差分方程（1）零状态系统的输出起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就。因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必须知道h(n)的求法.93第1章离散时间信号与系统（2）求解方法：经典法、递推法（迭代）、变换域法。

例:已知常系数线性差分方程为

y(n)-ay(n-1)=x(n)，当n<0时，y(n)=0，试求单位抽样响应h(n).解：采用递推法。因为n<0时，y(n)=0，故为因果系统

h(n)=0,n<0;

方程可写作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)94第1章离散时间信号与系统95第1章离散时间信号与系统

96第1章离散时间信号与系统（1）一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。（2）我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：97第1章离散时间信号与系统离散系统的表示方法总结单位取样响应差分方程系统结构图系统函数系统传输函数（系统频率响应）（下一章）98第1章离散时间信号与系统IIR系统系数a不全为零

3.FIR系统和IIR系统的差分方程特点

99第1章离散时间信号与系统FIR系统系数a全为零，变为：

100第1章离散时间信号与系统101第1章离散时间信号与系统1-4连续时间信号的数字处理102第1章离散时间信号与系统1.抽样器一.抽样器与抽样103第1章离散时间信号与系统104第1章离散时间信号与系统P(t)T105第1章离散时间信号与系统106第1章离散时间信号与系统2.实际抽样与理想抽样0t107第1章离散时间信号与系统实际抽样：tp(t)p(t)为脉冲序列0tT…108第1章离散时间信号与系统理想抽样：tt…（冲激序列）109第1章离散时间信号与系统二.抽样定理1.预备知识（1）冲激信号及其抽样特性

定义：t(1)0110第1章离散时间信号与系统取样特性：111第1章离散时间信号与系统(2)冲激函数序列的傅氏变换设112第1章离散时间信号与系统......0Tt113第1章离散时间信号与系统114第1章离散时间信号与系统0……冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。115第1章离散时间信号与系统2.抽样信号的频谱116第1章离散时间信号与系统117第1章离散时间信号与系统*可见，该频谱为周期性信号，其周期为118第1章离散时间信号与系统Ωh为最高频率分量设带限信号119第1章离散时间信号与系统由上图可知，用一截止频率为的低通滤器对滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即这就是奈奎斯特取样定理。3.取样定理120第1章离散时间信号与系统121第1章离散时间信号与系统3、A/D转换原理

抽样：时间离散化，抽样频率需满足抽样定理；量化：将无限精度的抽样信号幅度离散化；编码：将数字信号表示成数字系统所能接受的形式；保持：在量化编码时间内维持抽样信号不变。

122第1章离散时间信号与系统三.抽样的恢复123第1章离散时间信号与系统设理想低通滤波器：

124第1章离散时间信号与系统1.低通滤波器的冲激响应h(t)

h(t)H(j)125第1章离散时间信号与系统T,0,T0126第1章离散时间信号与系统127第1章离散时间信号与系统2.低通滤波器(filter)的输出*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。128第1章离散时间信号与系统3.内插函数的特性：在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)T1129第1章离散时间信号与系统（1）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。130第1章离散时间信号与系统T2T3T131第1章离散时间信号与系统5、D/A转换原理132第1章离散时间信号与系统第1章总结一、序列1、序列2、序列的表示3、序列的运算4、常用序列5、序列的周期性6、用单元取样序列表示任意序列7、序列能量与功率133第1章离散时间信号与系统二、离散系统线性时不变系统的单位脉冲响应表示线性时不变系统的性质基本元件系统稳定性系统因果性差分方程134第1章离散时间信号与系统三、连续系统的数字处理抽样定理ADC抽样信号的恢复DAC135第1章离散时间信号与系统例1：

习题课一、序列136第1章离散时间信号与系统137第1章离散时间信号与系统138第1章离散时间信号与系统139第1章离散时间信号与系统140第1章离散时间信号与系统141第1章离散时间信号与系统142第1章离散时间信号与系统143第1章离散时间信号与系统二、离散系统144第1章离散时间信号与系统判断线性系统如果有则系统为线性系统。T[]第1章离散时间信号与系统如果有，则系统为移（时）不变系统判断移不变系统.[例]判断系统是否是移不变系统。其中a和b均为常数解：故为移不变系统。第1章离散时间信号与系统147第1章离散时间信号与系统148第1章离散时间信号与系统149第1章离散时间信号与系统例1.判断下列系统是否为线性系统。解：(a)故为线性系统。操作：乘

n第1章离散时间信号与系统（b)故为线性系统。操作：第1章离散时间信号与系统故不是线性系统。操作：平方。(c)可见：第1章离散时间信号与系统(d)故不是线性系统。可见：第1章离散时间信号与系统[例3]判断系统是否是移不变系统。解：故不是移不变系统。又：显然第1章离散时间信号与系统例4.判断下列系统是否为移不变系统。解：故不是移不变系统。又：显然（a）第1章离散时间信号与系统故是移不变系统。又：显然（b)第1章离散时间信号与系统一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这完全由边界条件决定。例如：差分方程（c)边界条件时，既不是线性的也不是移不变的。三.判断差分方程表示的线性移不变系统.（a)边界条件时，是线性的但不是移不变的。（b)边界条件时，是线性移不变的。第1章离散时间信号与系统令….所以：第1章离散时间信号与系统….所以：可见是移一位的关系，亦是移一位的关系。因此是移不变系统。第1章离散时间信号与系统代入差分方程，得：第1章离散时间信号与系统……..所以：因此为线性系统。第1章离散时间信号与系统四.判断因果系统。如果一个